2020-2021学年河南省南阳市高三（上）1月月考数学（理）试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年河南省南阳市高三（上）1月月考数学（理）试卷北师大版，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z=1+i3+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 已知全集U=R，集合A={x|−2A.[−1,2）B.(−2,−1]C.−1,2D.[−2,1)

3. “θ=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanθ=1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4. 某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是( )
A.1087B.937C.387D.327

5. 若单位向量a→，b→满足a→−2b→⊥a→，则a→与b→的夹角为( )
A.π6B.π3C.π2D.π

6. 摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其（TURKEY）的西南方，建筑的底面是长为40米，宽为30米的长方形，总高45米，其中墩座墙高20米，柱高12米，金字塔高7米，最顶部的马车雕像高6米，建筑物被墩座墙围住，旁边以石像作装饰，顶部的雕像是四匹马拉着一架古代战车．若摩索拉斯陵墓可视为一个长方体与一个正四棱锥的组合体，且长方体的上底面与正四棱锥的底面重合，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为( )（注：674≈25.962）

7. 已知a=lg23⋅lg35，b=lg294，c=20.99，则( )
A.a
8. 函数fx=ex−1ex+1⋅sinx在[−π,π]上的图象大致为（）
A.
B.
C.
D.

9. 在面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2=3+4StanA，则a=( )
A.1B.3C.2D.3

10. 已知函数fx=sinωx+φ0<ω<4，|φ|<π2，fπ12=f7π12=0，则fx=( )
A.sin2x−π6B.sin3x−π4C.sin3x+π4D.sin2x+π3

11. 点F为抛物线C:y2=4x的焦点，横坐标为mm>0的点P为抛物线C上一点，过点P且与抛物线C相切的直线l与y轴相交于点Q，则tan∠FPQ=（）
A.mB.m+12C.1mD.2m+1

12. 已知函数fx=xlnx，若对任意x1>x2>0，λ2x12−x22>fx1−fx2恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A.1,eB.(−∞,1]C.[e,+∞)D.[1,+∞)
二、填空题

已知实数x，y满足约束条件 x−y−1≤0,x+y−1≤0,5x−y+7≥0, 则z=−x−3y的最小值为________.

已知2−x10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则a1+2a2+3a3+⋯+10a10=________．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F，A为双曲线C的右顶点，过点F作x轴的垂线，与双曲线C交于P，若直线AP的斜率是双曲线C的一条渐近线斜率的3倍，则双曲线C的离心率为________.

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠APB=60∘，当△PAB的面积最大时，四棱锥P−ABCD的高为________，四棱锥P−ABCD外接球的表面积为________．
三、解答题

已知数列an满足a1=1，且an+1=anan+1．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn=44−an2，求数列bn的前n项和Sn．

如图1中，多边形ABCDE为平面图形，其中AB=AE=3，BE=BC=2，CD=4，BE//CD，BC⊥CD，将△ABE沿BE边折起，得到如图2所示四棱锥P−BCDE，其中点P与点A重合．

(1)当PD=11时，求证：DE⊥平面PCE；

(2)当二面角P−BE−C为135∘时，求平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值．

某校为了调研学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩．为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并分别绘制了如下图所示的频率分布直方图：
规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀．
(1)根据这次抽查的数据，填写下列的2×2列联表：

(2)根据(1)中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？

(3)用样本估计总体，将频率视为概率．在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有n1附：临界值参考表与参考公式
(K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d）

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，且M的坐标为1,32.
(1)求椭圆C的方程；

(2)过F2作与直线MN不重合的直线l，与C相交于P，Q两点，若直线PM和直线QN相交于点T，求证：点T在定直线上．

已知函数fx=x−1x−2alnxa∈R.
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若lnx1−lnx2=1x1+1x2，求证：x1>x2+2.

