2020-2021学年河南省南阳市高三（上）数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高三（上）数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|2x<1，集合B=x|lg2x+1<1，则A∪B=( )
A.−1,0B.−∞,1C.−∞,0D.−∞,−1

2. z=11−i−i，则|z|=( )
A.102B.22C.52D.12

3. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值是5−12，大约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．在直角三角形中，c为斜边，如果一直角边a是将斜边c进行黄金分割成两部分中的较长部分，则a，b，c成等比数列．现有一直角三角形恰好满足上面的特性，其斜边长为5+12，则它的两直角边平方差的绝对值是( )
A.5−12B.5+12C.5−1D.5+1

4. cs105∘=( )
A.2−34B.2+34C.2−64D.6−24

5. 如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为( )

A.2，4B.2，5C.0，4D.0，5

6. 若函数f(x)=ax+ex不存在极值点，则a的取值范围是( )
A.a<0B.a≤0C.a>0D.a≥0

7. 已知圆C:x2+y2−2y=0，P为直线l:x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT（T为切点），则|PT|最小值是( )
A.142B.14C.3142D.214

8. 已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，且Sn=n2+2n+a，则数列an−2an−8最大项与最小项的和是( )
A.−173B.−2C.2D.245

9. 2015年10月29日党的十八届五中全会决定：坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动．某夫妇已经有一个小孩．夫妇俩决定再要一个小孩，假定生男、生女是等可能的．若这个家庭现在的小孩是个女孩，则第二胎还是女孩的概率是( )
A.12B.14C.18D.34

10. 设F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线C离心率e的取值范围是( )
A.(1,2)B.(1, 2]C.(2, +∞)D.[2, +∞)

11. 已知：4a=5b，且1a+2b=1，则2a−blg2+b=( )
A.1B.2C.3D.4

12. 已知函数 f(x)=|ln(x+1)|, x∈(−1,1],xex+ln2−1e, x∈(1,+∞),若方程fx=a有三个不等根x1，x2，x3，则1x1+1x2+1x3的取值范围是( )
A.1,+∞B.0,1C.−1,0D.−∞,1
二、填空题

设x，y满足约束条件 2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z=2x+7y的最大值是________.

已知：a→=m,2，b→=m,1，其中m∈R，则a→在b→上的投影的最小值是________.

已知圆锥的底面周长是2π，母线长是3，则该圆锥内切球的表面积是________.

已知函数f(x)=2sinωx+π6+acsωx(a>0,ω>0)对任意的x1，x2∈R都有fx1+fx2≤43, 若f(x)在[0,π]上的取值范围是[3,23], 则实数ω的取值范围是________.
三、解答题

已知：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．sinA=35，csB=33．
(1)求csA的值；

(2)若a=4，求BC边上的高AD的长．

已知，在三棱锥A−BCD中，AB⊥AC，BD⊥DC，且AB=6，AC=8，BD=DC，cs∠ABD=3210.
(1)求证：平面ABC⊥平面BDC；

(2)若P是三棱锥A−BCD外接球上任一点，求三棱锥P−BCD体积的最大值．

高三年级计划从甲、乙两个班中选择一个班参加学校的知识竞赛，设甲班的成绩为x，乙班的成绩为y，两个班以往6次竞赛的成绩（满分150分）统计如下：

(1)请计算甲、乙两班的平均成绩和方差，从求得数据出发确定派哪个班参加竞赛更合适（方差保留一位小数）；

(2)若|x−y|≤5，则称甲、乙属于“同一阶层”．若从上述6次考试中任取三次，求至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率．
附：方差s2=1nx1−x¯2+x2−x¯2+⋯+xn−x¯2.

已知：椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P为其上顶点，长轴长为4，∠F1PF2=120∘.
(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上是否存在一点B（B位于第一象限），使得∠BF2F1=90∘+∠BF1F2，若存在，求出点B的坐标，并求△BF1F2的面积．若不存在，请说明理由．

已知函数fx=x−mlnx−1m∈R．
(1)当m=1时，求函数fx在x=2处的切线方程；

(2)若fx的最小值为0，求函数fx的解析式．

在直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P(12，1)，倾斜角α=π6，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=22cs(θ−π4).
(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值.

