卷08 函数的概念与性质 2021-2022学年高一数学单元卷（中）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

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卷08 函数的概念与性质 章末复习单元检测2（中）

数 学

本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，值域为，的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

函数的值域为，；

，

函数的值域为；

，

函数的值域为，；

，

函数的值域为．

值域为，的是，

故选：．

2．已知幂函数在上是增函数，则的值为　　

A． B．1 C． D．1和

【解答】解：由于幂函数

所以，解得或．

当时，在单调递减．

当时，在单调递增．

故选：．

3．已知函数为定义在，上的奇函数，则的解集为　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：函数为定义在，上的奇函数，

，得到，

函数为奇函数，满足，

则，，，

，即函数的定义域为，，

则等价于，，

函数在，上单调递增，

，解得，

原不等式的解集为．

故选：．

4．幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是　　

A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤

【解答】解：取得，故在第⑤卦限；

再取得，故在第①卦限

故选：．

5．当时，恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C． D．

【解答】解：构造函数，，

根据二次函数单调性，，，

恒成立，

，

故选：．

6．已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则　　

A．0 B．1 C． D．

【解答】解：因为，

所以，即函数的周期，

因为为奇函数，故，

则．

故选：．

7．若函数在上为单调增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C． D．，

【解答】解：函数在上为单调增函数，

所以，解得．

故选：．

8．已知函数的值域为，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：函数的值域为，

可得：，解得．

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有　　

A．函数为增函数 

B．函数为偶函数 

C．若，则 

D．若，则

【解答】解：设幂函数，为实数，

其图像经过点，所以，

解得，

所以，定义域为，，为非奇非偶函数，错误；

且在，上为增函数，正确；

且时，（9），选项正确；

因为函数是凸函数，所以对定义域内任意的，

都有成立，选项错误．

故选：．

10．关于函数，下列结论正确的是　　

A．图象关于轴对称 B．图象关于原点对称 

C．在上单调递增 D．恒大于0

【解答】解：，即是奇函数，图象关于原点对称．故错误，正确，

当时，，为增函数，且，

当时，为增函数，且，综上为增函数，故正确，错误，

故选：．

11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是　　

A． B． 

C．函数是偶函数 D．有2个实数根

【解答】解：对于选项函数，，故选项正确，

对于选项或1，都是有理数，，故选项正确，

对于选项：①若为有理数，则也是有理数，

，，即，

②若为无理数，则也是无理数，

，，即，

又函数的定义域为，所以函数是上的偶函数，故选项正确，

对于选项：方程等价于，当时，，此时，方程不成立；当时，，此时，方程成立，所以方程只有一个实根1，故选项错误，

故选：．

12．已知函数，，，则　　

A．的图象与轴有2个交点 B．有最大值1，无最小值 

C．在上单调递增 D．是偶函数

【解答】解令,得,

化简得,

解得或,

当时，即时，此时,

作出的图象，如下：

当时，即时，此时,

作出的图像，如下：

当时，即时，此时,

作出的图像，如下：

当时，即时，此时,

作出的图像，如下：

综上，结合图形可得与轴有两个交点，故正确；

结合图形可得的最大值为1，无最小值，故正确；

结合图形可得在上单调递增，故正确；

结合图形可得不是偶函数，故不正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数在，上的值域是　，　．

【解答】解：当时，函数 在，上是增函数，

故当时，函数取得最小值为1，

又，故函数的值域为，，

故答案为：，．

14．幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则　2或3　，　4　．

【解答】解：幂函数为偶函数，且在递减，

，且是偶数，

由得，

又由题设是整数，故的值可能为2或3，

验证知或者3时，都能保证是偶数，

故或3，此时，则，

故答案为：2或3，4．

15．已知函数，若、、、、满足（a）（b）（c）（d）（e），则（a）（b）（c）（d）（e）的取值范围为　　．

【解答】解：函数的图象如图所示：

由图可得，，，

所以（e）

，

因为，所以函数在上单调递减，又时，，

时，，

所以的取值范围为，

故答案为：．

16．设函数．

①若，使得成立，则实数的取值范围是　　；

②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是　　．

【解答】解：函数．

①当时，，其图象关于直线对称，

若，使得成立，

如图，

则，

实数的取值范围是；

②由①中图形可知，当时，是单调增函数，当时，不单调，

当时，单调递增，当时，不单调．

若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是，．

故答案为：①；②，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数．

（1）当，时，讨论并证明的单调性，并求的取值范围；

（2）求不等式的解集．

【解答】解：（1）设，

则，

，，

当时，，

，在，上单调递减，

当时，，

，在，上单调递增，

综上，在，上单调递减，在，上单调递增，

故当时，函数取得最小值6，

因为（1），（5），

故的值域，，

（2）由（1）可知，在，上单调递减，在，上单调递增，

因为为奇函数且，

所以，

当时，，，与上式矛盾，舍去，

当时，成立，

当时，，则矛盾，舍去，

综上不等式的解集．

18．已知幂函数，且在上是减函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围．

【解答】解：（1）函数是幂函数，

，

即，

解得或，

幂函数在上是减函数，

，

即，

，

，

（2）令，因为的定义域为，，，且在和上均为减函数，

，

或或，

解得或，

故的取值范围为：或．

19．已知，．

（1）当时，求；

（2）试判断在，的单调性，并用定义证明；

（3）求的最小值（a）．

【解答】解：（1）当时，，（1）；

证明：（2）在，的单调递增，

任取，

则，

因为，

所以，即，

所以在，的单调递增；

（3）当时，，

当时，，

当时，函数的最小值（a），

当时，函数的最小值（a），

当时，函数的最小值（a），

当时，函数的最小值（a）．

故（a）．

20．已知是定义在上的奇函数，且当时，．

（Ⅰ）求函数在上的解析式；

（Ⅱ）作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；

（Ⅲ）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）是定义在上的奇函数，（1分）

又当时，，

（4分）

又满足，

，（5分）

（Ⅱ）作出函数的草图，如图示：（7分）

由图可知，它的单调递减区间有，，，（9分）

（Ⅲ）在区间，上单调递增，

，解得：，，

的取值范围为：，（12分）

21．已知函数，定义域为．

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）用定义法证明：函数在区间上是减函数．

（3）解关于不等式．

【解答】解：（1）函数是奇函数，

证明：的定义域是，关于原点对称，

且，

故为奇函数；

（2）证明：设，

，

又由，则，，

则有，即函数在上为减函数；

（3）根据题意，，

解可得：，即不等式的解集为，．

22．已知是定义在，上的奇函数，且（2）．若对任意的，，，，都有．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若不等式对任意，和，都恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）设任意的，满足，

由题意可得，即，

所以在，上递增，

则（a）可化为，解得，

即的取值范围是，

（2）由（1）可得对任意，和，都恒成立，

即为对任意的，恒成立，

所以恒成立，即对任意的，恒成立．

令（a），，，

只需，

解得，

所以的取值范围是，．