专题04 不等式题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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专题四《不等式》讲义
知识梳理.不等式
1．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b (2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac>bc; ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异
实根x1，
x2(x1 有两相等实
根x1＝x2
＝－
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1 ∅

3.均值定理
如果，那么，当且仅当时，等号成立
【均值不等式的常见变形】
（1）
（2）
（3）
（4）
题型一. 不等式的性质
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．
故选：C．
2．设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
3．若1a＜1b＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由 1a＜1b＜0，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；
∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，
故选：C．
4．7+3与6+10的大小关系是（　　）
A．7+3＜6+10 B．7+3＞6+10 C．7+3=6+10 D．不确定
【解答】解：(7+3)2=16+67=16+252，(6+10)2=16+260=16+240，
∴(7+3)2＞(6+10)2，
∴7+3＞6+10．
故选：B．
5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（　　）
A．ca＞cb B．ac＜bc
C．logca＞logbc D．bac＜abc
【解答】解：对于A，因为0＜c＜1，所以指数函数f（x）＝cx是减函数，
又a＞b，所以f（a）＜f（b），即ca＜cb，故A错误；
对于B，因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故B错误；
对于C，取a＝4，b＝2，c=12，
则logca=log124=-2，logbc=log212=-1，logca＜logbc，故C错误；
对于D，由a＞b＞1，可得0＜ba＜1，
又0＜c＜1，所以(ba)1＜(ba)c，即bac＜abc，故D正确．
故选：D．
6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（　　）
A．1y＞1x B．ln（x﹣y）＞lny
C．x+y＜2(x2+y2) D．x﹣y＜ex﹣ey
【解答】解：因为x＞y＞0，所以1y＞1x，A正确；
由于x﹣y与y的大小不确定，B不正确；
因为2（x2+y2）﹣（x+y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＞0，
所以2（x2+y2）＞（x+y）2，C正确；
令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由x＞y＞0，得f（x）＞f（y），
所以ex﹣x＞ey﹣y，
所以x﹣y＜ex﹣ey，D正确．
故选：ACD．
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题型二. 一元二次不等式
1．集合A={x|(x-1)(2x-3)≤1}，B={x|-1＜x＜32}，则A∩B为（　　）
A．{x|12＜x≤32} B．{x|1＜x≤32} C．{x|12≤x≤32} D．{x|12≤x＜32}
【解答】解：由A中的不等式变形得：2x2﹣5x+2≤0，即（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得：12≤x≤2，即A＝{12≤x≤2}；
∵B＝{x|﹣1＜x＜32}，
∴A∩B＝{x|12≤x＜32}．
故选：D．
2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3} B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4}
C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3} D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}
【解答】解：不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0；
当a＝1时，不等式的解集为空集，不符合题意；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足2＜a≤3；
当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足﹣1≤a＜0；
综上知，实数a的取值范围是{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3}．
故选：C．
3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有（　　）
A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2）
C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）
【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，
∴a＜0，﹣2，4是ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴﹣2+4=-ba，﹣2×4=ca．
那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣8）＝a（x﹣1）2﹣9a，（a＜0）．
此抛物线开口向下，其图象关系直线x＝1对称，
∴f（﹣1）＝f（3），f（2）＞f（3）＞f（5），
∴f（2）＞f（﹣1）＞f（5），
故选：D．
4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，
等价于a＜(2x-x)max，x∈[1，4]；
设f（x）=2x-x，x∈[1，4]，
则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，
且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）
【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，
当a＝2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立；
当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，
则a-2＜0[2(a-2)]2-4(a-2)(-4)＜0，解得：﹣2＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：C．
6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x∈[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为　[ln2，2]　．
【解答】解：若（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0，
则①x2﹣ax+1≥0且lnx﹣a≤0，
由x2﹣ax+1≥0，得：a≤x+1x，
由y＝x+1x在[1，2]递增，得：a≤2，
由a≥lnx得：a≥ln2，
故ln2≤a≤2；
②x2﹣ax+1≤0且lnx﹣a≥0，
由x2﹣ax+1≤0，得：a≥x+1x，
由y＝x+1x在[1，2]递增，得：a≥52，
由a≤lnx得：a≤ln1＝0，无解
故a的取值范围是[ln2，2]，
故答案为：[ln2，2]．

题型三. 基本不等式
考点1.和定积最大、积定和最小
1．已知a＞0，b＞0，且满足a3+b4=1，则ab的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足a3+b4=1，
∴1≥2a3⋅b4，化为：ab≤3，当且仅当a=32，b＝2时取等号．
则ab的最大值是3．
故选：B．
2．已知x＞0，则y＝x+1x+1的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵x＞0，
∴y＝x+1x+1≥2x⋅1x+1＝3，当且仅当x＝1时取等号．
∴y＝x+1x+1的最小值是3．
故选：B．
3．已知0＜x＜2，则y＝x4-x2的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：0＜x＜2，可得4﹣x2＞0，
则y＝x4-x2≤x2+4-x22=2，
当且仅当x2＝4﹣x2，即x=2时，上式取得等号，
即有函数y的最大值为2．
故选：A．