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x=−12t,y=32t （t为参数），曲线C的参数方程为x=1+csα,y=sinα（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；

(2)已知A是曲线C上一点，B是直线l上位于极轴所在直线上方的一点，若|OB|=2，求△AOB面积的最大值．

设a，b，c∈R，且a+b+c=1.
(1)求证：a2+b2+c2≥13；

(2)用max{a,b,c}表示a，b，c的最大值，求max{a+b,b+c,c+a}的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高三（上）1月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=1+i3+i=(1+i)(3−i)(3+i)(3−i)=4+2i10=25+15i，
所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
补集及其运算
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，B={y|y>−1}，
则∁UB=(−∞,−1]，
所以A∩(∁UB)=(−2,−1]．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由tanθ＝1，解得θ=kπ+π4(k∈Z)，即可判断出结论．
【解答】
解：由tanθ=1，解得θ=kπ+π4(k∈Z)，
∴ “θ=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanθ=1”的充分不必要条件．
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
系统抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依据题意，抽样间隔为25.
因为237除以25的余数为12，
故所抽取的编号为12+25kk=0,1,⋯,47，
所以327不符合．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
单位向量
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由a→−2b→⊥a→，
得a→−2b→⋅a→=0，
所以a→⋅b→=12.
设a→与b→的夹角为θ，
则csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=12.
又θ∈0,π，
所以θ=π3．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
简单组合体的结构特征
【解析】
无
【解答】
解：四棱锥的侧棱长为72+252=674米，
则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为45674≈1.73．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
换底公式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a=lg25>2，
b=lg28116>lg28016=lg25=a，
c<2，
∴ c故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
【解析】
无
【解答】
解：由f(−x)=e−x−1e−x+1⋅sin(−x)=ex−1ex+1⋅sinx=f(x)可知fx为偶函数，
又当x∈0,π时，fx=ex−1ex+1⋅sinx≥0．
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由三角形的面积公式，
得b2+c2=3+2bcsinAtanA，即b2+c2=3+2bccsA.
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA=3，
所以a=3．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，πω12+φ=k1π①，k1∈Z ，
7πω12+φ=k2π②，k2∈Z ，
②−①得，πω2=k2−k1πk1,k2∈Z，
即ω=2k2−k1k1,k2∈Z.
由0<ω<4，可得ω=2，
则φ=kπ−π6k∈Z．
又由|φ|<π2，
可得φ=−π6，
故有fx=sin2x−π6．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
抛物线的定义
直线与抛物线结合的最值问题
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由抛物线的对称性，不妨设点P位于第一象限，可得点P的坐标为m,2m，
设直线l的方程为y=kx−m+2m，
联立方程y2=4x,y=kx−m+2m，
消去x后整理为ky2−4y+8m−4km=0，
有Δ=16−4k8m−4km=0，
有mk2−2mk+1=0，解得k=1m，
可得直线l的方程为y=1mx+m，
令y=0，得x=−m，
直线l与x轴的交点D的坐标为−m,0，
所以|DF|=1+m，又|PF|=m+1，
所以|PF|=|DF|，
所以∠FPQ=∠FDP，
所以tan∠FPQ=tan∠FDP=k=1m．
