2020-2021学年河南省南阳市高三（下）5月月考数学（理）试卷 (1)北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高三（下）5月月考数学（理）试卷 (1)北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|x2−2x≤0，B=x|10的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M−1,−1满足MA→⋅MB→=0，则|AB|=（ ）
A.32B.42C.5D.6
二、填空题

若tanα=12，则2sin2α+sinαcsα=________ .

已知双曲线C1:x24−y2b2=1b>0的右焦点为F，其一条渐近线的方程为5x−2y=0，点P为双曲线C1与圆C2:x+32+y2=r2r>0的一个交点，若|PF|=4，则双曲线C1的离心率为________，r=________．

已知函数fx的定义域为R，对任意x∈R,fx+2=3fx恒成立，且当x∈(0,2]时，fx=2x，则f7=________ .

七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶．它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形．如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为________．

三、解答题

已知数列an中，a1=1，其前n项和Sn满足an+1=Sn+1n∈N∗．
(1)求Sn．

(2)记bn=Sn+1−SnSnSn+1，求数列bn的前n项和Tn．

2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目．为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y（单位：万只）与相应年份代码x的数据如下表：

(1)由表可知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2:3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只．为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：
以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合(1)中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完）．（利润=卖山羊的收入−山羊的养殖成本）
参考公式及数据：回归直线方程为y=bx+a，其中b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=i=1nxiyi−nx¯ y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯.

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1,∠ACB=120∘,AA1=A1B=2,∠A1AC=60∘ .

(1)证明：平面ABC⊥平面A1ACC1；

(2)若CP→=13CC1→，求二面角P−A1B−A的余弦值．

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F的最短距离为1.
(1)求椭圆E的方程；

(2)直线l（斜率不为0）经过F点，与椭圆E交于A，B两点，问x轴上是否存在一定点P，使得|PA||PB|=|AF||BF|？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数fx=2alnx−x+12x2．
(1)若a=12，求曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若fx的两个极值点为x1，x2，且x2>e2x1，不等式fx1−fx2>bx12−x22恒成立，求实数b的取值范围．

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1−t,y=−1+2t（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=12sin2θ+3 .
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)已知点P1,−1，直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB| .