已知函数fx=|2x+a−2|+|x−2a|．
(1)若f1<3，求实数a的取值范围；

(2)若不等式fx−|x+a2−1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高三（上）数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
指、对数不等式的解法
【解析】
先求出集合A，B，再利用集合的补集运算求解即可.
【解答】
解：由题意可得：A={x|x<0}，B={x|−1所以A∪B={x|x<1}.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的模
【解析】
先化简复数，再利用复数的模进行求解即可.
【解答】
解：z=11−i−i=1+i1−i1+i−i=12−12i，
则z=122+−122=22.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
类比推理
等比数列的性质
【解析】
利用黄金分割定义以及勾股定理,等比数列性质,建立方程求解即可得等选项.
【解答】
解：设直角三角形三边为a，b，c，且c=5+12，
所以a2+b2=5+122，
因为三边为a，b，c成等比数列，
所以b2=ac.
代入得a2+ac=5+122.
即a2+5+12a−5+122=0，
解得：a=1.
所以b2=ac=5+12，
则a2−b2=|1−5+12|=5−12.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
通过105∘=45∘+60∘，直接利用两角和的余弦函数，展开求解即可．
【解答】
解：因为cs105∘=cs(45∘+60∘)
=cs45∘cs60∘−sin45∘sin60∘
=22×12−22×32
=2−64．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．
【解答】
解：模拟执行程序框图，输入a=6，b=8，i=0，
i=1，不满足a>b，a≠b，b=8−6=2，
i=2，满足a>b，a=6−2=4，b=2，
i=3，满足a>b，a=4−2=2，b=2，
i=4，不满足a>b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
函数f(x)=ax+ex在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），又导数为 f′(x)=a+ex，故a=−ex无解，根据指数函数的性质求得实数a的取值范围．
【解答】
解：函数f(x)=ax+ex在R上不存在极值点，
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．
∵ 函数f(x)=ax+ex的导数为 f′(x)=a+ex，
∴ a+ex=0无解，∴ a=−ex无解，
∴ a≥0．
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
分析出切线最小时的情况，代入求解即可.
【解答】
解：将圆的方程化为标准式为x2+y−12=1,
当圆心到直线l的距离最小时，PT最小.
∵ 圆心到直线的距离d=−1−22=322，
∴ PTmin=d2−r2=142.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
数列的函数特性
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列求和公式得等a=0,利用数列递推公式求出通项公式，结合函数单调性求出最大值已经最小值，即可得等答案.
【解答】
解：因为an为等差数列，
所以满足Sn=An2+Bn形式.
因为Sn=n2+2n+a，
所以a=0.
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+1.
又a1=S1=3，满足an=2n+1，
所以数列an的通项公式为an=2n+1.
设bn=an−2an−8，
所以bn=2n−12n−7=1+62n−7,
利用函数单调性得，bn最小值为b3=−5，最大值为b4=7，
所以最大项与最小项的和为2.
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
等可能事件的概率
【解析】
求概率的方法有列举法、列表法、画树状图等。
【解答】
解：作出树状图如图所示：
共有两种等可能的结果，其中第二胎是女孩的结果有一种，故P(第二胎是女孩)=12.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的定义
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，a≥c−a，从而求得此双曲线的离心率e的范围．
【解答】
解：由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，
由|PF1|=3|PF2|，
可得2|PF2|=2a，即|PF2|=a，
根据点P在双曲线的右支上，
可得|PF2|≥c−a，
即a≥c−a，即为c≤2a，则e=ca≤2，
可得1故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
对数及其运算
指数式与对数式的互化
对数的运算性质
【解析】
换元，并利用对数运算求出k，再利用对数加减运算公式求值
【解答】
解：由4a=5b，则lg4a=lg5b，
