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人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案，共15页。学案主要包含了数量积的计算，利用数量积证明垂直问题，用数量积求解夹角和模等内容，欢迎下载使用。
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
思考 当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
答案 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．
知识点二 空间向量的数量积
思考1 向量的数量积运算是否满足结合律？
答案 不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．
思考2 对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝eq \f(k,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或b＝\f(k,a)))？
答案 不能，向量没有除法．
知识点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
1．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的夹角．( × )
2．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( × )
3．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( × )
4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( √ )
一、数量积的计算
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉
＝cs 60°－cs 60°＝0.
反思感悟 求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
跟踪训练1 (1) 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案 2
解析 ∵eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2 －eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明 设eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(—→))＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(A1O,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c，
∴eq \(A1O,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)
＝c·b－c·a＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)b·a
＝eq \f(1,2)(b2－a2)
＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.
于是eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即A1O⊥BD.
同理可证eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(OG,\s\up6(→))，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝eq \r(3)AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
所以DA⊥BD，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0.
由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝0.
又eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，即PA⊥BD.
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
(1)求eq \(BN,\s\up6(→))的模；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉的值．
解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(CC1,\s\up6(—→))|＝|eq \(AA1,\s\up6(—→))|＝2，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→)).
〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝90°，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0.
(1)因为eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))，
所以|eq \(BN,\s\up6(→))|2＝eq \(BN,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))－\(CB,\s\up6(→))))2
＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(CC1,\s\up6(—→))2＋eq \(CB,\s\up6(→))2＝12＋eq \f(1,4)×22＋12＝3，
所以|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(BN,\s\up6(→))|2)＝eq \r(3).
(2)因为eq \(BA1,\s\up6(—→))＝eq \(CA1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))，
eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))，
所以|eq \(BA1,\s\up6(—→))|2＝eq \(BA1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＋eq \(CB,\s\up6(→))2＝12＋22＋12＝6，|eq \(BA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，
|eq \(CB1,\s\up6(—→))|2＝eq \(CB1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))2＝eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＝12＋22＝5，|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))
＝eq \(CC1,\s\up6(—→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝22 －12＝3，
所以cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(—→))·\(CB1,\s\up6(—→)),|\(BA1,\s\up6(—→))||\(CB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3,\r(6)×\r(5))＝eq \f(\r(30),10).
延伸探究
1．(变结论)本例中条件不变，求eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(—→))夹角的余弦值．
解 由例题知，|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BN,\s\up6(→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))－\(CB,\s\up6(→))))·(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)×22 －12＝1.
所以cs〈eq \(BN,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BN,\s\up6(→))·\(CB1,\s\up6(→)),|\(BN,\s\up6(→))||\(CB1,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(3)×\r(5))＝eq \f(\r(15),15).
所以eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
2．(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角．
解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(CC1,\s\up6(—→))|＝1，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，
因为|eq \(CA1,\s\up6(—→))|2＝eq \(CA1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＝12＋12＝2，
所以|eq \(CA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(2)，
因为|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))2＝eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \(CA,\s\up6(→))2＝12＋12＝2，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
又因为eq \(CA1,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－eq \(CA,\s\up6(→))2＝－1.
所以cs〈eq \(CA1,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(CA1,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(CA1,\s\up6(—→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f( －1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2).
所以〈eq \(CA1,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝120°，
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
反思感悟 求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角：利用公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)求cs〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．
(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝eq \r(a2)，计算出|a|，即得所求长度(距离)．
跟踪训练3 (1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA′,\s\up6(——→))＝c，则〈eq \(A′B,\s\up6(——→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 D
(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B.eq \r(6)
C．3 D.eq \r(3)
答案 B
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
由eq \(AC1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c得|eq \(AC1,\s\up6(—→))|2＝eq \(AC1,\s\up6(—→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.
所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，故选B.
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1D1,\s\up6(—→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(B1A1,\s\up6(—→))
答案 A
2．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A,\s\up6(—→))＝a2 B.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝eq \r(2)a2
C.eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝a2 D.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A1,\s\up6(—→))＝a2
答案 C
3．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.
4．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________.
答案 eq \r(5)
解析 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2
＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c
＝5.
∴|a－b＋2c|＝eq \r(5).
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为________，eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝________.
答案 60° 1
解析 方法一 连接A1D(图略)，则∠PA1D就是eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq \r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为60°，因此eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \r(2)×eq \r(2)×cs 60°＝1.
方法二 根据向量的线性运算可得
eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝(eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝eq \r(2)，则eq \r(2)×eq \r(2)×cs〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(A1P,\s\up6(→))〉＝1，
从而〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(A1P,\s\up6(→))〉＝60°.
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影．
(2)空间向量数量积、性质及运算律．
2．方法归纳：化归转化．
3．常见误区：空间向量的数量积的三点注意
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°
＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq \f(1,2)，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝120°，
则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
答案 B
解析 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，
所以k＝6.
4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为( )
A．a2 B.eq \f(1,2)a2 C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
答案 C
解析 eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a×a×\f(1,2)＋a×a×\f(1,2)))＝eq \f(1,4)a2.