故选C．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由λ2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)，
得λ2x12−x1lnx1>λ2x22−x2lnx2.
令g(x)=λ2x2−xlnx，
则问题可以转化为：
对任意x1>x2>0，g(x1)>g(x2)恒成立，
即函数gx在0,+∞上单调递增.
因为g′x=λx−lnx−1，
所以转化为g′x≥0在0,+∞上恒成立.
因为x∈(0,+∞)，
所以λ≥lnx+1x在0,+∞上恒成立，
即转化为λ≥(lnx+1x)max.
令ℎx=lnx+1x，则ℎ′x=−lnxx2，
所以当x∈0,1时，ℎ′x>0，
当x∈1,+∞时，ℎ′x<0，
所以ℎx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以ℎxmax=ℎ1=1，
所以λ≥1．
故选D．
二、填空题
【答案】
−5
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出可行域，如图所示，
则当直线z=−x−3y过点A−1,2时，z取得最小值，
则z的最小值为−5.
故答案为：−5.
【答案】
−10
【考点】
二项式定理的应用
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对2−x10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10两边分别求导，
得−102−x9=a1+2a2x+⋯+10a10x9.
令x=1，
得a1+2a1+3a3+⋯+10a10=−10．
故答案为：−10．
【答案】
2
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
斜率的计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设焦点F的坐标为c,0，双曲线C的离心率为e.
不妨设点P位于第一象限，则点P的坐标为c,b2a.
又点A的坐标为a,0，
所以直线AP的斜率为：
b2ac−a=c2−a2ac−a=c+aa=e+1.
又由ba=c2−a2a2=e2−1，
所以e+1=3e2−1，
整理为e2−e−2=0，
解得e=2或e=−1（舍）．
故答案为：2．
【答案】
3,28π3
【考点】
球的表面积和体积
棱锥的结构特征
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：点P在以弦AB=2，所对的圆周角为60∘的优弧APB上运动，
作PH⊥AB，H为垂足，
由侧面PAB⊥底面ABCD，
得PH⊥底面ABCD．
当H为AB的中点时，△PAB为等边三角形，
此时△PAB的面积最大，且PH=3，
即四棱锥P−ABCD的高为3．
设等边△PAB的中心为O1，正方形ABCD的中心为O2，
过O1，O2分别作平面PAB，平面ABCD的垂线，且交于点O，
则O为四棱锥P−ABCD外接球的球心，
显然R=O2O2+O2A2=332+22=73，
于是四棱锥P−ABCD外接球的表面积为4π732=28π3．
故答案为：3；28π3．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为an+1=anan+1，
所以1an+1−1an=an+1an−1an=1 .
又1a1=1，
所以数列1an是首项为1，公差为1的等差数列，
所以1an=1+n−1=n，得an=1n，
即数列{an}的通项公式为an=1nn∈N∗．
(2)由(1)，得bn=44−an2=44−1n2
=4n24n2−1=4n2−1+14n2−1
=1+12n−12n+1
=1+1212n−1−12n+1，
则Sn=1+121−13+1+1213−15+1+1215−17
+⋯+1212n−1−12n+1
=n+121−12n+1
=2nn+12n+1．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为an+1=anan+1，
所以1an+1−1an=an+1an−1an=1 .
又1a1=1，
所以数列1an是首项为1，公差为1的等差数列，
所以1an=1+n−1=n，得an=1n，
即数列{an}的通项公式为an=1nn∈N∗．
(2)由(1)，得bn=44−an2=44−1n2
=4n24n2−1=4n2−1+14n2−1
=1+12n−12n+1
=1+1212n−1−12n+1，
则Sn=1+121−13+1+1213−15+1+1215−17
+⋯+1212n−1−12n+1
=n+121−12n+1
=2nn+12n+1．
【答案】
(1)证明：由BE//CD，BC⊥CD，BE=BC=2，CD=4，
易求CE=DE=22，
所以CE2+DE2=CD2，
所以DE⊥CE．
因为PE=3，PD=11，
所以DE2+PE2=11=PD2，
所以DE⊥PE．
又PE∩CE=E，PE，CE⊂平面PCE，
所以DE⊥平面PCE．
(2)解：取BE的中点O，过点O在平面BCDE内作BE的垂线交CD于F，
以直线OF为x轴，直线OE为y轴，过点O作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则O0,0,0，B0,−1,0，E0,1,0，C2,−1,0，D2,3,0．
因为PB=PE，O为BE的中点，
所以PO⊥BE，
又BE⊥OF，
所以∠POF=135∘．
在Rt△POE中，PE=3，OE=1，
所以PO=2，
所以P−1,0,1，
所以OE→=0,1,0，OP→=−1,0,1，
CD→=0,4,0，CP→=−3,1,1．
设平面PBE的法向量为m→=x,y,z，
