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所属成套资源：新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件（共63份）
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新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：10.1 统计
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这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：10.1 统计，共59页。PPT课件主要包含了课前·基础巩固，课堂·题型讲解，高考·命题预测，故选BCD等内容，欢迎下载使用。
【教材回扣】1．简单随机抽样(1)一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n
5．百分位数(1)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)计算第p百分位数的步骤第1步：按从小到大排列原始数据(n个)；第2步：计算i＝n×p%；第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )2．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )3．抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( )4．在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( )
题组二 教材改编1．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
2．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是( )A．数据中可能有异常值B．这组数据是近似对称的C．数据中可能有极端大的值D．数据中众数可能和中位数相同
解析：A正确；B错误；C、D可能正确，故选B.
3．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
解析：（1）由频率分布直方图知：0．002 4×50＋0.003 6×50＋0.006 0×50＋x×50＋0.002 4×50＋0.001 2×50＝1解得x＝0.004 4.（2）样本数据落在[100，250）内的频率为：0.003 6×50＋0.006 0×50＋0.004 4×50＝0.7，所以有：0.7×100＝70.
(2)总体由编号为01,02，…，49,50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( )附：第6行至第9行的随机数表2 758 6 198 7 164 4 148 7 086 2 888 8 519 1 6207 477 0 111 1 630 2 404 2 979 7 991 9 683 5 1253 211 4 919 7 306 4 916 7 677 8 733 9 974 6 7322 635 7 900 3 370 9 160 1 620 3 882 7 757 4 950A．3 B．19 C．38 D．20
解析：第1个个体编号为41，第2个个体编号为48，第3个个体编号为28，第4个个体编号为19，故选B.
类题通法(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
巩固训练1：(1)(多选题)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的是( )A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C．从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
解析：A项不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；B项也不是简单随机抽样，因为它是有放回的抽样；C项也不是简单随机抽样，因为它是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；D项也不是简单随机抽样，因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样．故选ABCD.
(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )A.12 B．33C．06 D．16
解析：第1行第9列和第10列的数字为63从左到右依次选取两个数字，依次为17，12，33，06，则第四个被选中的红色球号码为06，故选C.
角度2 分层随机抽样[例2] (1)[2021·山东枣庄模拟]某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A．9 B．10C．12 D．13
(2)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．
巩固训练2：(1)[2021·河北沧州模拟]某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A．12 B．15C．20 D．21
(2)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”中抽取了6人，则n＝________.
题型二 频率分布直方图[例3] [2019·全国卷Ⅲ]为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
解析：（1）由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
巩固训练3：我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.（2）由（1）可知，100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
（3）因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.30×（x－2.5）＝0.85－0.73，解得x＝2.9，所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
题型三 用样本的数字特征估计总体角度1|百分位数[例4] 根据下表和图，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．
类题通法求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率分布直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率分布直方图计算出比例值.
巩固训练4：某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．
解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得甲：65，71，75，76，81，86，88，89，91，94，95，107，110.乙：78，79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，106，114.由13×25%＝3.25，13×50%＝6.5，可得数据的第25，50百分位数为第4，7项数据，即学生甲的第25，50的百分位数为76，88，学生乙的第25，50的百分位数为86，98.
角度2|众数、中位数、平均数、方差、标准差[例5] (1)[2019·全国卷Ⅱ]演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差
解析：中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.
(2)甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100①分别计算两组数据的平均数及方差；②根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
类题通法(1)平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
巩固训练5：(1)某校8位学生本次的月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，若以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是( )A．方差 B．中位数C．众数 D．平均数
解析：由题意可知，本次月考成绩和上次月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式可知方差不变．
(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
[预测1] 核心素养——数据分析、数学运算某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A．72.5 B．75 C．77.5 D．80
[预测2] 新题型——多选题某地区一周的最低气温随时间变化的图象如图所示，根据图中的信息，下列有关该地区这一周最低气温的判断，正确的有( )A．前六天一直保持上升趋势B．相邻两天的差最大为3C．众数为0D．最大值最小值的差为7
解析：周三到周四，最低气温下降了，所以A项错误；周六与周日的最低气温之差为4，故B项错误；0℃出现了两次，而其他的值只出现了1次，故众数为0，C正确；最小值为周一的－3℃，最大值为周六的4℃，二者差为7，D正确，故选CD.
状 元 笔 记 几种常用的统计图形一、扇形图[典例1] (多选题)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼状图：
则下面结论中正确的是( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【解析】 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
二、条形图[典例2] 如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是( )A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C．收入最少的月份的利润也最少D．收入最少的月份的支出也最少
【解析】 本题考查条形统计图性质的应用，利润最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利润为40－30＝10万元，故A错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B错误；收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月份的利润不是最少，故C错误，D正确，故选D.