5．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.eq \(PC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(PB,\s\up6(→))
C.eq \(PD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))
答案 A
解析 可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，排除D.
又由AD⊥AB，AD⊥PA可得AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，
同理eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，排除B，C，故选A.
6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
7．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.
8．如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝________，〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉＝________，〈eq \(OO1,\s\up6(—→))，eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉＝________.
答案 0° 0° 90°
解析 由题意得eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))方向相同，是在同一条直线AC上，故〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝0°；eq \(O1C1,\s\up6(—→))可平移到直线AC上，与eq \(OC,\s\up6(→))方向相同，故〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈eq \(OO1,\s\up6(—→))，eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉＝90°.
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
解 不妨设正方体的棱长为1，
设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，eq \(A1B,\s\up6(—→))＝a－c，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b.
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而|eq \(A1B,\s\up6(—→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(—→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(A1B,\s\up6(—→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
∵0°≤〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉≤180°，
∴〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝60°.
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
10.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
(2)求|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的值．
(1)证明 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝|eq \(BC,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|·cs 60°＋|eq \(CD,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|cs 120°
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a2＝0.
∴eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(PC,\s\up6(→))，
∴BD⊥PC.
(2)解 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BC,\s\up6(→))|2＋|eq \(PC,\s\up6(→))|2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cs 60°＋2a2cs 60°＝5a2，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)a.
11．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 因为eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→))＝(eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))＋(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝0，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
即△ABC是等腰三角形．
12．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1.
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2×1)＝eq \f(1,2).
∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴a与b所成的角是60°.
13．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为( )
A．－13 B．－5 C．5 D．13
答案 A
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.
14. 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
答案 1
解析 由于eq \(AO1,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1O1,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(A1B1,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→)))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，而eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(—→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝1.
15．等边△ABC中，P在线段AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，若eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
答案 1－eq \f(\r(2),2)
解析 如图，eq \(CP,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))，
故eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))
＝λ|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs A
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－λeq \(AB,\s\up6(→)))·(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＝λ(λ－1)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，
设|eq \(AB,\s\up6(→))|＝a(a＞0)，则a2λ－eq \f(1,2)a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＝1＋\f(\r(2),2)舍)).
16.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，
D1为垂足，连接BD1，
则∠DBD1为BD与α所成的角，
即∠DBD1＝30°，
所以∠BDD1＝60°，
因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))〉＝60°，所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°.
又eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))2
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→)).
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
故|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝242＋72＋242＋2×24×24×cs 120°＝625，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝25，即CD的长为25.定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
思考 当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
答案 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．
知识点二 空间向量的数量积
思考1 向量的数量积运算是否满足结合律？
答案 不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．
思考2 对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝eq \f(k,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或b＝\f(k,a)))？
答案 不能，向量没有除法．
知识点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
1．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的夹角．( × )
2．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( × )
3．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( × )
4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( √ )
一、数量积的计算
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉
＝cs 60°－cs 60°＝0.
反思感悟 求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
跟踪训练1 (1) 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案 2
解析 ∵eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2 －eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明 设eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(—→))＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(A1O,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c，
∴eq \(A1O,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)
＝c·b－c·a＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)b·a
＝eq \f(1,2)(b2－a2)
＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.
于是eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即A1O⊥BD.
同理可证eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(OG,\s\up6(→))，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝eq \r(3)AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
所以DA⊥BD，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0.
由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝0.
又eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，即PA⊥BD.
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
(1)求eq \(BN,\s\up6(→))的模；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉的值．
解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(CC1,\s\up6(—→))|＝|eq \(AA1,\s\up6(—→))|＝2，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→)).
〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝90°，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0.
(1)因为eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))，
所以|eq \(BN,\s\up6(→))|2＝eq \(BN,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))－\(CB,\s\up6(→))))2
＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(CC1,\s\up6(—→))2＋eq \(CB,\s\up6(→))2＝12＋eq \f(1,4)×22＋12＝3，
所以|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(BN,\s\up6(→))|2)＝eq \r(3).
(2)因为eq \(BA1,\s\up6(—→))＝eq \(CA1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))，
eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))，
所以|eq \(BA1,\s\up6(—→))|2＝eq \(BA1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＋eq \(CB,\s\up6(→))2＝12＋22＋12＝6，|eq \(BA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，
|eq \(CB1,\s\up6(—→))|2＝eq \(CB1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))2＝eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＝12＋22＝5，|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))
＝eq \(CC1,\s\up6(—→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝22 －12＝3，
所以cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(—→))·\(CB1,\s\up6(—→)),|\(BA1,\s\up6(—→))||\(CB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3,\r(6)×\r(5))＝eq \f(\r(30),10).
延伸探究
1．(变结论)本例中条件不变，求eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(—→))夹角的余弦值．
解 由例题知，|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BN,\s\up6(→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))－\(CB,\s\up6(→))))·(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)×22 －12＝1.
