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长沙市实验教育集团2020-2021学年度九年级第一学期期中考试数学试卷（原卷版）
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这是一份长沙市实验教育集团2020-2021学年度九年级第一学期期中考试数学试卷（原卷版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
长沙市实验教育集团2020级初三段考数学试卷
满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2.下列事件中，随机事件是（ ）
A.经过有交通信号的路口，遇到红灯 B.任意画一个三角形，其内角和为180°
C.在只装了红球的袋子中摸到白球 D.太阳从东方升起
3.下列是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ ）
A.45° B.65° C.60° D.55°
5.在平面直角坐标系中，△AOB与△A1OB1关于原点O中心对称，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A.（1，2） B.（2，） C.（，） D.（，1）
6.用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，AB是的直径，点C、D在上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（ ）
A.40° B.140° C.160° D.170°
9.设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
10.给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A.同圆中直径是最长的弦 B.三点确定一个圆
C.圆周角是圆心角的一半 D.长度相等的弧是等弧
11.己知二次函数（）的图象如上图所示，有下列4个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图，△ABC，AC=3，BC=，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线，P为直线上一动点，为△APC的外接圆，直线BP交于E点，则AE的最小值为（ ）
A. B. C. D.1
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 个.
14.正方形ABCD绕其对角线的交点O旋转，至少旋转 °才能与原图形重合.
15.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有 对关于点O成中心对称的三角形.
第15题图 第18题图
16.二次函数的最小值是 .
17.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 .
18.如图，四边形ABCD内接于，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为 °.
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19.解方程：（1） （2）
20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）.△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为 ；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长.
21.从2021年起，湖南省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.
22.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
23.如图，AB是的直径，射线BC交于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G.
（1）证明：GF是的切线；
（2）若AG=6，GE=，求△GOE的面积.
24.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知月销量是售价的一次函数，该运动服的进价为每件50元，设售价为元.
（1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；
②月销量是 件：（直接写出结果）
（2） 设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
25.如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.
（1）根据上述定义，判断方程 （填“是”或“不是”）“邻
根方程”；
（2）已知关于的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值.
26.如图，二次函数的图像交轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），若将△BOC绕点O逆时针旋转90°，所得△DOE顶点E恰好与点A重合，且△AOD的面积为．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）设这个二次函数图像的顶点为M，请在y轴上找一点P，使得△PAM的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）设这个二次函数图像的对称轴交轴于点N，问：A、M、C、D、N这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明若不可能，请说明理由.
长沙市实验教育集团2020级初三段考数学试卷
满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ C ）
A B C D
解析：A、既是轴对称图形又是中心对称图形
B、既是轴对称图形又是中心对称图形
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意
D、既是轴对称图形又是中心对称图形
2.下列事件中，随机事件是（ A ）
A.经过有交通信号的路口，遇到红灯 B.任意画一个三角形，其内角和为180°
C.在只装了红球的袋子中摸到白球 D.太阳从东方升起
解析：A选项是随机事件
B、D选项为必然事件
C选项是不可能事件
3.下列是一元二次方程的是（ B ）
A. B. C. D.
解析：A选项是一元一次方程
B选项符合题意
C选项含二元，不符合题意
D选项为分式方程
4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ D ）
A.45° B.65° C.60° D.55°
解析：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD
∴∠AOB=∠COD=15°，∠AOC=∠BOD=40°
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=55°
5.在平面直角坐标系中，△AOB与△A1OB1关于原点O中心对称，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ C ）
A.（1，2） B.（2，） C.（，） D.（，1）
解析：关于原点O中心对称，横坐标、纵坐标都变为相反数
6.用配方法解方程，配方正确的是（ B ）
A. B. C. D.
解析：
7.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ A ）
A. B. C. D.
解析：A选项△，∴没有实数根
8.如图，AB是的直径，点C、D在上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（ B ）
A.40° B.140° C.160° D.170°
解析：∵∠BOC=2∠BDC=2×20°=40°
∴∠AOC=180°-40°=140°
9.设，是一元二次方程的两根，则的值为（ C ）
A.6 B.8 C.10 D.12
解析：由韦达定理得，，
∴
10.给出下列四个结论，其中正确的结论为（ A ）
A.同圆中直径是最长的弦 B.三点确定一个圆
C.圆周角是圆心角的一半 D.长度相等的弧是等弧
解析：A、正确
B、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆
C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半
D、错误，能够重合的弧是等弧
11.己知二次函数（）的图象如上图所示，有下列4个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：①根据图象，a＜0，b＞0，c＞0，∴，∴①错误
②令，时y＜0，即，故，∴②错误
③∵观察图象知，当时y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴③正确
④∵对称轴，解得，∴④正确
12.如图，△ABC，AC=3，BC=，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线，P为直线上一动点，为△APC的外接圆，直线BP交于E点，则AE的最小值为（ D ）
A. B. C. D.1
解析：如图，连接CE
∵AP∥BC
∴∠PAC=∠ACB=60°
∴∠CEP=∠CAP=60°
∴∠BEC=120°
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接OA交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'
∵∠BE'C=120°
∴所对圆周角为60°
∴∠BOC=2×60°=120°
∵△BO′C是等腰三角形，BC=
∴O′B=O′C=4
∵∠ACB=60°，∠BCO'=30°
∴∠ACO'=90°
∴
∴
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 7 个.