考点2.凑定值
1．已知0＜x＜12，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（　　）
A．12 B．14 C．18 D．19
【解答】解：∵0＜x＜12，
∴x（1﹣2x）=12•2x（1﹣2x）≤12•[2x+(1-2x)2]2=18，
当且仅当2x＝1﹣2x时，即x=14时等号成立，
因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（14）=18，
故选：C．
2．已知x＜54，求函数y＝4x﹣1+14x-5的最大值．
【解答】解：根据题意，函数y＝4x﹣5+14x-5+4＝﹣[（5﹣4x）+15-4x]+4，
又由x＜54，则5﹣4x＞0，
则（5﹣4x）+15-4x≥2(5-4x)×15-4x=2，
则y＝﹣[（5﹣4x）+15-4x]+4≤﹣2+4＝2，
故函数y＝4x﹣1+14x-5的最大值为2．

考点3. 1的代换
1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2a⋅2b．
化简可得 ab≥22，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，
故ab的最小值是8，
故选：B．
2．若正数a，b满足2a+b＝1，则a2-2a+b2-b的最小值是　223-12　．
【解答】解：设u＝2﹣2a，v＝2﹣b，则a=2-u2，b＝2﹣v，
u+v＝3，（u，v＞0），
即有a2-2a+b2-b=1-12uu+2-vv
=1u+2v-32=13（u+v）（1u+2v）-32
=13（3+vu+2uv）-32≥13（3+2vu⋅2uv）-32
＝1+223-32=223-12．
当且仅当v=2u＝6﹣32时，取得最小值．
故答案为：223-12．
3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则2x+xy的最小值为　2+22　．
【解答】解：∵实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，
则2x+xy=2(x+y)y+xy=2+2yx+xy≥2+22yx⋅xy=2+22，当且仅当x=2y＝2-2时取等号．
故答案为：2+22．
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考点4. x、y、xy型
1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为　23-2　．
【解答】解：已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝2
即：xy＝2﹣（x+y），
利用基本不等式：xy≤（x+y2）2．
∴2﹣（x+y）≤（x+y2）2．
解之得：x+y≥23-2
则x+y的最小值为23-2．
故答案为23-2．
2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为　4　．
【解答】解：考察基本不等式x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（x+2y2）2（当且仅当x＝2y时取等号）
整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0
即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（当且仅当x＝2y时即x＝2，y＝1时取等号）
则x+2y的最小值是4．
故答案为：4．
3．设x，y∈R，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是　2105　．
【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1，∴4x2+y2+4xy＝1+3xy，
∴（2x+y）2＝1+3xy＝1+32•2x•y≤1+32•(2x+y2)2，
整理可得58（2x+y）2≤1，
解关于2x+y的一元二次不等式可得-2105≤2x+y≤2105
∴2x+y的最大值为：2105
4．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc＝12，则a+b+c的最小值是　23　．
【解答】解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝12+（b﹣c）2≥12，
当且仅当b＝c时取等号，
∴a+b+c≥23
故答案为：23
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考点5. y=1a+ab型函数的最值
1．设a+b＝2，b＞0，则当a＝　﹣2　时，12|a|+|a|b取得最小值．
【解答】解：法一：
∵a+b＝2，b＞0，
∴12|a|+|a|b=12|a|+|a|2-a，（a＜2）
设f（a）=12|a|+|a|2-a，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=-12a+aa-2，
f′（a）=12a2-2(a-2)2=-(3a-2)(a+2)2a2(a-2)2，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a＝﹣2时，12|a|+|a|b取得最小值34．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a=23时，12|a|+|a|b取得最小值54．
综合，则当a＝﹣2时，12|a|+|a|b取得最小值．
法二：
因为a+b＝2，b＞0，
要取得最小值，则a＜0，
则12|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，
≥a4|a|+2b4|a|⋅|a|b=a4|a|+1=-14+1=34，
当且仅当b4|a|=|a|b，a＜0时取等号，此时b＝﹣2a，
因为a+b＝2，
所以a＝﹣2，b＝4，
故答案为：﹣2．

