江西省新余市第四中学2020-2021学年高一下学期第一次段考数学试题

这是一份江西省新余市第四中学2020-2021学年高一下学期第一次段考数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新余四中2020级高一年级下学期第一次段考数学试卷 一、单选题（每小题5分，共60分）1. 的值为（    ）A  B.  C.  D. 2. 英国浪漫主义诗人(雪莱)在《西风颂》结尾写道“”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（    ）A.  B.  C.  D. 3. 已知角终边经过点，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 4. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 5. 已知角第二象限角，且，则角是（    ）A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角6. 在中，角均为锐角，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 7. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ）A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度8. 若，则的值为（    ）A. 2 B.  C.  D. 9. 若对任意恒成立，则的最大值为（    ）A. 2 B. 3 C.  D. 10. 已知函数的周期为且，若，则关于函数，下面判断正确的是（    ）A. 函数是偶函数 B. 是函数的一条对称轴C. 函数是奇函数 D. 是函数的一个对称中心11. 若，则的值域为（    ）A.  B. C.  D. 12. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）A  B.  C.  D. 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数的定义域是________________.14. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.
 15. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图象关于点成中心对称图像；④将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合.其中正确的命题序号_________(注：把你认为正确的序号都填上)16. 已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是____________.三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分，总分70分）17. 计算求值：（1）（2）.18. 已知，，.（1）求的值.（2）求的值.19. 已知某海滨浴场海浪的高度（米是时刻，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：时03691215182124米1.51.0051.01.51.00.51.01.5经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，，的图象.（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放？20. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若为偶函数，求的值.（3）若，求取值范围.21. 已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.（1）求的解析式，并求其在上的增区间；（2）若在上有两解，求实数的取值范围.22. 已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．（1）求函数的解析式；（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；（3）当 时，否存在满不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.  
新余四中2020级高一年级下学期第一次段考数学试卷 一、单选题（每小题5分，共60分）1. 的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦的差角公式求解即可【详解】，故选：A2. 英国浪漫主义诗人(雪莱)在《西风颂》结尾写道“”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．【详解】解：由题可得每一等份为，从冬至到次年立春经历了等份，即.故答案为：A.【点睛】本题考查角的运算，是基础题.3. 已知角终边经过点，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义，列出方程，即可求解.【详解】由题意，角终边经过点，可得，又由，根据三角函数定义，可得且，解得.故选：C.4. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简结合已知条件即可求解.【详解】，故选：D.5. 已知角第二象限角，且，则角是（    ）A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角【答案】C【解析】【分析】由第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．【详解】因为角第二象限角,所以，所以，当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角．故选：C．6. 在中，角均为锐角，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据余弦函数的诱导公式，结合余弦函数的单调性、三角形内角和定理、余弦函数的值的正负性进行判断即可.【详解】因为角均为锐角，所以有.，而为三角形的内角，所以，因此.故选：B7. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ）A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】首先根据函数的图象得到，再根据三角函数的平移变换即可得到答案.【详解】由题知：，所以，解得.，所以，，解得，.又因为，所以，.因为，所以只需将的图象向右平移个单位长度.故选：A8. 若，则的值为（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式对化简，然后转化为，再给分子分母同除以，化为只的式子，再代值计算即可【详解】因为，所以，故选：D9. 若对任意恒成立，则的最大值为（    ）A. 2 B. 3 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，再换元求出最值，即可得到答案.【详解】和在均大于0，∴在上大于0，得.令，则.令，则，且，于是，且在上为减函数，所以，所以.故选D.【点睛】本题结合与的关系，考查不等式恒成立问题，属于容易题.10. 已知函数的周期为且，若，则关于函数，下面判断正确的是（    ）A. 函数是偶函数 B. 是函数的一条对称轴C. 函数是奇函数 D. 是函数的一个对称中心【答案】A【解析】【分析】令得，，由周期为且得，，再结合选项一一判断即可．【详解】令，则，所以则，故周期 得 又，则，又因为，所以 得 所以由，故是偶函数，A正确，C错；由的对称轴方程为知B错；由的对称中心为， 知D错；故选：A【点睛】关键点点睛：通过换元法结合条件求得函数的解析式是解题的关键点．11. 若，则的值域为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】作出函数的图象，结合正弦、余弦函数图象与性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，当时，可得，则；当时，可得，则，所以函数的值域为.故选：B.