不妨令lg4a=lg5b=k ，
则a=k2lg2，b=klg5 ，
lg4a=alg22=2alg2 .
由1a+2b=1，得2lg2k+2lg5k=1 .
∵ 2k(lg2+lg5)=2klg(2×5)=1 ，
∴ k=2 ,
则a=1lg2，b=2lg5 ，
则(2a−b)lg2+b
=2alg2−blg2+blg10
=2alg2+blg5
=21lg2×lg2+2lg5×lg5
=4 .
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点与方程根的关系
对数函数的图象与性质
【解析】
作出分段函数的图象，结合函数的性质分析问题.
【解答】
解：由f(x)=ln(x+1),x∈(−1,1]xex+ln2−1e,x∈(1,+∞)可得 f(x)图象如图所示：
当 x>1时， f′(x)=(1−x)exe2x<0， f(x)在 (1,+∞)上单调递减，
当x→+∞ 时， xex=0， f(x)=ln2−1e>0，
设 x1故ln(x1+1)=1a​， ln(x2+1)=a​⇒x1+1=1x2+1，
又 (x1+1)(x2+1)=1，
∴ x1x2+x1+x2=0，
∴ 1x1+1x2+1x3=x1+x2x1x2+1x3=1x3−1，
又 x3>1，故1x1+1x2+1x3∈(−1,0).
故选C.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域如图所示，利用目标函数的几何意义求解即可.
【解答】
解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：
由z=2x+7y可得y=−27x+z7，
平移直线y=−27x+z7，当直线经过B1,0，直线在y轴上截距最大，
所以zmin=2×1+7×0=2.
故答案为：2.
【答案】
2
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
向量的投影
【解析】
先求出a→在b→方向上的投影，再利用基本不等式求最值即可.
【解答】
解：a→在b→方向上的投影为：
a→cs=a →⋅b→|b→|=m2+2m2+1
=m2+1+1m2+1≥2，
当且仅当m=0时等号成立，
所以a→在b→方向上的投影的最小值为2.
故答案为：2.
【答案】
2π
【考点】
多面体的内切球问题
球的表面积和体积
【解析】
设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得r，即可求出该圆锥内切球的表面积．
【解答】
解：由圆锥的底面周长是2π，可知其底面半径为1．
设内切球的半径为r，
则利用轴截面，根据等面积可得：
12×2×9−1=12×3+3+2r​，
∴ r=22，
∴ 该圆锥内切球的表面积为4πr2=4π×12=2π.
故答案为：2π.
【答案】
[16,13]
【考点】
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=3sinωx+(1+a)csωx=
3+(1+a)2sin(ωx+φ),
由题意f(x)的最大值为23,
∴ (1+a)2=9,
∵ a>0,
∴a=2,
∴ f(x)=23sinωx+π3,
若f(x)在[0,π]上的值域为[3,23],
则由正弦函数的图象可知：π2≤ωπ+π3≤2π3,
∴16≤ω≤13,
故答案为：[16,13].
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ B∈0,π，csB=33，
∴ sinB=1−cs2B=63．
∵ sinA=35，而sinB>sinA，
由正弦定理可知B>A，∴ A∈0,π2，
故csA=45．
(2)由asinA=bsinB得， b=asinBsinA=4×6335=2069，
又∵ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=33+4615，
∴ AD=bsinC=2069×33+4615=32+1229．
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ B∈0,π，csB=33，
∴ sinB=1−cs2B=63．
∵ sinA=35，而sinB>sinA，
由正弦定理可知B>A，∴ A∈0,π2，
故csA=45．
(2)由asinA=bsinB得， b=asinBsinA=4×6335=2069，
又∵ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=33+4615，
∴ AD=bsinC=2069×33+4615=32+1229．
【答案】
(1)证明：取BC的中点O，连结AO，DO，
由题意，易得：BC=10，BD=DC=52，AO=DO=5，
在△ABD中，由cs∠ABD=AB2+BD2−AD22AB⋅BD得，AD=52，
因为AD2=50=AO2+DO2，所以∠AOD=90∘，即DO⊥OA，
又BD=DC，O为BC中点，所以DO⊥BC，
而BC∩AO=O，BC⊂平面ABC，AO⊂平面ABC
所以，DO⊥平面ABC，又DO⊂平面BDC，所以平面ABC⊥平面BDC．
(2)解：由(1)知，OA=OB=OC=OD，
所以点O为三棱锥A−BCD外接球的球心．
同时，BC为球的直径，则过三角形BDC的截面圆为球的大圆，
当且仅当点P是垂直于平面BDC的球的直径端点时，三棱锥P−BCD体积最大，
即三棱锥P−BCD体积的最大值为13S△BDC⋅OP=13S△BDC⋅OA=1253．
【考点】
平面与平面垂直的判定