解析：设袋中红球有个
根据题意得：
解得：
经检验：是分式方程的解，
∴袋中红球有7个
14.正方形ABCD绕其对角线的交点O旋转，至少旋转 90 °才能与原图形重合.
解析：∵正方形ABCD的旋转角=360°÷4=90°，∴至少旋转90度才能与原图形重合．
15.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有 4 对关于点O成中心对称的三角形.
第15题图 第18题图
解析：图中成中心对称的三角形分别是△ACD与△CAB，△ABD与△CDB，△AOD与△COB，△AOB与△COD，共4对．
16.二次函数的最小值是 8 .
解析：当时，取得最小值8
17.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 .
解析：设绳索长为x尺，可列方程为
18.如图，四边形ABCD内接于，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为 60 °.
解析：解：由圆周角定理得，∠AOC=2∠D，
∵∠AOC=∠B
∴∠B=2∠D
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠D+∠B=180°
∴∠D+2∠D=180°
解得：∠D=60°
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19.解方程：（1） （2）
解析：（1）， （2），
20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）.△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为 （-3，-2） ；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长.
解析：（1）如图所示：
（2）∵点A的坐标为（3，2），
∴点A关于O点中心对称的点的坐标为：（-3，-2）；
（3）∵B的坐标为（1，3），∴BO=
∴在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为：．
21.从2021年起，湖南省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.
解析：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，
∴P（化学生物）=
22.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
解析：∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°
∴∠B=30°
∵AD是∠BAC的角平分线
∴AD⊥BC，BD=CD
∴BD=AD=
∴BC=2BD=
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积=S△ABC-S扇形EAF=
（2）设圆锥的底面圆的半径为r
根据题意得，解得r=2
这个圆锥的高
23.如图，AB是的直径，射线BC交于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G.
（1）证明：GF是的切线；
（2）若AG=6，GE=，求△GOE的面积.
解析：（1）如图，连接OE
∵
∴∠1=∠2
∵∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴OE∥BF
∵BF⊥GF
∴OE⊥GF
∴GF是⊙O的切线；
（2）设OA=OE=r，
在Rt△GOE中，∵AG=6，GE=
∴由OG2=GE2+OE2可得（6+r）2=（）2+r2，
解得：r=3
S△GOE=
24.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知月销量是售价的一次函数，该运动服的进价为每件50元，设售价为元.
（1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；
②月销量是 件：（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
解析：（1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；
②解：（1）设月销量y与的关系式为
由题意得 ，解得
∴
（2）由题意得
∴当售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
25.如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.
（1）根据上述定义，判断方程 是 （填“是”或“不是”）“邻
根方程”；
（2）已知关于的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值.
解析：解：（1）
∵
∴是“邻根方程”
（2）解方程得：
∴或
∵方程（m是常数）是“邻根方程”
∴或
∴m=0或
（3）解方程得
∵关于的方程（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”
∴
∴
∵
∴∵a＞0，
∴a=4时，t的最大值为16
26.如图，二次函数的图像交轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），若将△BOC绕点O逆时针旋转90°，所得△DOE顶点E恰好与点A重合，且△AOD的面积为．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）设这个二次函数图像的顶点为M，请在y轴上找一点P，使得△PAM的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）设这个二次函数图像的对称轴交轴于点N，问：A、M、C、D、N这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明若不可能，请说明理由.
