2021-2022学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟试卷（含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟试卷

一、选择题（每题4分，共48分）

1．（4分）下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是　　

A． B． 

C． D．

2．（4分）直线与轴的交点坐标是　　

A． B． C． D．

3．（4分）若关于的方程有一个根为2．则另一个根为　　

A． B．2 C．4 D．

4．（4分）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　

A． B． C． D．

5．（4分）二次函数化为的形式，下列正确的是　　

A． B． C． D．

6．（4分）若点的坐标为，为坐标原点，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

7．（4分）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是　　

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 

B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 

D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

8．（4分）方程根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

9．（4分）在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是　　

A． B． C． D．

10．（4分）二次函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

11．（4分）九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是　　

A． B． C． D．

12．（4分）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每空4分，共24分）

13．（4分）方程的根为　　．

14．（4分）抛物线的顶点坐标是　 　．

15．（4分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是　　．

16．（4分）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是　　．

17．（4分）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为　　．

18．（4分）如图，是正方形内一点，，，，则的长是　　．

三、解答题（共20分）

19．（10分）解方程：

（1）；

（2）．

20．（10分）如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点．

（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）若抛物线上有一点，且，求点的坐标．

四、解答题（每题10分，共50分）

21．（10分）如图，矩形中，，，点从点沿边以的速度向点移动，同时点从点沿边以的速度向点移动，当、两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当的面积比的面积大时，求点运动的时间．

22．（10分）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数的图象和性质．

（1）如表是该函数与自变量的几组对应值：

其中，的值为 　　，的值为 　　；

（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；

（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：　　．

23．（10分）对于实数、，定义一种新运算“※”为：※，例如：1※，※

（1）化简：※．

（2）若关于的方程※有两个相等的实数根，求实数的值．

24．（10分）为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍，现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元．

（1）求最多能购进多媒体设备多少套？

（2）恰逢“3.15”欢乐购时机，每套多媒体设备的售价下降，每个电脑显示屏的售价下降元，学校决定多媒体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加，实际投入资金与计划投入资金相同，求的值．

25．（10分）在正方形中，点、分别在边、上，且．

（1）将绕点顺时针旋转，得到（如图，求证：；

（2）若直线与、的延长线分别交于点、（如图，求证：；

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图，直接写出线段、、之间的数量关系．

五、解答题（每题8分，共8分）

26．（8分）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向运动，过作轴的垂线，交抛物线于点，交于．

（1）求点和点的坐标；

（2）设当点运动了（秒时，四边形的面积为，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（3）在线段上是否存在点，使得成为以为一腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分，共48分）

1．（4分）下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误；

、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；

、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确；

、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误．

故选：．

2．（4分）直线与轴的交点坐标是　　

A． B． C． D．

【分析】令，求出的值，即可求出与轴的交点坐标．

【解答】解：当时，，

则函数与轴的交点为．

故选：．

3．（4分）若关于的方程有一个根为2．则另一个根为　　

A． B．2 C．4 D．

【分析】先设出方程的另一个根，根据两根的积与系数的关系，得方程求解即可．

【解答】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，

，

．

故选：．

4．（4分）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　

A． B． C． D．

【分析】利用旋转的性质得出，以及的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．

【解答】解：由题意可得：，

把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，

，

．

故选：．

5．（4分）二次函数化为的形式，下列正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．

【解答】解：配方，得

，

故选：．

6．（4分）若点的坐标为，为坐标原点，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【分析】正确作出旋转以后的点，即可确定坐标．

【解答】解：由图知点的坐标为，

根据旋转中心，旋转方向顺时针，旋转角度，画图，

点的坐标是．

故选：．

7．（4分）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是　　

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 

B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 

D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．

【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，

将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线．

故选：．

8．（4分）方程根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．

【解答】解：，

△，

方程有两个不相等的实数根．

故选：．

9．（4分）在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是　　

A． B． C． D．

【分析】先确定的二次项系数为1，然后根据二次项系数的绝对值大，图象开口反而小即可得出结论．

【解答】解：由图象可知：开口都是向上，二次项系数都大于0，函数的开口最大，大于，函数的开口小于，函数的开口等于

抛物线的顶点为，与轴的一个交点为，根据待定系数法求得，则二次项的系数为1，

故解析式中的二次项系数一定小于1的是

故选：．

10．（4分）二次函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由图象判定，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与轴的交点位置，选择符合条件的选项．

【解答】解：因为二次函数的图象开口向下，过点，对称轴，

观察图象可知，符合上述条件的只有．

故选：．

11．（4分）九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是　　

A． B． C． D．

【分析】如果设全组共有名同学，那么每名同学要赠送本，有名学生，那么总互共送本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．

【解答】解：设全组共有名同学，那么每名同学送出的图书是本；

则总共送出的图书为；

又知实际互赠了132本图书，

则．

故选：．

12．（4分）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．

【解答】解：抛物线与轴有两个交点，

，即，①正确；

抛物线开口向上，，

对称轴在轴的右侧，，

抛物线与轴交于负半轴，，

，②正确；

，，③错误；

时，，

，即，④错误；

根据抛物线的对称性可知，当时，，

，⑤正确，

故选：．

二、填空题（每空4分，共24分）

13．（4分）方程的根为　，　．

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：，

，

，

，或，

，，

故答案为：，．

14．（4分）抛物线的顶点坐标是　　．

【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．

【解答】解：抛物线的顶点坐标是．

故答案为．

15．（4分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是　，　．

【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于的方程的解．

【解答】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，

方程组的解为，，

即关于的方程的解为，．

所以方程的解是，

故答案为，．

16．（4分）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是　，　．

【分析】把看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以与已知方程的解也相同．

【解答】解：，是已知方程的解，

由于另一个方程与已知方程的形式完全相同

或

解得，．

故答案为：，．

17．（4分）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为　　．

【分析】分为两种情况：①当时，，求出△的解集即可；②当时，得到一次函数，与轴有交点；即可得到答案．

【解答】解：①当时，，

△，

；

②当时，，与轴有交点；

故的取值范围是，

故答案为：．

18．（4分）如图，是正方形内一点，，，，则的长是　3　．

【分析】把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后求出，再利用勾股定理列式计算求出，从而得解．

