专题05 函数 5.3指数函数题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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知识梳理.指数函数
eq \a\vs4\al(1.指数与指数运算)
(1)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)．
②当n是奇数时，eq \r(n,an)＝a；
当n是偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
(2)分数指数幂的意义
①aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
题型一.比较大小
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（12）﹣1.5，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
3．设a＝（35)25，b=(25)35，c=(25)25，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（lg23），则实数a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
题型二.指数函数的图像与性质
1．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则4m+1n的最小值为（）
A．92B．9C．5D．52
2．已知实数a、b满足等式（12）a＝（13）b，给出下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，
其中不可能成立的关系式有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定成立的是．（只填序号）
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．
4．若函数f（x）=x2-ax+a(x＜0)(4-2a)x(x≥0)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）
A．[0，2）B．(32，2)C．[1，2]D．[0，1]
5．设函数f（x）=12x-1，x≥01x，x＜0 若f（a）＞1，则实数a的取值范围是．
6．若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（）
A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜bD．a＝b
题型三. 指数型函数的定义域、值域——复合函数
1．函数y=(12)3+2x-x2的定义域为，值域为．
2．若函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于．
3．已知f（x）=3x2+2ax-a-1的定义域为R，则实数a的取值范围是．
4．已知函数f（x）＝（13）ax2-4x+3，若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．
5．若函数y=4x+a⋅2x+1的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是．
6．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4]D．（﹣∞，﹣8]
底数
a>1
0图象
性质
定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0，1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0当x>0时，恒有01
在定义域R上为增函数
在定义域R上为减函数
注意
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0