则m→⋅OE→=y=0，m→⋅OP→=−x+z=0，
解得y=0,z=x,
令x=1，得m→=1,0,1.
设平面PCD的法向量为n→=a,b,c，
则n→⋅CD→=4b=0，n→⋅CP→=−3a+b+c=0，
解得b=0,c=3a,
令a=1，得n→=1,0,3，
所以m→⋅n→=4，|m→|=2，|n→|=10，
则cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=42×10=25，
故平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值为：
1−252=55．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：由BE//CD，BC⊥CD，BE=BC=2，CD=4，
易求CE=DE=22，
所以CE2+DE2=CD2，
所以DE⊥CE．
因为PE=3，PD=11，
所以DE2+PE2=11=PD2，
所以DE⊥PE．
又PE∩CE=E，PE，CE⊂平面PCE，
所以DE⊥平面PCE．
(2)解：取BE的中点O，过点O在平面BCDE内作BE的垂线交CD于F，
以直线OF为x轴，直线OE为y轴，过点O作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则O0,0,0，B0,−1,0，E0,1,0，C2,−1,0，D2,3,0．
因为PB=PE，O为BE的中点，
所以PO⊥BE，
又BE⊥OF，
所以∠POF=135∘．
在Rt△POE中，PE=3，OE=1，
所以PO=2，
所以P−1,0,1，
所以OE→=0,1,0，OP→=−1,0,1，
CD→=0,4,0，CP→=−3,1,1．
设平面PBE的法向量为m→=x,y,z，
则m→⋅OE→=y=0，m→⋅OP→=−x+z=0，
解得y=0,z=x,
令x=1，得m→=1,0,1.
设平面PCD的法向量为n→=a,b,c，
则n→⋅CD→=4b=0，n→⋅CP→=−3a+b+c=0，
解得b=0,c=3a,
令a=1，得n→=1,0,3，
所以m→⋅n→=4，|m→|=2，|n→|=10，
则cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=42×10=25，
故平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值为：
1−252=55．
【答案】
解：(1)列出2×2列联表，如下：
(2)K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=4015×15−5×5220×20×20×20=10>6.635，
所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关．
(3)根据频率分布直方图，
可得男生物理成绩优秀的概率为0.5+0.25=0.75=34，
女生物理成绩优秀的概率为0.2+0.05=0.25=14．
设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量ξ，
“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量η，
根据题意，得ξ∼B8,34，η∼B8,14，
则P1=C8n34n1−348−n
=C8n34n148−n
=C8n⋅3n48，
P2=C8n14n1−148−n
=C8n14n348−n
=C8n⋅38−n48，
则P1P2=C8n⋅3n48C8n⋅38−n48=32n−8，
当n=4时，32n−8=1，于是P1=P2；
当1当11，于是P1>P2．
【考点】
独立性检验
二项分布的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)列出2×2列联表，如下：
(2)K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=4015×15−5×5220×20×20×20=10>6.635，
所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关．
(3)根据频率分布直方图，
可得男生物理成绩优秀的概率为0.5+0.25=0.75=34，
女生物理成绩优秀的概率为0.2+0.05=0.25=14．
设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量ξ，
“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量η，
根据题意，得ξ∼B8,34，η∼B8,14，
则P1=C8n34n1−348−n
=C8n34n148−n
=C8n⋅3n48，
P2=C8n14n1−148−n
=C8n14n348−n
=C8n⋅38−n48，
则P1P2=C8n⋅3n48C8n⋅38−n48=32n−8，
当n=4时，32n−8=1，于是P1=P2；
当1当11，于是P1>P2．
【答案】
(1)解：由题意，得F21,0，F1−1,0，即c=1，
则2a=|MF1|+|MF2|
=−1−12+0−322+32=4，
即a=2，
所以b=a2−c2=3，
故椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)证明：由(1)及椭圆C的对称性，
得点N的坐标为1,−32.
设直线l的方程为y=kx−1，点P，Q的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