所以cs〈eq \(BN,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BN,\s\up6(→))·\(CB1,\s\up6(→)),|\(BN,\s\up6(→))||\(CB1,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(3)×\r(5))＝eq \f(\r(15),15).
所以eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
2．(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角．
解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(CC1,\s\up6(—→))|＝1，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，
因为|eq \(CA1,\s\up6(—→))|2＝eq \(CA1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＝12＋12＝2，
所以|eq \(CA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(2)，
因为|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))2＝eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \(CA,\s\up6(→))2＝12＋12＝2，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
又因为eq \(CA1,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－eq \(CA,\s\up6(→))2＝－1.
所以cs〈eq \(CA1,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(CA1,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(CA1,\s\up6(—→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f( －1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2).
所以〈eq \(CA1,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝120°，
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
反思感悟 求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角：利用公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)求cs〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．
(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝eq \r(a2)，计算出|a|，即得所求长度(距离)．
跟踪训练3 (1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA′,\s\up6(——→))＝c，则〈eq \(A′B,\s\up6(——→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 D
(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B.eq \r(6)
C．3 D.eq \r(3)
答案 B
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
由eq \(AC1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c得|eq \(AC1,\s\up6(—→))|2＝eq \(AC1,\s\up6(—→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.
所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，故选B.
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1D1,\s\up6(—→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(B1A1,\s\up6(—→))
答案 A
2．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A,\s\up6(—→))＝a2 B.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝eq \r(2)a2
C.eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝a2 D.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A1,\s\up6(—→))＝a2
答案 C
3．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.
4．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________.
答案 eq \r(5)
解析 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2
＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c
＝5.
∴|a－b＋2c|＝eq \r(5).
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为________，eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝________.
答案 60° 1
解析 方法一 连接A1D(图略)，则∠PA1D就是eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq \r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为60°，因此eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \r(2)×eq \r(2)×cs 60°＝1.
方法二 根据向量的线性运算可得
eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝(eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝eq \r(2)，则eq \r(2)×eq \r(2)×cs〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(A1P,\s\up6(→))〉＝1，
从而〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(A1P,\s\up6(→))〉＝60°.
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影．
(2)空间向量数量积、性质及运算律．
2．方法归纳：化归转化．
3．常见误区：空间向量的数量积的三点注意
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°
＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq \f(1,2)，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝120°，
则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
答案 B
解析 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，
所以k＝6.
4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为( )
A．a2 B.eq \f(1,2)a2 C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
答案 C
解析 eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a×a×\f(1,2)＋a×a×\f(1,2)))＝eq \f(1,4)a2.
5．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.eq \(PC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(PB,\s\up6(→))
C.eq \(PD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))
答案 A
解析 可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，排除D.
又由AD⊥AB，AD⊥PA可得AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，
同理eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，排除B，C，故选A.
6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
7．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.
8．如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝________，〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉＝________，〈eq \(OO1,\s\up6(—→))，eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉＝________.
答案 0° 0° 90°
解析 由题意得eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))方向相同，是在同一条直线AC上，故〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝0°；eq \(O1C1,\s\up6(—→))可平移到直线AC上，与eq \(OC,\s\up6(→))方向相同，故〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈eq \(OO1,\s\up6(—→))，eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉＝90°.
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
解 不妨设正方体的棱长为1，
设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，eq \(A1B,\s\up6(—→))＝a－c，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b.
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而|eq \(A1B,\s\up6(—→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(—→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(A1B,\s\up6(—→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
∵0°≤〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉≤180°，
∴〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝60°.
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
10.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
(2)求|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的值．
(1)证明 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝|eq \(BC,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|·cs 60°＋|eq \(CD,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|cs 120°
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a2＝0.
∴eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(PC,\s\up6(→))，
∴BD⊥PC.
(2)解 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BC,\s\up6(→))|2＋|eq \(PC,\s\up6(→))|2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cs 60°＋2a2cs 60°＝5a2，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)a.
11．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 因为eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→))＝(eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))＋(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝0，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
即△ABC是等腰三角形．
12．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1.
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2×1)＝eq \f(1,2).
∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴a与b所成的角是60°.
13．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为( )
A．－13 B．－5 C．5 D．13
答案 A
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.
14. 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
答案 1
解析 由于eq \(AO1,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1O1,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(A1B1,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→)))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，而eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(—→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝1.
15．等边△ABC中，P在线段AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，若eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
答案 1－eq \f(\r(2),2)
解析 如图，eq \(CP,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))，
故eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))
＝λ|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs A
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－λeq \(AB,\s\up6(→)))·(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＝λ(λ－1)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，
设|eq \(AB,\s\up6(→))|＝a(a＞0)，则a2λ－eq \f(1,2)a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＝1＋\f(\r(2),2)舍)).
16.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，
D1为垂足，连接BD1，
则∠DBD1为BD与α所成的角，
即∠DBD1＝30°，
所以∠BDD1＝60°，
因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))〉＝60°，所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°.
又eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))2
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→)).
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
故|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝242＋72＋242＋2×24×24×cs 120°＝625，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝25，即CD的长为25.定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
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