还剩48页未读，
继续阅读
所属成套资源：新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件
成套系列资料，整套一键下载
新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：10.4 二项分布与超几何分布、正态分布
展开
这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：10.4 二项分布与超几何分布、正态分布，共56页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，考点自诊，答案A，答案D，答案03，关键能力学案突破，X的分布列为等内容，欢迎下载使用。
素养提升微专题15——“小概率事件”及其应用
1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.
温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.
2.二项分布定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0
(2)超几何分布与二项分布的关系
温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
4.正态密度函数与正态曲线(1)定义数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.
(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值) .⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.
5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地, P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
上述结果可用右图表示.
由此看到,尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项,其中a=p,b=1-p.( )(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.( )(5)二项分布是一个用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )
2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便,下列概率中等于 的是( )A.P(X=4)B.P(X≤4)C.P(X=6)D.P(X≤6)
3.若随机变量X服从二项分布 ,则( )A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3)D.P(X=3)=4P(X=1)
4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)= .
5.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(2
对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列.
【例2】 (2020北京人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率;(2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列.
解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.
对点训练2 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.
考向1 正态分布的概率计算【例3】 (1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,则P(20,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 ,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有 人.
答案 (1)A (2)180 解析 (1)因为随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,所以P(X≤2)=0.158 7,所以P(2
对点训练3(1)(2020河北开滦高三检测)已知随机变量X~N(7,4),且P(5c)=P(ξ
考向2 正态分布的实际应用【例4】 为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.
解 (1)抽取的一个零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,从而零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002 7,故X~B(16,0.002 7).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 316≈0.042 3.E(X)≈16×0.002 7=0.043 2.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
解题心得解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用.(1)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值;(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.②P(X≤a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).
对点训练4某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个,在获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未
得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A,B,C,D,E五等21级,该省的某市为了解本市9 630名学生的某次选考化学成绩水平,统计在全市范围内选考化学的原始成绩,发现其成绩服从正态分布N(69,49),现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)估算该校50名学生成绩的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前13名的人数记为X,求随机变量X的分布列.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则X在[μ-2σ,μ+2σ]以外取值的概率只有4.55%,在[μ-3σ,μ+3σ]以外取值的概率只有0.27%.由于这些概率值很小(一般不超过5%),通常称这些情况发生为小概率事件.我们一般认为,小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.在日常生产生活中,常用此原理来检验某批产品是否合格,如果小概率事件发生了,则说明产品不合格.一般采用“假设检验的方式”,小概率事件原理是假设检验的基础.假设检验的三个基本步骤:(1)提出统计假设,假设变量服从正态分布N(μ,σ2);(2)确定一次试验中的取值a是否落入范围[μ-3σ,μ+3σ];(3)作出判断,如果a∈[μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设.如果a∉[μ-3σ,μ+3σ],则拒绝统计假设.
【典例】 (2020山东济南三模)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包.面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24 468 g.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:g)
尽管上述数据都落在(950,1 050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由.附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量②若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.997 3;③通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件.
(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎,则X~N(1 000,502).根据附①,从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则Y~N(1 000,102).庞加莱记录的25个面包质量,相当于从X的取值中随机抽取了25个数据,这25个数据的平均值为Y= =978.72<1 000-2×10=980,由附②数据知,P(Y<980)= =0.022 75<0.05,由附③知,事件“Y<980”为小概率事件,所以“假设面包师没有撒谎”有误,所以庞加莱认为面包师撒谎.
解题心得运用小概率事件原理时需注意:(1)这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的;(2)由3σ原则可知运用“小概率事件原理”进行推断时,我们也有0.27%的犯错误的可能.
对点训练某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为μ=500 g,σ2=1,为了检验设备运行是否正常,质量检验员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品,测得其质量为504 g时,他立即要求停止生产,检查设备.他的决定是否有道理呢?
解 如果设备正常运行,产品质量服从正态分布N(μ,σ2),根据3σ原则可知,产品质量在μ-3σ=500-3=497(g)和μ+3σ=500+3=503(g)之间的概率为0.997 3,而质量超出这个范围的概率只有0.002 7,这是一个几乎不可能出现的事件.但是检验员随机抽取的产品为504 g,这说明设备的运行极可能不正常,因此检验员的决定是有道理的.
素养提升微专题15——“小概率事件”及其应用
1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.
温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.
2.二项分布定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0
(2)超几何分布与二项分布的关系
温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
4.正态密度函数与正态曲线(1)定义数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.
(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值) .⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.
5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地, P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
上述结果可用右图表示.