联立方程x24+y23=1,y=kx−1,
消去y后整理为(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，
所以x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3．
因为直线PM的斜率为y1−32x1−1=kx1−1−32x1−1=k−32x1−2，
则直线PM的方程为y−32=k−32x1−2x−1．
因为直线QN的斜率为y2+32x2−1=kx2−1+32x2−1=k+32x2−2，
则直线QN的方程为y+32=k+32x2−2x−1．
将直线PM和直线QN方程作差消去y后整理为：
32x1−2+32x2−2x−1=3，
则1x1−1+1x2−1x−1=2.
又1x1−1+1x2−1=x1+x2−2x1−1x2−1
=x1+x2−2x1x2−x1+x2+1
=8k24k2+3−24k2−124k2+3−8k24k2+3+1=23，
所以23x−1=2，解得x=4，
即直线PM和QN的交点T的横坐标恒为4，
所以点T在定直线x=4上．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
斜率的计算公式
直线的点斜式方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由题意，得F21,0，F1−1,0，即c=1，
则2a=|MF1|+|MF2|
=−1−12+0−322+32=4，
即a=2，
所以b=a2−c2=3，
故椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)证明：由(1)及椭圆C的对称性，
得点N的坐标为1,−32.
设直线l的方程为y=kx−1，点P，Q的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
联立方程x24+y23=1,y=kx−1,
消去y后整理为(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，
所以x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3．
因为直线PM的斜率为y1−32x1−1=kx1−1−32x1−1=k−32x1−2，
则直线PM的方程为y−32=k−32x1−2x−1．
因为直线QN的斜率为y2+32x2−1=kx2−1+32x2−1=k+32x2−2，
则直线QN的方程为y+32=k+32x2−2x−1．
将直线PM和直线QN方程作差消去y后整理为：
32x1−2+32x2−2x−1=3，
则1x1−1+1x2−1x−1=2.
又1x1−1+1x2−1=x1+x2−2x1−1x2−1
=x1+x2−2x1x2−x1+x2+1
=8k24k2+3−24k2−124k2+3−8k24k2+3+1=23，
所以23x−1=2，解得x=4，
即直线PM和QN的交点T的横坐标恒为4，
所以点T在定直线x=4上．
【答案】
(1)解：由题意得，f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′x=1+1x2−2ax=x2−2ax+1x2．
令gx=x2−2ax+1，
方程x2−2ax+1=0的判别式为：
Δ=4a2−4=4a+1a−1.
(ⅰ)当Δ≤0，即−1≤a≤1时，
gx=x2−2ax+1≥0恒成立，
即对任意x∈(0,+∞)，f′x=g(x)x2≥0，
所以f(x)在0,+∞上单调递增．
(ⅱ)当Δ>0，即a<−1或a>1．
①当a<−1时，
gx=x2−2ax+1>0恒成立，
即对任意x∈0,+∞，f′x=g(x)x2>0，
所以fx在0,+∞上单调递增．
②当a>1时，
由x2−2ax+1=0，
解得α=a−a2−1，β=a+a2−1，
所以00；
当α当x>β时，gx>0，
所以在(0,a−a2−1)∪(a+a2−1,+∞)上，f′(x)>0，
在(a−a2−1,a+a2−1)上，f′x<0，
所以函数fx在(0,a−a2−1)，a+a2−1,+∞上单调递增；
在(a−a2−1,a+a2−1)上单调递减．
综上，当a≤1时，fx在0,+∞上单调递增；
当a>1时，f(x)在(0,a−a2−1)，a+a2−1,+∞上单调递增；
在(a−a2−1,a+a2−1)上单调递减．
(2)证明：由lnx1−lnx2=1x1+1x2，
得lnx1−lnx2>0，
所以x1>x2>0.
因为lnx1−lnx2=1x1+1x2，
所以lnx1x2=x1+x2x1⋅x2=x1x2+1x1.
令x1x2=t，则t>1，lnt=t+1x1，
所以x1=t+1lnt，x2=t+1tlnt，
所以x1−x2=t2−1tlnt，
所以要证x1>x2+2，只要证t2−1tlnt>2，
即证t−1t>2lnt(t>1)．
由(1)可知，当a=1时，
f(x)=x−1x−2lnx在(0,+∞)上是增函数，
所以，当t>1时，ft>f1=0，
即t−1t>2lnt(t>1)成立，
所以x1>x2+2成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由题意得，f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′x=1+1x2−2ax=x2−2ax+1x2．
令gx=x2−2ax+1，
方程x2−2ax+1=0的判别式为：
Δ=4a2−4=4a+1a−1.
(ⅰ)当Δ≤0，即−1≤a≤1时，
gx=x2−2ax+1≥0恒成立，
即对任意x∈(0,+∞)，f′x=g(x)x2≥0，
所以f(x)在0,+∞上单调递增．