余弦定理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：取BC的中点O，连结AO，DO，
由题意，易得：BC=10，BD=DC=52，AO=DO=5，
在△ABD中，由cs∠ABD=AB2+BD2−AD22AB⋅BD得，AD=52，
因为AD2=50=AO2+DO2，所以∠AOD=90∘，即DO⊥OA，
又BD=DC，O为BC中点，所以DO⊥BC，
而BC∩AO=O，BC⊂平面ABC，AO⊂平面ABC
所以，DO⊥平面ABC，又DO⊂平面BDC，所以平面ABC⊥平面BDC．
(2)解：由(1)知，OA=OB=OC=OD，
所以点O为三棱锥A−BCD外接球的球心．
同时，BC为球的直径，则过三角形BDC的截面圆为球的大圆，
当且仅当点P是垂直于平面BDC的球的直径端点时，三棱锥P−BCD体积最大，
即三棱锥P−BCD体积的最大值为13S△BDC⋅OP=13S△BDC⋅OA=1253．
【答案】
解：(1)x¯=16×133+145+118+125+132+127=130，
y¯=16×128+139+121+144+127+121=130，
s甲2=16×9+225+144+25+4+9=2083≈69.3，
s乙2=16×4+81+81+196+9+81=2263≈75.3，
由于x¯=y¯，s甲2所以派甲班参加竞赛更合适．
(2)上述6次考试中次数为1，3，5的满足|x−y|≤5，称甲、乙属于“同一阶层”.
从中任取三次，总共有：
1,2,3，(1,2,4)，1,2,5，1,2,6，1,3,4，
1,3,5，1,3,6，1,4,5，1,4,6，1,5,6，
2,3,4，2,3,5，2,3,6，2,4,5，2,4,6，
2,5,6，3,4,5，3,4,6，3,5,6，4,5,6，共20种结果，
其中至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的结果有10种，
则至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率为1020=12.
【考点】
众数、中位数、平均数
离散型随机变量的期望与方差
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x¯=16×133+145+118+125+132+127=130，
y¯=16×128+139+121+144+127+121=130，
s甲2=16×9+225+144+25+4+9=2083≈69.3，
s乙2=16×4+81+81+196+9+81=2263≈75.3，
由于x¯=y¯，s甲2所以派甲班参加竞赛更合适．
(2)上述6次考试中次数为1，3，5的满足|x−y|≤5，称甲、乙属于“同一阶层”.
从中任取三次，总共有：
1,2,3，(1,2,4)，1,2,5，1,2,6，1,3,4，
1,3,5，1,3,6，1,4,5，1,4,6，1,5,6，
2,3,4，2,3,5，2,3,6，2,4,5，2,4,6，
2,5,6，3,4,5，3,4,6，3,5,6，4,5,6，共20种结果，
其中至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的结果有10种，
则至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率为1020=12.
【答案】
解：(1)由题意可得 a=2，tan60∘=cb，
因为a2=b2+c2，解得a=2b=1，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)设B(x0,y0)，
∵ ∠BF2F1=90∘+∠BF1F2，
∴ 直线BF1和BF2的斜率显然存在，且kBF1 kBF2=1，
即y0x0+3⋅y0x0−3=1，∴ x02−y02=3，
又点B是椭圆C上位于第一象限的一点，
因此有x02−y02=3，x024+y02=1，x0,y0>0，解得 x0=455，y0=55，
即B455,55，
故S△BF1F2=12⋅|F1F2|⋅y0=12×23×55=155．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)由题意可得 a=2，tan60∘=cb，
因为a2=b2+c2，解得a=2b=1，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)设B(x0,y0)，
∵ ∠BF2F1=90∘+∠BF1F2，
∴ 直线BF1和BF2的斜率显然存在，且kBF1 kBF2=1，
即y0x0+3⋅y0x0−3=1，∴ x02−y02=3，
又点B是椭圆C上位于第一象限的一点，
因此有x02−y02=3，x024+y02=1，x0,y0>0，解得 x0=455，y0=55，
即B455,55，
故S△BF1F2=12⋅|F1F2|⋅y0=12×23×55=155．
【答案】
解：(1)当m=1时，fx=x−lnx−1，x∈0,+∞，
∴ f′(x)=1−1x，
∴ f′2=12，而f2=1−ln2，
∴ fx在x=2处的切线方程为y=12x−2+1−ln2，即y=12x−ln2．
(2)∵ fx=x−mlnx−1，x∈0,+∞，∴ f′x=1−mx，
当m≤0时，f′x>0，∴ fx在0,+∞为增函数，无最小值；
当m>0时，f′x=0，得x=m，
∴ x∈0,m时，f′x<0，fx为减函数，
x∈m,+∞时，f′x>0，fx为增函数．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0．
