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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：高考大题专项（三） 数列
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：高考大题专项（三） 数列，共46页。PPT课件主要包含了考情分析，典例剖析等内容，欢迎下载使用。
从近几年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项公式及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.
题型一 等差、等比数列的综合问题【例1】 (2019全国1,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解题心得1.对于等差、等比数列,求其通项公式及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.2.有些数列可以通过变形、整理,把它转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.
对点训练1(2020湖南永州高三第三次模拟)已知Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,S3=6,a3是a1与a9的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;
解 (1)公差d不为零的等差数列{an},由a3是a1与a9的等比中项,可得又因为S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以数列{an}是以1为首项和公差的等差数列,所以an=n,n∈N*.
题型二 可转化为等差、等比数列的综合问题
解题心得无论是求数列的通项公式还是求数列的前n项和,通过变形整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.
对点训练2已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=2,S6=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中依次取出第1项,第2项,第4项,第8项,…,第2n-1项,按原来的顺序组成一个新的数列{bn},求数列{bn}的前n项和Tn.
题型三 数列中的结构不良问题【例3】 在①Sn=2bn-1,②-4bn=bn-1(n≥2),③bn=bn-1+2(n≥2)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.已知数列{an}为等比数列,a1= ,a3=a1a2,数列{bn}的首项b1=1,其前n项和为Sn, ,是否存在k∈N*,使得对任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立?
由指数函数的性质知,数列{anbn}为递增数列,且没有最大值,所以选择条件①时,不存在k∈N*,使得对任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立.
方案三:选择条件③.bn=bn-1+2(n≥2),可知数列{bn}是公差为2的等差数列,又因为b1=1,所以bn=2n-1.
所以当n≤2时,cn+1>cn,当n≥3时,cn+1c4>c5>…所以选择条件③时,存在k=3,使得对任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立.
解题心得数列结构不良题型的解题策略结构不良主要表现在具体情境缺乏足够的资源,材料不全或参数不完整等等.其一般解题流程可概括为:通读整个题目, 理解题意⇒选择适合自己解 题突破的条件⇒把条件代入题目 将结构补充完整⇒根据数列的有关概 念性质和公式解题
对点训练3在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1=b1,d=q, . (1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn.
(1)解 由已知可得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n≥2,n∈N*),即an+1-an=1(n≥2,n∈N*),且a2-a1=1,∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,∴an=n+1.
(3)解 ∵an=n+1,∴Cn=4n+(-1)n-1·λ·2n+1,假设存在确定的λ值,使得对任意n∈N*,有Cn+1>Cn恒成立,即Cn+1-Cn>0,对任意n∈N*恒成立,即4n+1-4n+(-1)n·λ·2n+2-(-1)n-1·λ·2n+1>0,对任意n∈N*恒成立,即(-1)n-1·λ<2n-1,对任意n∈N*恒成立.①当n为奇数时,即λ<2n-1,对任意n∈N*恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值为1,∴λ<1;
②当n为偶数时,即λ>-2n-1,对任意n∈N*恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,∴λ>-2.综上,-2<λ<1.又λ为非零整数,则λ=-1.综上所述,存在λ=-1,使得对任意n∈N*,有Cn+1>Cn恒成立.
解题心得以数列为背景的不等式恒成立问题,多与数列求和相联系,一般要通过求和化简后将结果转化或构造为函数,利用函数的单调性分析,若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最大(小)值问题.
题型五 与数列有关的不等式证明问题
解题心得数列与不等式综合问题的求解策略与不等式相关的数列问题,通常与由等差数列、等比数列等基本数列进行复合、变形后得到的新数列的和相关.合理应用公式求值变形是关键;若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.
对点训练5已知数列{an}为等比数列,数列{bn}为等差数列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(1)解 设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意得1+d=1+q,q2=2(1+2d)-6,解得d=q=2,所以an=2n-1,bn=2n-1.
题型六 数列中的存在性问题【例6】 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 017?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,请说明理由.
