专题11 立体几何 11.4空间角与空间距离 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题十一 《立体几何》讲义

11.4  空间角与空间距离

知识梳理.空间角

1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线

（1）异面直线所成的角的范围：．

（2）求法：平移→

2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90°

3．求二面角的大小

(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．

题型一. 点到面的距离

1．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则P到平面BQD的距离为　                　．

2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　）

A． B． C． D．

3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．

（Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．

（Ⅱ）求点D到平面PAM的距离．

4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝2BC且AB＝EA，三棱锥P﹣ABC．体积为1，求点B到平面DCE的距离．

题型二. 异面直线所成的角

1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

2．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于　                　．

3．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝60°，M，N分别是A1C1，CC1的中点，BC＝CA＝CC1，则BN与AM所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，其中∠BAD＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，其中△PAD为等边三角形，AB＝4，M为棱PD的中点．

（Ⅰ）求证：PB⊥AD；

（Ⅱ）求异面直线PB与AM所成角的余弦值．

题型三. 线面角

1．如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为　                　．

2．如图所示，在直三棱柱ABO﹣A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．

3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．

（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，．

（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若，求BC与平面PBD所成角的正弦值．

题型四.二面角

1．已知三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC，BC＝2，则二面角D﹣BC﹣A的大小（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

2．已知正三棱锥S﹣ABC的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦为（　　）

A． B． C． D．

3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．

（1）求证：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；

（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．

4．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝PD＝a，PA＝PCa．

（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PB与AC所成的角；

（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的大小．

题型五.存在性问题、折叠问题

1．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D，点E在A1D上．

（1）求证：AA1⊥平面ABCD；

（2）当E为线段A1D的中点时，求点A1到平面EAC的距离．

2．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC＝BC＝2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．

（1）求证：M、N、P、Q四点共面；

（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；

（3）求异面直线BE与MQ所成的角．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E，F分别是线段DC，BC的中点，分别将△DAE沿AE折起，△CEF沿EF折起，使得D，C重合于点G，连结AF．

（Ⅰ）求证：平面GEF⊥平面GAF；

（Ⅱ）求直线GF与平面GAE所成角的正弦值．

4．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A﹣BCD，如图所示．

（1）当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD；

（2）当二面角A﹣BD﹣C的大小为120°时，求二面角A﹣BC﹣D的正切值．

课后作业. 空间角与空间距离

1．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC＝AD＝CDAB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求AN与平面ABCD所成的角的正切值．

3．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝2，E是线段PC上的动点．

（1）若E是线段PC中点时，证明：PA∥平面EBD；

（2）若直线PC与底面ABCD所成角的正弦值为，且三棱锥E﹣PAB的体积为，请确定E点的位置，并说明理由．