2．若正数a，b满足1a+1b=1，则4a-1+16b-1的最小值为　16　．
【解答】解：正数a，b满足1a+1b=1，
则有1a=1-1b=b-1b，
则有1b-1=ab，
1b=1-1a=a-1a，即有1a-1=ba，
则有4a-1+16b-1=4ba+16ab≥24ba⋅16abb=16，
当且仅当4ba=16ab即有b＝2a，又1a+1b=1，
即有a=32，b＝3，取得最小值，且为16．
故答案为：16．
3．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则1x+1y的最小值为　4　．
【解答】解：∵x+y﹣x2y2＝4
∴x+y＝x2y2+4则1x+1y=x+yxy=x2y2+4xy=xy+4xy≥2xy×4xy=4
当且仅当xy＝2时取等号
故1x+1y的最小值为4
故答案为：4
4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为　﹣1　．
【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c＝0，
∴c4=(a-b4)2+316b2
由柯西不等式得，[(a-b4)2+(3b4)2][22+(23)2]≥[2（a-b4）+3b4×23]2＝|2a+b|2
故当|2a+b|最大时，有a-b42=3b423
∴a=12b，c＝b2
∴1a+2b+4c=2b+2b+4b2=4(1b+12)2-1
当b＝﹣2时，取得最小值为﹣1．
故答案为：﹣1

题型四.不等式恒成立问题
1．若关于x的不等式ax2﹣2ax+1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1
【解答】解：当a＝0时，不等式化为1＜0，满足解集为∅；
当a≠0时，应满足a＞0△=4a2-4a≤0，
解得a＞00≤a≤1，
即0＜a≤1；
综上知，实数a的取值范围是0≤a≤1．
故选：D．
2．已知关于x的不等式ax2﹣2x+4a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．(-∞，12) B．(12，+∞) C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【解答】解：x∈（0，2]时，不等式可化为a＜2xx2+4=2x+4x，
则f(x)=2x+4x在（0，2]上单调递增，当x＝2时，f（x）取得最大值f（2）=12，
则a＜f(x)max=224=12，
综上所述，实数a的取值范围是(-∞，12)．
故选：A．
3．设a∈R，若x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，则a＝　12　．
【解答】解：若a≤0，则当x＞0时，ax﹣1＜0，
由二次函数的性质可知，
不等式x2+ax﹣5≤0不可能在x＞0时恒成立，
故当x＞0时不可能都有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
故a＞0，
故当0＜x＜1a时，ax﹣1＜0，
当x＞1a时，ax﹣1＞0，
∵当x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，
故当0＜x＜1a时，x2+ax﹣5≤0，
当x＞1a时，x2+ax﹣5≥0，
故x=1a是方程x2+ax﹣5＝0的实数根，
故1a2+1﹣5＝0，解得：a=-12（舍）或a=12，
综上：a=12，
故答案为：12．
4．若a，b∈R，且a＞0，b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．a2+b2＞2ab B．a+b≥2ab C．1a+1b≥2ab D．2ba+a8b≥2
【解答】解：对于A，根据重要不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立；故A不恒成立；
对于B，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，a+b≥2ab成立，故B正确；
对于C，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，1a+1b≥21ab=2ab成立，故C正确；
对于D，利用基本不等式，当a＞0，b＞0时，2ba+a8b≥22ba×a8b=1成立，故D不恒成立．
故选：BC．
5．设正实数x，y满足x＞12，y＞1，不等式4x2y-1+y22x-1≥m恒成立，则m的最大值为　8　．
【解答】解：设y﹣1＝b，得y＝b+1，
令2x﹣1＝a，得x=12（a+1），则a＞0，b＞0；
那么：4x2y-1+y22x-1=(a+1)2b+(b+1)2a≥2•(a+1)(b+1)ab
＝2•ab+(a+b)+1ab
＝2•（ab+1ab+a+bab）≥2•（2ab⋅1ab+2abab）
＝2•（2+2）＝8；
当且仅当a＝b＝1，即x＝2，y＝1时取等号；
∴4x2y-1+y22x-1的最小值为8，
即m的最大值为8．
故答案为：8．
6．设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a，若∃x0∈R，使得f（x0）＜0和g（x0）＜0同时成立，则a的取值范围为（　　）
A．（7，+∞） B．（6，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
C．（﹣∞，﹣2） D．（7，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
【解答】解：由f（x）＝x2﹣ax+a+3知f（0）＝a+3，f（1）＝4，又存在∃x0∈R，使得f（x0）＜0，
知△＝a2﹣4（a+3）＞0即a＜﹣2或a＞6，
另g（x）＝ax﹣2a，中恒过（2，0），
当a＝0时，f（x）＝x2﹣ax+a+3恒大于0，显然不成立．
若a＞0时，g（x）＝ax﹣2a＜2，
∴a＞0f(2)＜0，则a＞7，
若a＜0时，g（x）＝ax﹣2a＞2，
此时函数f（x）＝x2﹣ax+a+3图象的对称x=a2＜-1，故函数在区间（a2，+∞），为增函数，
又f（1）＝4，f（x0）＜0不成立．
故选：A．