 12. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.【详解】令，则令，则则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.作出和图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的：解得：.故选：B【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数的定义域是________________.【答案】 ，【解析】【详解】试题分析：根据题意由于有意义，则可知，结合正弦函数的性质可知，函数定义域，，，故可知答案为，，，考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．14. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.
 【答案】【解析】【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得，可求的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.【详解】如图，是月牙湖的示意图，是的中点，连结，可得，由条件可知， 所以，所以，，所以月牙泉的周长.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.15. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图象关于点成中心对称图像；④将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合.其中正确的命题序号_________(注：把你认为正确的序号都填上)【答案】①③④【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数为：，然后利用三角函数的性质和图象变换逐项判断.【详解】，显然函数周期为，若存在，有时，成立，故①正确；， ，单调递减，故②错误；
 当时，，故图形图象关于点成中心对称，故③正确；将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的解析式为，故④正确，故答案为①③④.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，图象变换以及二倍角公式，辅助角法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16. 已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】先求出函数与的值域，然后再由，，使得成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进而建立不等关系求的取值范围即可.【详解】∵，∴ ∵，∴，∴∴ 要使，总，使得成立，则需满足： ∴ ，解得或∴的取值范围是.【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析．三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分，总分70分）17. 计算求值：（1）（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）逆用两角和的正切公式化简即可求解；（2）利用两角和正弦公式将展开化简即可求解.【详解】（1）；（2）.18. 已知，，.（1）求的值.（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，结合已知，得到答案；（2）根据的值和的范围，判断出和的范围，得到和的值，从而利用两角和的正弦公式，得到答案.【详解】（1）因为，所以.（2），，，，，.又，，.【点睛】本题考查二倍角的余弦公式，利用同角三角函数关系进行求值，利用两角差的正弦公式进行求值，属于简单题.19. 已知某海滨浴场海浪的高度（米是时刻，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：时03691215182124米1.51.00.51.01.51.00.51.01.5经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，，的图象.（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放？【答案】（1）振幅；最小正周期；函数表达式（2）一天内的至之间，至之间，至之间时间段不对冲浪爱好者开放【解析】【分析】（1）由题意可得可知，，，，即可求得；（2）先阅读题意，然后解三角不等式求解即可.【详解】解：（1）根据以上数据，可知，，周期.即当时，可得，即，故得函数表达式；.（2）当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，即函数时，即.即，即，又，则或或.则一天内的至之间，至之间，至之间时间段不对冲浪爱好者开放.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，重点考查了阅读能力，属中档题.20. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若为偶函数，求的值.（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）由图可先得出和，即可求出，再利用可求出即可得出解析式；（2）可得，令即可求出；（3）利用三角恒等变换可化简得出，再根据的取值范围即可求出.【详解】（1）由图可得，，，，则，又，解得，，，；（2）为偶函数，，解得，，或；（3），，，则当时，取得最小值为0，当时，取得最大值为，的取值范围为【点睛】方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出；（2）求出函数的周期，利用求出；（3）取点代入函数可求得.21. 已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.（1）求的解析式，并求其在上的增区间；（2）若在上有两解，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式，令，可得结果（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，函数的图像关于原点对称，，所以（1）由， 得，令得，得在增区间是；令，则所以若有两解，即在上有两解，由的图象可得，，即取值范围是22. 已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．（1）求函数的解析式；（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.【解析】【分析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；（2）若是函数的零点，则，解得或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.【详解】选择①②：因为函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，因为函数的图象关于点对称，则，可得，因为，所以，，所以，选择①③：若函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，，解得：，所以，选择②③：因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，，解得：，若函数的图象关于点对称，则，可得，因为，所以，，所以（2）若是函数的零点，则，可得，所以或 解得：或，若是函数的零点，则，，当时，，当时，，当时，所以的值组成的集合为；（3）当时，，令，则，令，则，，因为，所以，即，所以，即，，解得：.所以实数的范围是：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式.