【解答】解：如图，把绕点逆时针旋转得到（点的对应点与点重合），

，，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

在中，，

，

故答案为：3．

三、解答题（共20分）

19．（10分）解方程：

（1）；

（2）．

【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；

（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：（1），

，，，

△．

，

，．

（2），

，

，

或，

，．

20．（10分）如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点．

（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）若抛物线上有一点，且，求点的坐标．

【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标；

（2）设，根据三角形面积公式得到，则或，然后分别解两个方程求出，从而可得到点坐标．

【解答】解：（1）抛物线解析式为，即．

因为，

所以抛物线的顶点坐标为；

（2）设，

因为，

所以，

所以或，

解方程得，，则点坐标为，或，；

解方程得，则点坐标为，

所以点坐标为，或，或．

四、解答题（每题10分，共50分）

21．（10分）如图，矩形中，，，点从点沿边以的速度向点移动，同时点从点沿边以的速度向点移动，当、两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当的面积比的面积大时，求点运动的时间．

【分析】设当的面积比的面积大时，点运动了秒，根据四个三角形的面积之和等于矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：设当的面积比的面积大时，点运动了秒．

根据题意得：，

化简得：，

解得：，．

当时，，

舍去．

答：当的面积比的面积大时，点经过了秒．

22．（10分）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数的图象和性质．

（1）如表是该函数与自变量的几组对应值：

其中，的值为 　3　，的值为 　　；

（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；

（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：　　．

【分析】（1）把，分别代入函数表达式，即可得出，的值；

（2）把表格中7个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图象；

（3）结合图象，可得图象关于直线对称或最大值为3.5等．

【解答】解（1）当时，，即，

当时，，即

故答案为：3，3.5

（2）图象如图所示：

（3）观察图象可知，图象关于直线对称，

故答案为图象关于直线对称．

23．（10分）对于实数、，定义一种新运算“※”为：※，例如：1※，※

（1）化简：※．

（2）若关于的方程※有两个相等的实数根，求实数的值．

【分析】（1）理解新定义，按着新定义的运算顺序，计算即可；

（2）按新定义的运算，对方程进行运算化简，得一元二次方程，利用根的判别式计算得结论．

【解答】解：（1）※

．

（2）由题意，得

整理，得

因为方程有两个相等的实数根，

所以△

即且

化简，得，

（舍去），

的值为10．

24．（10分）为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍，现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元．

（1）求最多能购进多媒体设备多少套？

（2）恰逢“3.15”欢乐购时机，每套多媒体设备的售价下降，每个电脑显示屏的售价下降元，学校决定多媒体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加，实际投入资金与计划投入资金相同，求的值．

【分析】（1）设购买种设备小套，则购买种设备套，根据总价单价数量结合计划投入99000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；

（2）根据总价单价数量结合实际投入资金与计划投入资金相同，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：（1）购买多媒体设备套，则购买显示屏套，

根据题意得：，

解得：．

答：最多能购买15套多媒体设备．

（2）根据题意得：，

整理，得：，

解得：（不合题意，舍去），．

答：的值为37.5．

25．（10分）在正方形中，点、分别在边、上，且．

（1）将绕点顺时针旋转，得到（如图，求证：；

（2）若直线与、的延长线分别交于点、（如图，求证：；

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图，直接写出线段、、之间的数量关系．

【分析】（1）根据旋转的性质可知，，证明，可得结论．

（2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．由（1）知，则．再由、、均为等腰直角三角形，得出，，，然后证明，，利用勾股定理得出，等量代换即可证明．

（3）延长交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．由（1）知，结合勾股定理以及相等线段可得，所以．

【解答】（1）证明：如图1中，

绕着点顺时针旋转，得到，

，，

，

，

在与中，

，

，

，

，

．

（2）证明：如图2中，设正方形的边长为．将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则，．

由（1）知，

．

，

、、均为等腰直角三角形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，，

．

（3）解：结论：．

理由：如图所示，延长交延长线于点，交延长线于点，

将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．

由（1）知，

则由勾股定理有，

即

又，，，

，

即，

．

五、解答题（每题8分，共8分）

26．（8分）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向运动，过作轴的垂线，交抛物线于点，交于．

（1）求点和点的坐标；

（2）设当点运动了（秒时，四边形的面积为，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（3）在线段上是否存在点，使得成为以为一腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

【分析】（1）已知抛物线解析式，令，，可求、两点坐标；

（2）设点的坐标为，由可列出与的函数关系式，由于，；

（3）为一腰，有两种可能：①，②，都可由相似三角形的对应边的比，求出、的长．

【解答】解：（1）把代入得点的坐标为

把代入得点的坐标为

（2）连接，设点的坐标为

点运动到点上停止，

（3）存在．

①若

，

所以的坐标为．

②若

，

所以的坐标为，．

综上所述，的坐标为或，．