(ⅱ)当Δ>0，即a<−1或a>1．
①当a<−1时，
gx=x2−2ax+1>0恒成立，
即对任意x∈0,+∞，f′x=g(x)x2>0，
所以fx在0,+∞上单调递增．
②当a>1时，
由x2−2ax+1=0，
解得α=a−a2−1，β=a+a2−1，
所以00；
当α当x>β时，gx>0，
所以在(0,a−a2−1)∪(a+a2−1,+∞)上，f′(x)>0，
在(a−a2−1,a+a2−1)上，f′x<0，
所以函数fx在(0,a−a2−1)，a+a2−1,+∞上单调递增；
在(a−a2−1,a+a2−1)上单调递减．
综上，当a≤1时，fx在0,+∞上单调递增；
当a>1时，f(x)在(0,a−a2−1)，a+a2−1,+∞上单调递增；
在(a−a2−1,a+a2−1)上单调递减．
(2)证明：由lnx1−lnx2=1x1+1x2，
得lnx1−lnx2>0，
所以x1>x2>0.
因为lnx1−lnx2=1x1+1x2，
所以lnx1x2=x1+x2x1⋅x2=x1x2+1x1.
令x1x2=t，则t>1，lnt=t+1x1，
所以x1=t+1lnt，x2=t+1tlnt，
所以x1−x2=t2−1tlnt，
所以要证x1>x2+2，只要证t2−1tlnt>2，
即证t−1t>2lnt(t>1)．
由(1)可知，当a=1时，
f(x)=x−1x−2lnx在(0,+∞)上是增函数，
所以，当t>1时，ft>f1=0，
即t−1t>2lnt(t>1)成立，
所以x1>x2+2成立．
【答案】
解：(1)由l的参数方程得l的普通方程为y=−3x，所以l的倾斜角为2π3，
所以直线l的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R)；
由曲线C的参数方程得C的普通方程为x−12+y2=1，
又x=ρcsθ，y=ρsinθ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ．
(2)由|OB|=2，则B的极坐标为2,2π3．
设A(ρ,θ)(−π2≤θ≤π2)，
则S△AOB=12|OA|⋅|OB|sin∠AOB=12×2×2csθsin2π3−θ
=2csθ32csθ+12sinθ=3cs2θ+sinθcsθ
=3×1+cs2θ2+12sin2θ=sin2θ+π3+32．
当sin2θ+π3=1，即θ=π12时，(S△AOB )max=1+32．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的极坐标方程
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由l的参数方程得l的普通方程为y=−3x，所以l的倾斜角为2π3，
所以直线l的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R)；
由曲线C的参数方程得C的普通方程为x−12+y2=1，
又x=ρcsθ，y=ρsinθ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ．
(2)由|OB|=2，则B的极坐标为2,2π3．
设A(ρ,θ)(−π2≤θ≤π2)，
则S△AOB=12|OA|⋅|OB|sin∠AOB=12×2×2csθsin2π3−θ
=2csθ32csθ+12sinθ=3cs2θ+sinθcsθ
=3×1+cs2θ2+12sin2θ=sin2θ+π3+32．
当sin2θ+π3=1，即θ=π12时，(S△AOB )max=1+32．
【答案】
(1)证明：因为2ab≤a2+b2（当且仅当a=b时等号成立），
2bc≤b2+c2（当且仅当b=c时等号成立），
2ac≤c2+a2（当且仅当c=a时等号成立），
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)
=3(a2+b2+c2).
由a+b+c=1，
得a2+b2+c2≥13，
当且仅当a=b=c=13时等号成立．
(2)解：设M=max{a+b,b+c,c+a}，
则M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，
则3M≥2a+b+c=2，即M≥23，
当且仅当a+b=b+c=c+a，即a=b=c=13时，等号成立，
所以max{a+b,b+c,c+a}的最小值为23．
【考点】
不等式的证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为2ab≤a2+b2（当且仅当a=b时等号成立），
2bc≤b2+c2（当且仅当b=c时等号成立），
2ac≤c2+a2（当且仅当c=a时等号成立），
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)
=3(a2+b2+c2).
由a+b+c=1，
得a2+b2+c2≥13，
当且仅当a=b=c=13时等号成立．
(2)解：设M=max{a+b,b+c,c+a}，
则M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，
则3M≥2a+b+c=2，即M≥23，
当且仅当a+b=b+c=c+a，即a=b=c=13时，等号成立，
所以max{a+b,b+c,c+a}的最小值为23．优秀
不优秀
合计
男生
女生
合计
P(K2≥K0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优秀
不优秀
合计
男生
15
5
20
女生
5
15
20
合计
20
20
40
优秀
不优秀
合计
男生
15
5
20
女生
5
15
20
合计
20
20
40