解析：解：（1）由题意得，OB=OD=1，OA=OC
设OA=OC=
∵△AOD的面积为
∴OD•OA=
∴，解得
∴A（，0），C（0，3），
∵二次函数的图象交轴于A、B两点，交y轴于点C．且B（1，0）
∴，解得
∴这个二次函数的关系式为
（2）如图，∵
∴点的M的坐标为（，4）
∴M关于y轴的对称点G为（1，4）
设直线AG的解析式为
∴，解得
∴直线AG的解析式为
把代入得y=3
∴P（0，3）
（3）如图，∵MN⊥AN
∴A、M、N三点所在的圆的直径为AM
∴外接圆的半径为：
设AM的中点Q，则Q（，2）
∵C（0，3），D（0，1），
∴，
∴C、D在以AM为直径的圆上，
∴A、M、C、D、N这5个点共圆，圆心的坐标为（，2）．
长沙市实验教育集团2020级初三段考数学试卷
满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2.下列事件中，随机事件是（ ）
A.经过有交通信号的路口，遇到红灯 B.任意画一个三角形，其内角和为180°
C.在只装了红球的袋子中摸到白球 D.太阳从东方升起
3.下列是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ ）
A.45° B.65° C.60° D.55°
5.在平面直角坐标系中，△AOB与△A1OB1关于原点O中心对称，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A.（1，2） B.（2，） C.（，） D.（，1）
6.用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，AB是的直径，点C、D在上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（ ）
A.40° B.140° C.160° D.170°
9.设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
10.给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A.同圆中直径是最长的弦 B.三点确定一个圆
C.圆周角是圆心角的一半 D.长度相等的弧是等弧
11.己知二次函数（）的图象如上图所示，有下列4个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图，△ABC，AC=3，BC=，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线，P为直线上一动点，为△APC的外接圆，直线BP交于E点，则AE的最小值为（ ）
A. B. C. D.1
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 个.
14.正方形ABCD绕其对角线的交点O旋转，至少旋转 °才能与原图形重合.
15.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有 对关于点O成中心对称的三角形.
第15题图 第18题图
16.二次函数的最小值是 .
17.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 .
18.如图，四边形ABCD内接于，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为 °.
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19.解方程：（1） （2）
20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）.△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为 ；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长.
21.从2021年起，湖南省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.
22.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
23.如图，AB是的直径，射线BC交于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G.
（1）证明：GF是的切线；
（2）若AG=6，GE=，求△GOE的面积.
24.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知月销量是售价的一次函数，该运动服的进价为每件50元，设售价为元.
（1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；
②月销量是 件：（直接写出结果）
（2） 设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
25.如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.
（1）根据上述定义，判断方程 （填“是”或“不是”）“邻
根方程”；
（2）已知关于的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值.
26.如图，二次函数的图像交轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），若将△BOC绕点O逆时针旋转90°，所得△DOE顶点E恰好与点A重合，且△AOD的面积为．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）设这个二次函数图像的顶点为M，请在y轴上找一点P，使得△PAM的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）设这个二次函数图像的对称轴交轴于点N，问：A、M、C、D、N这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明若不可能，请说明理由.
长沙市实验教育集团2020级初三段考数学试卷
满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ C ）
A B C D
解析：A、既是轴对称图形又是中心对称图形
B、既是轴对称图形又是中心对称图形
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意
D、既是轴对称图形又是中心对称图形
2.下列事件中，随机事件是（ A ）
A.经过有交通信号的路口，遇到红灯 B.任意画一个三角形，其内角和为180°
C.在只装了红球的袋子中摸到白球 D.太阳从东方升起
解析：A选项是随机事件
B、D选项为必然事件
C选项是不可能事件
3.下列是一元二次方程的是（ B ）
A. B. C. D.
解析：A选项是一元一次方程
B选项符合题意
C选项含二元，不符合题意
D选项为分式方程
4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ D ）
A.45° B.65° C.60° D.55°
解析：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD
∴∠AOB=∠COD=15°，∠AOC=∠BOD=40°
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=55°
5.在平面直角坐标系中，△AOB与△A1OB1关于原点O中心对称，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ C ）
A.（1，2） B.（2，） C.（，） D.（，1）
解析：关于原点O中心对称，横坐标、纵坐标都变为相反数
6.用配方法解方程，配方正确的是（ B ）
A. B. C. D.
解析：
7.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ A ）
A. B. C. D.
解析：A选项△，∴没有实数根
8.如图，AB是的直径，点C、D在上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（ B ）
A.40° B.140° C.160° D.170°
解析：∵∠BOC=2∠BDC=2×20°=40°
∴∠AOC=180°-40°=140°
9.设，是一元二次方程的两根，则的值为（ C ）
A.6 B.8 C.10 D.12
解析：由韦达定理得，，
∴
10.给出下列四个结论，其中正确的结论为（ A ）
A.同圆中直径是最长的弦 B.三点确定一个圆
C.圆周角是圆心角的一半 D.长度相等的弧是等弧
解析：A、正确
B、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆
C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半
D、错误，能够重合的弧是等弧
11.己知二次函数（）的图象如上图所示，有下列4个结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：①根据图象，a＜0，b＞0，c＞0，∴，∴①错误
②令，时y＜0，即，故，∴②错误
③∵观察图象知，当时y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴③正确
④∵对称轴，解得，∴④正确
12.如图，△ABC，AC=3，BC=，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线，P为直线上一动点，为△APC的外接圆，直线BP交于E点，则AE的最小值为（ D ）
A. B. C. D.1
解析：如图，连接CE
∵AP∥BC
∴∠PAC=∠ACB=60°
∴∠CEP=∠CAP=60°
∴∠BEC=120°
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接OA交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'
∵∠BE'C=120°
∴所对圆周角为60°
∴∠BOC=2×60°=120°
∵△BO′C是等腰三角形，BC=
∴O′B=O′C=4
∵∠ACB=60°，∠BCO'=30°
∴∠ACO'=90°
∴
∴
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 7 个.