令φm=m−mlnm−1=0m>0，
则φ′m=1−lnm−1=−lnm，
由φ′m=−lnm=0，得m=1，
易知φm在0,1单调递增，在1,+∞)上单调递减，且φ1=0．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0只有一解m=1．
∴ 函数fx的解析式为fx=x−lnx−1．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当m=1时，fx=x−lnx−1，x∈0,+∞，
∴ f′(x)=1−1x，
∴ f′2=12，而f2=1−ln2，
∴ fx在x=2处的切线方程为y=12x−2+1−ln2，即y=12x−ln2．
(2)∵ fx=x−mlnx−1，x∈0,+∞，∴ f′x=1−mx，
当m≤0时，f′x>0，∴ fx在0,+∞为增函数，无最小值；
当m>0时，f′x=0，得x=m，
∴ x∈0,m时，f′x<0，fx为减函数，
x∈m,+∞时，f′x>0，fx为增函数．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0．
令φm=m−mlnm−1=0m>0，
则φ′m=1−lnm−1=−lnm，
由φ′m=−lnm=0，得m=1，
易知φm在0,1单调递增，在1,+∞)上单调递减，且φ1=0．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0只有一解m=1．
∴ 函数fx的解析式为fx=x−lnx−1．
【答案】
解：(1)直线l的参数方程为x=12+tcsπ6,y=1+tsinπ6（t为参数），
即x=12+32t,y=1+12t（t为参数），
由ρ=22csθ−π4，得ρ=2csθ+2sinθ，
∴ ρ2=2ρcsθ+2ρsinθ，
∴ x2+y2=2x+2y，
故圆C的直角坐标方程为x−12+y−12=2.
(2)设A，B两点对应的参数为t1和t2，
把x=12+32t，y=1+12t（t为参数），
代入x−12+y−12=2，
化简整理得，t2−32t−74=0，
则t1+t2=32，t1t2=−74，
∴ |PA|+|PB|=|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=312.
【考点】
直线的参数方程
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线与圆相交的性质
【解析】
（1）根据直线经过的点及直线的倾斜角，求出直线的参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，求出圆C的直角坐标方
程；
（2）设A、B两点对应的参数为t1和t2，以直线】的参数方程代入圆的方程，整理可得t2−32t−74=0，由根与系数的关系可得t1+t2与t1t2，根据直线的参数方程中参数的几何意义，计算|PA|+|PB|即可．
【解答】
解：(1)直线l的参数方程为x=12+tcsπ6,y=1+tsinπ6（t为参数），
即x=12+32t,y=1+12t（t为参数），
由ρ=22csθ−π4，得ρ=2csθ+2sinθ，
∴ ρ2=2ρcsθ+2ρsinθ，
∴ x2+y2=2x+2y，
故圆C的直角坐标方程为x−12+y−12=2.
(2)设A，B两点对应的参数为t1和t2，
把x=12+32t，y=1+12t（t为参数），
代入x−12+y−12=2，
化简整理得，t2−32t−74=0，
则t1+t2=32，t1t2=−74，
∴ |PA|+|PB|=|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=312.
【答案】
解：(1)由f1<3可得，|a|+|1−2a|<3，
①当a≤0时，不等式化为−a+1−2a<3，解得a>−23，∴ −23②当0−2，∴ 0③当a≥12时，不等式化为a−1−2a<3，解得a<43，∴ 12≤a<43．
综上，实数a的取值范围是−23,43．
(2)∵ fx−|x+a2−1|
=|2x+a−2|−|x+a2−1|+|x−2a|
=|x+a2−1|+|x−2a|，
又∵ |x+a2−1|+|x−2a|
≥|x+a2−1−x−2a|=|5a2−1|，
当x=1−a2时，等号成立，
∴ f(x)−|x+a2−1|的最小值为5a2−1．
∵ 不等式fx−|x+a2−1|≥2恒成立，
∴ |1−5a2|≥2，解得a≥65或a≤−25．
∴ 实数a的取值范围是−∞,−25∪65,+∞．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由f1<3可得，|a|+|1−2a|<3，
①当a≤0时，不等式化为−a+1−2a<3，解得a>−23，∴ −23②当0−2，∴ 0③当a≥12时，不等式化为a−1−2a<3，解得a<43，∴ 12≤a<43．
综上，实数a的取值范围是−23,43．
(2)∵ fx−|x+a2−1|
=|2x+a−2|−|x+a2−1|+|x−2a|
=|x+a2−1|+|x−2a|，
又∵ |x+a2−1|+|x−2a|
≥|x+a2−1−x−2a|=|5a2−1|，
当x=1−a2时，等号成立，
∴ f(x)−|x+a2−1|的最小值为5a2−1．
∵ 不等式fx−|x+a2−1|≥2恒成立，
∴ |1−5a2|≥2，解得a≥65或a≤−25．
∴ 实数a的取值范围是−∞,−25∪65,+∞．1
2
3
4
5
6
x
133
145
118
125
132
127
y
128
139
121
144
127
121