已知函数fx=|x−2t|−|x+t|t>0．
(1)当t=1时，求不等式fx≥1的解集；

(2)若t2≥fx对任意的x∈R恒成立，M=t+t+8t−1，求M的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高三（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
并集及其运算
【解析】
本题考查集合的并集．
【解答】
解：因为A={x|0≤x≤2}，B={x|10，
所以x+1>0．
令g(x)=ex−1x，
因为g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以∃x0∈(0,+∞)，g(x0)=0，即x0+lnx0=0．
当x∈(0,x0)时，f′(x)0．
所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(x0)=x0ex0−lnx0−x0−a=1−a．
要使f(x)存在零点，只需f(x)min≤0，即a≥1．
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力．
【解答】
解：由题意知，抛物线C的准线为x=−1，即p2=1，得p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x，其焦点为F(1,0)，
因为直线l过抛物线的焦点F1,0，所以直线l的方程为y=kx−1 .
因为MA→⋅ MB→=0，
所以M在以AB为直径的圆上．
设点Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程组y12=4x1,y22=4x2，
两式相减可得y1−y2x1−x2=4y1+y2=k .
设AB的中点为Qx0,y0，
则y0=2k，
因为点Qx0,y0在直线l上．
所以x0=2k2+1．
所以点Q2k2+1,2k是以AB为直径的圆的圆心．
由抛物线的定义知，圆Q的半径r=AB2=x1+x2+22=2x0+22=2k2+2，
因为|QM|2=2k2+22+2k+12=r2，
所以(2k2+2)2+(2k+1)2=2k2+22，
解得k=−2，
所以弦长|AB|=2r=22k2+2=224+2=5 .
故选C .
二、填空题
【答案】
45
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．
【解答】
解：∵tanα=12，
∴2sin2α+sinαcsα=2sin2α+sinαcsαsin2α+cs2α=2tan2α+tanαtan2α+1=45．
故答案为：45．
【答案】
32,8
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
圆锥曲线的综合问题
【解析】
本题考查双曲线的离心率及圆的方程，老查化归与转化的数学思想．
【解答】
解：设F2为双曲线C1:x24−y2b​=1的左焦点，
因为a=2，—条渐近线的方程为5x−2y=0，
所以b=5，
故离心率1+ba2=32．
圆C2的圆心为双曲线C1的左焦点，连接PF2,
因为|PF|=4．
所以P在双曲线的右支上，
由|PF2|− |PF|=2a=4，
得r=|PF2|=8 .
故答案为：32；8.
【答案】
54
【考点】
抽象函数及其应用
函数的求值
函数的周期性
【解析】
本题考查函数的性质，考查运算求解能力．
【解答】
解：∵fx+2=3fx，
∴f7=3f5=32f(3)=33f(1)=54 ．
故答案为：54．
【答案】
564
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
本题考查相互独立事件的概率，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 .
【解答】
解：由图可知，P(−1)=14，P(−2)=18，
P(−3)=18，P(0)=14，
P(1)=18，P(2)=116,P(3)=116，
所以两次投中分值之和为2的概率为116×14×2+116×14×2+18×18=564 .
故答案为：564.
三、解答题
【答案】
解：(1)当n≥2时，an=Sn−1+1 ，
∴an+1−an=Sn−Sn−1=an，
即an+1=2ann≥2 ，
在an+1=Sn+1中，
令n=1，
可得a2=a1+1，
∵a1=1，
∴a2=2a1 ，
故{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 ，
∴Sn=an+1−1=2n−1．
(2)∵bn=Sn+1−SnSnSn+1=1Sn−1Sn+1=12n−1−12n+1−1 ，
∴Tn=(1−13)+(13−17)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当n≥2时，an=Sn−1+1 ，
∴an+1−an=Sn−Sn−1=an，
即an+1=2ann≥2 ，
在an+1=Sn+1中，
令n=1，
可得a2=a1+1，
∵a1=1，
∴a2=2a1 ，
故{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 ，
∴Sn=an+1−1=2n−1．
(2)∵bn=Sn+1−SnSnSn+1=1Sn−1Sn+1=12n−1−12n+1−1 ，
∴Tn=(1−13)+(13−17)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1．
【答案】
解：(1)∵x¯=1+2+3+4+5+66=3.5，
y¯=11+13+16+15+20+216=16 ，
∴b=−2.5×(−5)+(−1.5)×(−3)+(−0.5)×0+0.5×(−1)+1.5×4+2.5×5(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52
=3517.5=2，
可得a=16−2×3.5=9 ，
∴y与x之间的线性回归方程为y=2x+9.
(2)由(1)可知，当x=8时，可得y=25，
其中甲品种山羊有25×25=10万只，乙品种山羊有25×35=15万只，
由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和
9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，
∴甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6×0.2+7×0.35+8×0.35+9×0.1=7.35（月）．
由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2,
∴乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6×0.1+7×0.3+8×0.4+9×0.2=7.7（月）
养殖每只甲品种山羊利润的期望为2500−7.35×300=2500−2205=295 （元），
养殖每只乙品种山羊利润的期望为2700−7.7×300=2700−2310=390（元），
故2022年该县售卖的山羊所获利润的期望为10×295+15×390=8800（万元）．
【考点】
求解线性回归方程
用频率估计概率
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵x¯=1+2+3+4+5+66=3.5，
y¯=11+13+16+15+20+216=16 ，
∴b=−2.5×(−5)+(−1.5)×(−3)+(−0.5)×0+0.5×(−1)+1.5×4+2.5×5(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52
=3517.5=2，
可得a=16−2×3.5=9 ，
∴y与x之间的线性回归方程为y=2x+9.
(2)由(1)可知，当x=8时，可得y=25，
其中甲品种山羊有25×25=10万只，乙品种山羊有25×35=15万只，
