新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：2.8　函数与方程

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1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有　　　　⇔函数y=f(x)的图象与　　　　有公共点. (3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
(x1,0),(x2,0)　
3.二分法函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且　　　　　　,通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　　　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 
f(a)·f(b)<0
1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).(　　)(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　　)(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(　　)(4)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.(　　)(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.(　　)
2.函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为(　　)A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)
答案 C　解析 由Δ=(-2)2-4m<0,得m>1,故选C.
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为(　　)A.(-1,0)　　B.(0,1)　　C.(1,2)　　D.(2,3)
答案 C　解析 易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.方程2x+3x=k的解都在[1,2)内,则k的取值范围为(　　)A.[5,10)B.(5,10]C.[5,10]D.(5,10)
答案 A　解析 令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得55.(2020天津和平区一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)=　　　　. 
答案 2　解析∵函数f(x)=ln x+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图象是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln 3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.
【例1】 (1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为(　　)A.-1B.0C.1D.2(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是(　　)A.(0,1)B.(e-1,1) C.(0,e-1)D.(1,e)
答案 (1)C　(2)D　解析 (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)- 的一个零点所在的区间是(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是(　　)A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
答案 (1)B　(2)B　解析 (1)∵f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.(2)由图象知 <1,得10,所以g(0)g(1)<0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.
【例2】 (1)函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为(　　)A.1B.2C.3D.4(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+ 在区间[-9,10]上零点的个数为(　　)A.10B.12C.18D.20
答案 (1)B　(2)A　
解题心得判断函数零点个数的方法(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为(　　)A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为　　　　. 
答案 (1)B　(2)7　解析 (1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2 020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图象关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2 019,2 020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图象是由f(x)的图象关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为1+2 020×2=4 041.(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图象,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.
考向1　已知函数零点所在区间求参数
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图象利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析 (1)由f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
考向2　已知函数零点个数求参数问题
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析 (1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图象如图所示,由图象可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数 若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是(　　)A.[0,2)B.[0,1)C.(-∞,2]D.(-∞,1](2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,∀x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-lga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是　　　. 
解析 (1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)单调递增.由h'(x)<0得-1当x>0时,h(x)=f(x)-x=-ln x-x单调递减,作出函数h(x)的图象如图所示,要使a=h(x)有3个根,则0≤a<2,即实数a的取值范围为[0,2),故选A.
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x),∴f(x-2)=f(2+x),令x-2=t,则f(t)=f(4+t),∴f(x)的周期为4.由g(x)=f(x)-lga(x+1)=0得f(x)=lga(x+1)(a>0,且a≠1).函数y=f(x)和y=lga(x+1)的图象在区间(-1,9]内有3个不同的公共点.作函数f(x)与y=lga(x+1)在(-1,9]上的图象如下,