新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：7.4.1 余弦定理、正弦定理及应用举例

这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：7.4.1 余弦定理、正弦定理及应用举例，共60页。PPT课件主要包含了课前·基础巩固，课堂·题型讲解，高考·命题预测，RsinB，RsinC，答案A，答案60°2，答案C，答案D，答案B等内容，欢迎下载使用。

【教材回扣】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
b2＋c2－2bccsA
a2＋c2－2accsB
a2＋b2－2abcsC
sinA∶sinB∶sinC
3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角．在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
(2)方位角．指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)坡角：坡面与水平面的夹角．
【题组练透】题组一　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )2．当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )4．方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
2．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
3．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝________．
类题通法(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．
[例2]　[2020·全国卷Ⅱ]△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
类题通法(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．
题型二　正弦定理、余弦定理的综合应用角度1|判断三角形的形状[例3]　(1)[2021·山东省实验中学第一次诊断性考试]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin A＋b sin B(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cs C＋c cs B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定
类题通法判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
类题通法求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
类题通法 (1)根据已知的边角画出图形并在图中标示； (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
题型三　正弦定理、余弦定理的应用举例[例6]　(1)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为________m．(精确到1 m)(参考数据：sin 20°≈0.342，sin 80°≈0.985)
(2)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
类题通法正、余弦定理应用举例的类型及解题策略1．求距离、高度问题(1)选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2．求角度问题(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
巩固训练6：海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，求A，B两点的距离．
状 元 笔 记　射影定理的活用设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝b cs C＋c cs B；b＝c cs A＋a cs C；c＝a cs B＋b cs A.注：以“a＝b cs C＋c cs B”为例，b，c在a上的射影分别为b cs C，c cs B，故名射影定理．
证明　如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cs C＝CD，c cs B＝BD，故b cs C＋c cs B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cs C＋c cs B，同理可证b＝c cs A＋a cs C，c＝a cs B＋b cs A．
[典例1]　[2017·山东卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cs C)＝2sin A cs C＋cs A sin C，则下列等式成立的是(　　)A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A
【应用示范】　由正弦定理及sin B(1＋2cs C)＝2sin A cs C＋cs A sin C得b＋2b cs C＝2a cs C＋c cs A＝a cs C＋(a cs C＋c cs A)＝a cs C＋b，即2b cs C＝a cs C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cs C≠0，则2b＝a.
[典例2]　[2017·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cs B＝a cs C＋c cs A，则B＝____．
【探究】　射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果．