由此看到,尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项,其中a=p,b=1-p.( )(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.( )(5)二项分布是一个用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )
2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便,下列概率中等于 的是( )A.P(X=4)B.P(X≤4)C.P(X=6)D.P(X≤6)
3.若随机变量X服从二项分布 ,则( )A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3)D.P(X=3)=4P(X=1)
4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)= .
5.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(2
对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列.
【例2】 (2020北京人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率;(2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列.
解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.
对点训练2 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.
考向1 正态分布的概率计算【例3】 (1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,则P(2
答案 (1)A (2)180 解析 (1)因为随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,所以P(X≤2)=0.158 7,所以P(2
对点训练3(1)(2020河北开滦高三检测)已知随机变量X~N(7,4),且P(5
考向2 正态分布的实际应用【例4】 为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.
解 (1)抽取的一个零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,从而零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002 7,故X~B(16,0.002 7).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 316≈0.042 3.E(X)≈16×0.002 7=0.043 2.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
解题心得解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用.(1)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值;(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.②P(X≤a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).
对点训练4某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个,在获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未
得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A,B,C,D,E五等21级,该省的某市为了解本市9 630名学生的某次选考化学成绩水平,统计在全市范围内选考化学的原始成绩,发现其成绩服从正态分布N(69,49),现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)估算该校50名学生成绩的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前13名的人数记为X,求随机变量X的分布列.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则X在[μ-2σ,μ+2σ]以外取值的概率只有4.55%,在[μ-3σ,μ+3σ]以外取值的概率只有0.27%.由于这些概率值很小(一般不超过5%),通常称这些情况发生为小概率事件.我们一般认为,小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.在日常生产生活中,常用此原理来检验某批产品是否合格,如果小概率事件发生了,则说明产品不合格.一般采用“假设检验的方式”,小概率事件原理是假设检验的基础.假设检验的三个基本步骤:(1)提出统计假设,假设变量服从正态分布N(μ,σ2);(2)确定一次试验中的取值a是否落入范围[μ-3σ,μ+3σ];(3)作出判断,如果a∈[μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设.如果a∉[μ-3σ,μ+3σ],则拒绝统计假设.
【典例】 (2020山东济南三模)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包.面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24 468 g.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:g)
尽管上述数据都落在(950,1 050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由.附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量②若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.997 3;③通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件.
(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎,则X~N(1 000,502).根据附①,从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则Y~N(1 000,102).庞加莱记录的25个面包质量,相当于从X的取值中随机抽取了25个数据,这25个数据的平均值为Y= =978.72<1 000-2×10=980,由附②数据知,P(Y<980)= =0.022 75<0.05,由附③知,事件“Y<980”为小概率事件,所以“假设面包师没有撒谎”有误,所以庞加莱认为面包师撒谎.
解题心得运用小概率事件原理时需注意:(1)这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的;(2)由3σ原则可知运用“小概率事件原理”进行推断时,我们也有0.27%的犯错误的可能.
对点训练某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为μ=500 g,σ2=1,为了检验设备运行是否正常,质量检验员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品,测得其质量为504 g时,他立即要求停止生产,检查设备.他的决定是否有道理呢?
解 如果设备正常运行,产品质量服从正态分布N(μ,σ2),根据3σ原则可知,产品质量在μ-3σ=500-3=497(g)和μ+3σ=500+3=503(g)之间的概率为0.997 3,而质量超出这个范围的概率只有0.002 7,这是一个几乎不可能出现的事件.但是检验员随机抽取的产品为504 g,这说明设备的运行极可能不正常,因此检验员的决定是有道理的.
相关课件
2024届人教A版高考数学一轮复习二项分布与正态分布课件： 这是一份2024届人教A版高考数学一轮复习二项分布与正态分布课件，共58页。PPT课件主要包含了二项分布及其应用，考点1，条件概率，PBA，PAPB，np1-p，正态分布，考点2，XNμσ2，考向扫描等内容，欢迎下载使用。
高考复习 10.6 二项分布、超几何分布与正态分布课件PPT： 这是一份高考复习 10.6 二项分布、超几何分布与正态分布课件PPT，共39页。PPT课件主要包含了n重伯努利试验，X～Bnp，np1－p，x＝μ，X～Nμσ2，答案A，答案B，答案D等内容，欢迎下载使用。
人教A版高考数学一轮总复习第10章第6节二项分布、超几何分布与正态分布教学课件： 这是一份人教A版高考数学一轮总复习第10章第6节二项分布、超几何分布与正态分布教学课件，共60页。
