专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题九  《平面向量》讲义

9.1 线性运算、基本定理和坐标运算

知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算

一．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量

二．向量的线性运算

（一）加法：求两个向量和的运算

1.三角形法则：首尾连，连首尾

2.平行四边形法则：起点相同连对角

3.运算律

交换律：＋＝＋

结合律：(＋)＋＝＋(＋)

（二）减法：共起点，连终点，指向被减

（三）数乘：求实数λ与向量的积的运算

1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；

当λ<0时，λ与的方向相反；

当λ＝0时，λ＝0

2.运算律

（1）λ(μ)＝(λμ)

（2）(λ＋μ)＝λ＋μ

（3）λ(＋)＝λ＋λ

3．向量共线定理

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.

4．平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

三．平面向量的坐标运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　 　　 　　　　　　　　

 (2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

题型一. 线性运算

1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

（）

，

故选：A．

2．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，3，则（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：；

∴；

∴．

故选：A．

3．（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，

∴（）+（）（），

故选：A．

4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足，则（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为点O满足16123，

故121233；

即：123⇒123；

故选：A．

题型二. 共线向量基本定理

1．设，是不共线的两个平面向量，已知，，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6

【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则，

又由，，则有，

解可得k＝﹣6；

故选：D．

2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若λ，其中λ∈R，则点P一定在（　　）

A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 

C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部

【解答】解：∵

又，

∴

即，λ∴

∴

∴P点在AC边所在直线上．

故选：A．

3．在△ABC中，，．若点D满足，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵，

∴，

∴，

又由，．

故，

故选：B．

4．△ABC内一点O满足，直线AO交BC于点D，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵△ABC内一点O满足，直线AO交BC于点D，

∴，

令，则，

∴B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，∴D，E重合．

∴，∴2322335．

故选：A．

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日期：2021/7/10 22:05:39；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067

题型三. 三点共线定理

1．（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点

∵2，，

∴，

∴λ，

故选：A．

2．（2010•大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，，||＝1，||＝2，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵CD为角平分线，

∴，

∵，

∴，

∴

故选：B．

3．（2008•广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，

∴，再由AB＝CD可得 ，

∴．

作FG平行BD交AC于点G，

∴，

∴．

∵，

∴，

故选：B．

4．（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若xy，其中x，y∈R，则x+y的最大值是　2　．

【解答】解：【方法一】建立如图所示的坐标系，

则A（1，0），B（cos120°，sin120°），

即B（，）．

设∠AOC＝α，则（cosα，sinα）．

∵xy（x，0）+（，y）

＝（cosα，sinα）；

则，

解得，

∴x+ysinα+cosα＝2sin（α+30°）．

∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．

∴x+y有最大值2，当α＝60°时取最大值2．

【解法二】xy，

∴x2+y2+2xy•x2+y2+2xycos120°＝x2+y2﹣xy，

∴x2+y2﹣xy＝1，

∴（x+y）2﹣3xy＝1，

∴（x+y）2﹣1＝3xy≤3•，

∴•（x+y）2≤1，

解得x+y≤2．

故答案为：2．

5．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（　　）

A．3 B．2 C． D．2

【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，

∵BC＝2，CD＝1，

∴BD

∴BC•CDBD•r，

∴r，

∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，

设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），

∵λμ，

∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），

∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，

∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值为3，

故选：A．

6．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是　（﹣∞，0）　；当时，y的取值范围是　　．

【解答】解：如图，OM∥AB，点P在由射线OM，

线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，

且，由向量加法的平行四边形法则，

OP为平行四边形的对角线，

该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，

∴x的取值范围是（﹣∞，0）；

当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CDOB，CEOB，

∴y的取值范围是（，）．

故答案为：（﹣∞，0）；（，）

题型四. 坐标运算

1．已知向量（3，﹣2），（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则的最小值是（　　）

A．24 B．8 C． D．

【解答】解：∵∥，

∴﹣2x﹣3（y﹣1）＝0，

化简得2x+3y＝3，

∴（）（2x+3y）

（66）（12+2）＝8，

当且仅当2x＝3y时，等号成立；

∴的最小值是8．

故选：B．

2．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，，且，设，则λ的值为（　　）

A．1 B． C． D．

【解答】解：由已知设C（x，y），

则有y＝22，x＝﹣22，

即C（﹣2，2），

又，

由向量相等的充要条件得：﹣2＝﹣3λ，即，

故选：D．

3．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若xy（xy≠0），则以下说法正确的是：　①④　  （请将所有正确的命题序号填上）

①若点E和A重合，点P和B重合，则x＝﹣1，y＝1；

②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧的中点；

③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y＝3；

④若点E与B重合，点P为上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．

【解答】解：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，如图，

则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），（1，1）．

因为xy（xy≠0），

所以，对于①，若点E和A重合，点P和B重合，则E（0，0），P（1，0），（0，﹣1），（1，0），

xy⇒（1，1）＝x（0，﹣1）+y（1，0），即，故①正确；

则x＝﹣1，y＝1；

对于②，若点E是线段AB的中点，则E（，0），（，﹣1）；若点P是圆弧的中点，则P（cos45°，sin45°），即P（，），（，），xy⇒（1，1）＝x（，﹣1）+y（，），即，此方程组无解，

故②错误；

对于③，若点E和B重合，则E（1，0），（1，﹣1）；又点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则P（cos60°，sin60°），

即P（，），（，），xy⇒（1，1）＝x（1，﹣1）+y（，），即，解得，

则x+y，故③错误；

对于④，若点E与B重合，则E（1，0），（1，﹣1）；

又点P（a，b）为上任一点，则（a，b）（0≤a≤1，0≤b≤1，a2+b2＝1），xy⇒（1，1）＝x（1，﹣1）+y（a，b），

即，由a2+b2＝1得：1，整理得：x2＝1，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分，故④正确．

综上所述，说法正确的是①④，

故答案为：①④．

课后作业. 线性运算、基本定理和坐标运算

1．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则（　　）

A． B． C． D．

【解答】解

如图，∵平行四边形ABCD中，E为AB中点，

∴，

∴DF，

∴

，

故选：A．

2．设x∈R，向量（x，1），（1，﹣2），且∥，则||＝（　　）

A． B． C． D．5

【解答】解：根据题意，向量（x，1），（1，﹣2），

若∥，则﹣2x＝1，解可得x，

则（，1），故（，﹣1），

则||，

故选：A．

3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足，若|AB|＝2，，则△ABC的外接圆的面积为　　．

【解答】解：已知等式||＝|2|＝||，变形得：||＝||，

∵，

∴||＝||，

两边平方，整理得：•0，即A，

∵|AB|＝c＝2，|AC|＝b，

∴a，

由正弦定理2R，得到R，

则△ABC的外接圆的面积为πR2．

故答案为：

4．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若，则的最小值为（　　）

A．2 B．4 C． D．9

【解答】解：∵点O是BC的中点，∴

又∴

∵M、O、N三点共线，∴

故

当且仅当，即m，n时取到等号，故的最小值为：

故选：C．

5．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若λμ，则λ+μ＝　1　．

【解答】解：依题意，，则

，

故．

故答案为：1．

6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD＝2AD，AE＝2EC，点P是线段DE上的任意一点，若xy，则xy的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，

，．

∵点P是线段DE上的任意一点，

∴存在实数k使得k，

与xy比较可得：，

∴2x+y，

∴，

化为xy，当且仅当2x＝y时取等号．

故选：B．

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