卷06 一元二次函数、方程和不等式 2021-2022学年高一数学单元卷（难）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

绝密★启用前             

卷6 一元二次函数、方程和不等式 章末复习单元检测（难）

数 学

本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

当且仅当，即时取等号，

当时，不等式恒成立，

只需．

的取值范围为：，．

故选：．

2．若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

，即，

，即，

综上可得：，

故选：．

3．设，为正实数，则的最小值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：因为，为正实数，

所以，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为3．

故选：．

4．要使函数的值恒为负值，的取值范围为　　

A． B．或 C．或 D．

【解答】解：由题设知：

①当时，适合题意；

②当时，由题意得：，解得：，

综合①②得：，

故选：．

5．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B．，， 

C． D．

【解答】解：由，得，

对一切恒成立，即，对一切实数恒成立，

当时不合题意，所以，

则，解得：．

所以实数的取值范围是．

故选：．

6．设，为正数，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

，即，

，

当且仅当，即时等号成立，

当时，取得最小值．

故选：．

7．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，其中，则该图形可以完成的无字证明为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由图形可知，，，，

所以，

中，由可得，．

故选：．

8．已知，，若不等式恒成立，则的最大值等于　　

A．10 B．9 C．8 D．7

【解答】解：由于，，所以，

故不等式等价于，

不等式恒成立，等价于，

由于，

（当且仅当时“”成立），

故．

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，

则全程的平均速度，正确，

又由，由基本不等式可得，则，

同时，，

则，正确，

故选：．

10．设，，且，则下列结论正确的是　　

A．的最小值为 B．的最小值为2 

C．的最小值为 D．恒成立

【解答】解：因为，，且，

对于，，

当且仅当时取等号，故选项错误；

对于，，

当且仅当，时取等号，故选项正确；

对于，，

当且仅当时取等号，故选项正确；

对于，当时，，但，故选项错误．

故选：．

11．已知，且，则的值不可能是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

【解答】解：因为，且，

所以

因为，，

所以，

所以，

因为，

综上，，

所以的值不可能是7，8，10．

故选：．

12．设正实数，满足，则下列结论正确的是　　

A．有最小值4 B．有最大值 

C．有最大值 D．有最小值

【解答】解：因为正实数，满足，

所以，

当且仅当且，即时取等号，取得最小值4，正确，

，当且仅当时取等号，取得最大值，错误，

，当且仅当时取等号，取的最大值，正确，

，当且仅当时取等号，取得最小值．正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知正实数，满足，则的最小值为　　．

【解答】解：正实数，满足，

，，

，

令，

则，

当且仅当时取“”，

故答案为：．

14．已知，，且，则的最小值是　16　．

【解答】解：因为，，且，

所以，即，

有，

当且仅当时取等号，

故，即，

所以的最小值是16．

故答案为：16．

15．已知，，，则的最小值为　　．

【解答】解：因为，，，

所以，

则，

，

，

当且仅当，即，时取等号，

则的最小值为，

故答案为：，

16．已知，，且，则的最大值为　　．

【解答】解：依题意，，，且，所以，，且，即，

所以，

因为，，

所以．

当且仅当，时等号成立．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．正数，满足．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

【解答】解：（1），，，

那么：，当且仅当，即，时取等号．

即：，

所以：的最小值36．

（2），，，

那么：，当且仅当，即，时取等号．

所以：的最小值为．

18．设，，，其中为参数．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值．

【解答】解：（1）当时，，两边同除以得，

则，

当且仅当，即，时取“”，

即当时，的最小值为9；

（2）当时，，

即有，

所以，即，

当且仅当，即，时取“”，

即当时，的最小值为25．

19．某建筑工地在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生公寓，要求顶点在地块的对角线上，，分别在边，上，假设长度为米．

（1）要是矩形学生公寓的面积不小于144平方米，的长度应在什么范围？

（2）长度和宽度分别为多少米是矩形学生公寓的面积最大？最大值是多少平方米？

【解答】解：（1）依题意设，则，

，

所以，

又，

，解得，

要使公寓的面积不小于144平方米，

即，即的长度应在，内；

（2），

当时，，取得最大值150．

答：米，米时，公寓的面积最大，最大值是150平方米．

20．已知．

（1）分别求和的最大值；

（2）求的最小值和最大值．

【解答】解：（1），

当且仅当时，等号成立，

，即的最大值为1；

，

，

，即的最大值为．

（2）由（1）知，，

，

，即的最小值为6；

，

当且仅当时，等号成立，

，

，

，解得，

即的最大值为30．

21．已知函数．

（1）若不等式的解集为，求的取值范围；

（2）当时，解不等式．

【解答】解：（1）函数，

当，即时，不等式可化为，它的解集不是，不满足题意；

当，即时，应满足，

即，

解得；

即；

综上知，的取值范围是，．

（2）当时，不等式化为；

当时，即时，不等式为，解得；

当时，即时，不等式化为，且，解不等式得或；

当时，即时，不等式化为，

因为，所以，所以，解不等式得；

综上知，时，不等式的解集为，；

时，不等式的解集为，，；

时，不等式的解集为，．

22．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（天变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效治污的作用．

（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．

【解答】解：，．（2分）

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时．（4分）

综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．（5分）

当时，，（7分）

又，，，，则．

当且仅当，即时取等号．

令，解得，

故所求的最小值为1．　　　　　　（12分）