(2)存在.由(1)有若存在n,使得Sn≥2 017,则1-(-2)n≥2 017,即(-2)n≤-2 016.当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 016,即2n≥2 016,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
解题心得求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.
从近几年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项公式及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.
题型一 等差、等比数列的综合问题【例1】 (2019全国1,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解题心得1.对于等差、等比数列,求其通项公式及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.2.有些数列可以通过变形、整理,把它转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.
对点训练1(2020湖南永州高三第三次模拟)已知Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,S3=6,a3是a1与a9的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;
解 (1)公差d不为零的等差数列{an},由a3是a1与a9的等比中项,可得又因为S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以数列{an}是以1为首项和公差的等差数列,所以an=n,n∈N*.
题型二 可转化为等差、等比数列的综合问题
解题心得无论是求数列的通项公式还是求数列的前n项和,通过变形整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.
对点训练2已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=2,S6=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中依次取出第1项,第2项,第4项,第8项,…,第2n-1项,按原来的顺序组成一个新的数列{bn},求数列{bn}的前n项和Tn.
题型三 数列中的结构不良问题【例3】 在①Sn=2bn-1,②-4bn=bn-1(n≥2),③bn=bn-1+2(n≥2)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.已知数列{an}为等比数列,a1= ,a3=a1a2,数列{bn}的首项b1=1,其前n项和为Sn, ,是否存在k∈N*,使得对任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立?
由指数函数的性质知,数列{anbn}为递增数列,且没有最大值,所以选择条件①时,不存在k∈N*,使得对任意n∈N*,anbn≤akbk恒成立.
方案三:选择条件③.bn=bn-1+2(n≥2),可知数列{bn}是公差为2的等差数列,又因为b1=1,所以bn=2n-1.
所以当n≤2时,cn+1>cn,当n≥3时,cn+1
解题心得数列结构不良题型的解题策略结构不良主要表现在具体情境缺乏足够的资源,材料不全或参数不完整等等.其一般解题流程可概括为:通读整个题目, 理解题意⇒选择适合自己解 题突破的条件⇒把条件代入题目 将结构补充完整⇒根据数列的有关概 念性质和公式解题
对点训练3在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1=b1,d=q, . (1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn.
(1)解 由已知可得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n≥2,n∈N*),即an+1-an=1(n≥2,n∈N*),且a2-a1=1,∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,∴an=n+1.
(3)解 ∵an=n+1,∴Cn=4n+(-1)n-1·λ·2n+1,假设存在确定的λ值,使得对任意n∈N*,有Cn+1>Cn恒成立,即Cn+1-Cn>0,对任意n∈N*恒成立,即4n+1-4n+(-1)n·λ·2n+2-(-1)n-1·λ·2n+1>0,对任意n∈N*恒成立,即(-1)n-1·λ<2n-1,对任意n∈N*恒成立.①当n为奇数时,即λ<2n-1,对任意n∈N*恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值为1,∴λ<1;
②当n为偶数时,即λ>-2n-1,对任意n∈N*恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,∴λ>-2.综上,-2<λ<1.又λ为非零整数,则λ=-1.综上所述,存在λ=-1,使得对任意n∈N*,有Cn+1>Cn恒成立.
解题心得以数列为背景的不等式恒成立问题,多与数列求和相联系,一般要通过求和化简后将结果转化或构造为函数,利用函数的单调性分析,若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最大(小)值问题.
题型五 与数列有关的不等式证明问题
解题心得数列与不等式综合问题的求解策略与不等式相关的数列问题,通常与由等差数列、等比数列等基本数列进行复合、变形后得到的新数列的和相关.合理应用公式求值变形是关键;若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.
对点训练5已知数列{an}为等比数列,数列{bn}为等差数列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(1)解 设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意得1+d=1+q,q2=2(1+2d)-6,解得d=q=2,所以an=2n-1,bn=2n-1.
题型六 数列中的存在性问题【例6】 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 017?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,请说明理由.
(2)存在.由(1)有若存在n,使得Sn≥2 017,则1-(-2)n≥2 017,即(-2)n≤-2 016.当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 016,即2n≥2 016,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
解题心得求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.
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