解析：设袋中红球有个
根据题意得：
解得：
经检验：是分式方程的解，
∴袋中红球有7个
14.正方形ABCD绕其对角线的交点O旋转，至少旋转 90 °才能与原图形重合.
解析：∵正方形ABCD的旋转角=360°÷4=90°，∴至少旋转90度才能与原图形重合．
15.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，图中有 4 对关于点O成中心对称的三角形.
第15题图 第18题图
解析：图中成中心对称的三角形分别是△ACD与△CAB，△ABD与△CDB，△AOD与△COB，△AOB与△COD，共4对．
16.二次函数的最小值是 8 .
解析：当时，取得最小值8
17.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 .
解析：设绳索长为x尺，可列方程为
18.如图，四边形ABCD内接于，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为 60 °.
解析：解：由圆周角定理得，∠AOC=2∠D，
∵∠AOC=∠B
∴∠B=2∠D
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠D+∠B=180°
∴∠D+2∠D=180°
解得：∠D=60°
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19.解方程：（1） （2）
解析：（1）， （2），
20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）.△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为 （-3，-2） ；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长.
解析：（1）如图所示：
（2）∵点A的坐标为（3，2），
∴点A关于O点中心对称的点的坐标为：（-3，-2）；
（3）∵B的坐标为（1，3），∴BO=
∴在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为：．
21.从2021年起，湖南省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.
解析：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，
∴P（化学生物）=
22.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
解析：∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°
∴∠B=30°
∵AD是∠BAC的角平分线
∴AD⊥BC，BD=CD
∴BD=AD=
∴BC=2BD=
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积=S△ABC-S扇形EAF=
（2）设圆锥的底面圆的半径为r
根据题意得，解得r=2
这个圆锥的高
23.如图，AB是的直径，射线BC交于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G.
（1）证明：GF是的切线；
（2）若AG=6，GE=，求△GOE的面积.
解析：（1）如图，连接OE
∵
∴∠1=∠2
∵∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴OE∥BF
∵BF⊥GF
∴OE⊥GF
∴GF是⊙O的切线；
（2）设OA=OE=r，
在Rt△GOE中，∵AG=6，GE=
∴由OG2=GE2+OE2可得（6+r）2=（）2+r2，
解得：r=3
S△GOE=
24.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知月销量是售价的一次函数，该运动服的进价为每件50元，设售价为元.
（1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；
②月销量是 件：（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
解析：（1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；
②解：（1）设月销量y与的关系式为
由题意得 ，解得
∴
（2）由题意得
∴当售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
25.如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.
（1）根据上述定义，判断方程 是 （填“是”或“不是”）“邻
根方程”；
（2）已知关于的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值.
解析：解：（1）
∵
∴是“邻根方程”
（2）解方程得：
∴或
∵方程（m是常数）是“邻根方程”
∴或
∴m=0或
（3）解方程得
∵关于的方程（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”
∴
∴
∵
∴∵a＞0，
∴a=4时，t的最大值为16
26.如图，二次函数的图像交轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），若将△BOC绕点O逆时针旋转90°，所得△DOE顶点E恰好与点A重合，且△AOD的面积为．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）设这个二次函数图像的顶点为M，请在y轴上找一点P，使得△PAM的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）设这个二次函数图像的对称轴交轴于点N，问：A、M、C、D、N这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明若不可能，请说明理由.
解析：解：（1）由题意得，OB=OD=1，OA=OC
设OA=OC=
∵△AOD的面积为
∴OD•OA=
∴，解得
∴A（，0），C（0，3），
∵二次函数的图象交轴于A、B两点，交y轴于点C．且B（1，0）
∴，解得
∴这个二次函数的关系式为
（2）如图，∵
∴点的M的坐标为（，4）
∴M关于y轴的对称点G为（1，4）
设直线AG的解析式为
∴，解得
∴直线AG的解析式为
把代入得y=3
∴P（0，3）
（3）如图，∵MN⊥AN
∴A、M、N三点所在的圆的直径为AM
∴外接圆的半径为：
设AM的中点Q，则Q（，2）
∵C（0，3），D（0，1），
∴，
∴C、D在以AM为直径的圆上，
∴A、M、C、D、N这5个点共圆，圆心的坐标为（，2）．
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