由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和
9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，
∴甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6×0.2+7×0.35+8×0.35+9×0.1=7.35（月）．
由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2,
∴乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6×0.1+7×0.3+8×0.4+9×0.2=7.7（月）
养殖每只甲品种山羊利润的期望为2500−7.35×300=2500−2205=295 （元），
养殖每只乙品种山羊利润的期望为2700−7.7×300=2700−2310=390（元），
故2022年该县售卖的山羊所获利润的期望为10×295+15×390=8800（万元）．
【答案】
(1)证明：连接A1C，在△A1AC中，A1A=2,AC=1,∠A1AC=60∘，
由余弦定理得A1C=3，
所以A1C2+AC2=A1A2，
所以A1C⊥AC .
同理A1C⊥BC .
又因为BC∩AC=C，
所以A1C⊥平面ABC．
因为A1C⊂平面A1ACC1，
所以平面ABC⊥平面A1ACC1 .
(2)解：以C为坐标原点，CA→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，
则A(1,0,0),B(−12，32,0),C(0,0,0,0),A1(0,0,3),P−13,0,33 .
AA1→=−1,0,3,AB→=−32,32,0，A1B→=−12,32,−3，
A1P→=−13,0,−233 .
设平面A1AB的法向量为m→=x1,y1,z1，
则 m→⋅AA1→=−x1+3z1=0,m→⋅AB→=−32x1+32y1=0，
令z1=1，得m→=3,3,1 .
设平面PA1B的法向量为n→=x2,y2,z2，
则n→⋅A1B→=−12x2+32y2−3z2=0,n⋅A1P→=−13x2−233z2=0,
令z2=1，得n→=−23,0,1，
所以csm→,n→=m→⋅n→|m→||n→|=−6+113×13=−513 .
因为二面角P−A1B−A为锐角，
所以二面角P−A1B−A的余弦值为513 .
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：连接A1C，在△A1AC中，A1A=2,AC=1,∠A1AC=60∘，
由余弦定理得A1C=3，
所以A1C2+AC2=A1A2，
所以A1C⊥AC .
同理A1C⊥BC .
又因为BC∩AC=C，
所以A1C⊥平面ABC．
因为A1C⊂平面A1ACC1，
所以平面ABC⊥平面A1ACC1 .
(2)解：以C为坐标原点，CA→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，
则A(1,0,0),B(−12，32,0),C(0,0,0,0),A1(0,0,3),P−13,0,33 .
AA1→=−1,0,3,AB→=−32,32,0，A1B→=−12,32,−3，
A1P→=−13,0,−233 .
设平面A1AB的法向量为m→=x1,y1,z1，
则 m→⋅AA1→=−x1+3z1=0,m→⋅AB→=−32x1+32y1=0，
令z1=1，得m→=3,3,1 .
设平面PA1B的法向量为n→=x2,y2,z2，
则n→⋅A1B→=−12x2+32y2−3z2=0,n⋅A1P→=−13x2−233z2=0,
令z2=1，得n→=−23,0,1，
所以csm→,n→=m→⋅n→|m→||n→|=−6+113×13=−513 .
因为二面角P−A1B−A为锐角，
所以二面角P−A1B−A的余弦值为513 .
【答案】
解：(1)∵e=ca=12，
∴a=2c，
∵椭圆上的点离右焦点F的最短距离为a−c=1 ，
∴a=2，c=1，b=3，
∴椭圆E的方程为x24+y23=1 ．
(2)当P与F重合时，显然符合题意，
当P与F不重合时，设直线l的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2),P(t,0) ，
联立方程组x=my+1,3x2+4y2=12,
得3m2+4y2+6my−9=0，
则y1+y2=−6m3m+4，y1y2=−93m2+4，
∵|PA||PB|=|AF||BF|．
∴PF为∠APB的角平分线，
∴kPA+kPB=y1x1−t+y2x2−t=0 ，
即y1x2−t+y2x1−t=0 ，
整理得2my1y2+1−ty1+y2=0,
即2m⋅−93m2+4+1−t−6m3m2+4=0 ,
解得t=4，
故存在P1,0,P4,0满足题意．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义和性质
椭圆的离心率
圆锥曲线的综合问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵e=ca=12，
∴a=2c，
∵椭圆上的点离右焦点F的最短距离为a−c=1 ，
∴a=2，c=1，b=3，
∴椭圆E的方程为x24+y23=1 ．
(2)当P与F重合时，显然符合题意，
当P与F不重合时，设直线l的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2),P(t,0) ，
联立方程组x=my+1,3x2+4y2=12,
得3m2+4y2+6my−9=0，
则y1+y2=−6m3m+4，y1y2=−93m2+4，
∵|PA||PB|=|AF||BF|．
∴PF为∠APB的角平分线，
∴kPA+kPB=y1x1−t+y2x2−t=0 ，
即y1x2−t+y2x1−t=0 ，
整理得2my1y2+1−ty1+y2=0,
即2m⋅−93m2+4+1−t−6m3m2+4=0 ,
解得t=4，
故存在P1,0,P4,0满足题意．
【答案】
解：(1)当a=12时，f(x)=lnx−x+12x2，
f′(x)=1x−1+x=x2−x+1x．
因为f′(1)=1，f(1)=−12，
所以所求切线方程为y−(−12)=1×(x−1)，即2x−2y−3=0．
(2)因为f′(x)=x2−2ax+2ax，
所以x1，x2是方程x2−2ax+2a=0的两个正根．
令g(x)=x2−2ax+2a，
则Δ=4a2−8a>0,a>0,g(0)=2a>0,解得a>2．
因为x1+x2=x1x2=2a，
所以f(x2)−f(x1)
=2alnx2−2ax2+12x22−2alnx1−2ax1+12x12
=x1x2lnx2x1−12(x22−x12)．
由f(x1)−f(x2)>b(x12−x22)，
可得f(x2)−f(x1)−b(x22−x12)
=x1x2lnx2x1−12+b(x22−x12)0，
所以lnx2x1−12+bx2x1−x1x20恒成立．
令t=x2x1，
因为x2>e2x1，
所以t>e2，
则12+bt−1t−lnt>0，
整理得12+b>lntt−1t=tlntt2−1．
令ℎ(t)=tlntt2−1，t>e2，
则ℎ′(t)=(lnt+1)(t2−1)−2t2lnt(t2−1)2，
=(t2−1)−(t2+1)lnt(t2−1)20,g(0)=2a>0,解得a>2．
因为x1+x2=x1x2=2a，
所以f(x2)−f(x1)
=2alnx2−2ax2+12x22−2alnx1−2ax1+12x12
=x1x2lnx2x1−12(x22−x12)．
由f(x1)−f(x2)>b(x12−x22)，
可得f(x2)−f(x1)−b(x22−x12)
=x1x2lnx2x1−12+b(x22−x12)0，
所以lnx2x1−12+bx2x1−x1x20恒成立．
令t=x2x1，
因为x2>e2x1，
所以t>e2，
则12+bt−1t−lnt>0，
整理得12+b>lntt−1t=tlntt2−1．
令ℎ(t)=tlntt2−1，t>e2，
则ℎ′(t)=(lnt+1)(t2−1)−2t2lnt(t2−1)2，
=(t2−1)−(t2+1)lnt(t2−1)2