三、折线图[典例3] (多选题)[2021·山东济宁模拟]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，其中判断错误的是( )A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过日平均成交量的有2天C．认购量与日期正相关D．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅
四、雷达图[典例4] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
【解析】 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份没有5个，D错误．
【教材回扣】1．简单随机抽样(1)一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n
5．百分位数(1)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)计算第p百分位数的步骤第1步：按从小到大排列原始数据(n个)；第2步：计算i＝n×p%；第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )2．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )3．抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( )4．在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( )
题组二 教材改编1．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
2．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是( )A．数据中可能有异常值B．这组数据是近似对称的C．数据中可能有极端大的值D．数据中众数可能和中位数相同
解析：A正确；B错误；C、D可能正确，故选B.
3．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
解析：（1）由频率分布直方图知：0．002 4×50＋0.003 6×50＋0.006 0×50＋x×50＋0.002 4×50＋0.001 2×50＝1解得x＝0.004 4.（2）样本数据落在[100，250）内的频率为：0.003 6×50＋0.006 0×50＋0.004 4×50＝0.7，所以有：0.7×100＝70.
(2)总体由编号为01,02，…，49,50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( )附：第6行至第9行的随机数表2 758 6 198 7 164 4 148 7 086 2 888 8 519 1 6207 477 0 111 1 630 2 404 2 979 7 991 9 683 5 1253 211 4 919 7 306 4 916 7 677 8 733 9 974 6 7322 635 7 900 3 370 9 160 1 620 3 882 7 757 4 950A．3 B．19 C．38 D．20
解析：第1个个体编号为41，第2个个体编号为48，第3个个体编号为28，第4个个体编号为19，故选B.
类题通法(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
巩固训练1：(1)(多选题)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的是( )A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C．从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
解析：A项不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；B项也不是简单随机抽样，因为它是有放回的抽样；C项也不是简单随机抽样，因为它是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；D项也不是简单随机抽样，因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样．故选ABCD.
(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )A.12 B．33C．06 D．16
解析：第1行第9列和第10列的数字为63从左到右依次选取两个数字，依次为17，12，33，06，则第四个被选中的红色球号码为06，故选C.
角度2 分层随机抽样[例2] (1)[2021·山东枣庄模拟]某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A．9 B．10C．12 D．13
(2)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．
巩固训练2：(1)[2021·河北沧州模拟]某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A．12 B．15C．20 D．21
(2)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”中抽取了6人，则n＝________.
题型二 频率分布直方图[例3] [2019·全国卷Ⅲ]为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
解析：（1）由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
巩固训练3：我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.（2）由（1）可知，100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
（3）因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.30×（x－2.5）＝0.85－0.73，解得x＝2.9，所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
题型三 用样本的数字特征估计总体角度1|百分位数[例4] 根据下表和图，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．
类题通法求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率分布直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率分布直方图计算出比例值.
巩固训练4：某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．
解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得甲：65，71，75，76，81，86，88，89，91，94，95，107，110.乙：78，79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，106，114.由13×25%＝3.25，13×50%＝6.5，可得数据的第25，50百分位数为第4，7项数据，即学生甲的第25，50的百分位数为76，88，学生乙的第25，50的百分位数为86，98.
角度2|众数、中位数、平均数、方差、标准差[例5] (1)[2019·全国卷Ⅱ]演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差
解析：中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.
(2)甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100①分别计算两组数据的平均数及方差；②根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
类题通法(1)平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
巩固训练5：(1)某校8位学生本次的月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，若以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是( )A．方差 B．中位数C．众数 D．平均数
解析：由题意可知，本次月考成绩和上次月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式可知方差不变．
(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
[预测1] 核心素养——数据分析、数学运算某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A．72.5 B．75 C．77.5 D．80
[预测2] 新题型——多选题某地区一周的最低气温随时间变化的图象如图所示，根据图中的信息，下列有关该地区这一周最低气温的判断，正确的有( )A．前六天一直保持上升趋势B．相邻两天的差最大为3C．众数为0D．最大值最小值的差为7
解析：周三到周四，最低气温下降了，所以A项错误；周六与周日的最低气温之差为4，故B项错误；0℃出现了两次，而其他的值只出现了1次，故众数为0，C正确；最小值为周一的－3℃，最大值为周六的4℃，二者差为7，D正确，故选CD.
状 元 笔 记 几种常用的统计图形一、扇形图[典例1] (多选题)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼状图：
则下面结论中正确的是( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【解析】 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
二、条形图[典例2] 如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是( )A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C．收入最少的月份的利润也最少D．收入最少的月份的支出也最少
【解析】 本题考查条形统计图性质的应用，利润最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利润为40－30＝10万元，故A错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B错误；收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月份的利润不是最少，故C错误，D正确，故选D.
三、折线图[典例3] (多选题)[2021·山东济宁模拟]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，其中判断错误的是( )A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过日平均成交量的有2天C．认购量与日期正相关D．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅
四、雷达图[典例4] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
【解析】 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份没有5个，D错误．
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