卷09 函数的概念与性质 2021-2022学年高一数学单元卷（难）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

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卷09 函数的概念与性质 章末复习单元检测3（难）

数 学

本试卷22小题，满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有四个幂函数：①；②；③；④．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是　　

A．① B．② C．③ D．④

【解答】解：对于①，；是奇函数，不满足（1）偶函数；满足（2）值域是，且；

不满足（3）在上是增函数．所以①不正确；

对于②，；具有性质（1）是偶函数；不具有性质（2）值域是，且．满足（3）在上是增函数．所以②正确．

对于③，；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是，且．所以不正确；

对于④，；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是，且．所以不正确；

故选：．

2．已知，若（a），且，实数的值是　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：已知，若（a），且，

当时，，求得．

当时，，求得．

综上可得，，或，

故选：．

3．定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中不正确的是　　

A．的值域为， 

B．是偶函数 

C．存在无理数，使 

D．对任意有理数，有

【解答】解：因为函数，

所以函数的值域是，，故正确；

若为有理数，则为有理数，有；

若为无理数，则为无理数，有，

所以函数为偶函数，故正确；

为无理数，若为有理数，则为无理数，若为无理数，则可能为有理数，

也可能为无理数，不满足，

故任何无理数均不是的周期，故错误；

对任意有理数，若为有理数，则为有理数，若为无理数，则为无理数，

故，故正确．

故选：．

4．已知函数，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．

【解答】解：的图象如下图所示：

由图象可知：在上单调递增，

，，

得，即，解得．

不等式的解集为．

故选：．

5．已知函数满足，且，当，时，，则当，时，的最大值为　　

A． B．1 C．0 D．

【解答】解：，．

设，则，

时，，

，

，

当时，（1），

故选：．

6．若函数的值域为，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．，， D．，，

【解答】解：当时，，

函数的值域为，

必须时，的最大值大于等于0，

二次函数的开口向下，对称轴为，

当时，即时，（1），解得；

当时，即时，，解得或，

综上或．

故选：．

7．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解函数的图象如图所示，

①当时，化为

，

当时，，

由于关于的不等式恰有1个整数解，

因此其整数解为2，又（2），

，（3），

则，

不必考虑．

②当时，对于，

△，

解得，

只考虑，

则，

由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，，舍去．

可得：实数的最小值是．

故选：．

8．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，有，且是偶函数，不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．，， D．，，

【解答】解：对任意的，，，有，

故在，递增，而是偶函数，故的对称轴是：，

故在，递减，在递增，

不等式对任意的，恒成立，且，

故只需即可，

由对称性得：（7），故或，

解得：或，

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，（常数，则　　

A．当时，在上单调递减 

B．当时，没有最小值 

C．当时，的值域为 

D．当时，，，有

【解答】解：选项：当时，当时，函数单调递减，

但是（1），而当趋近于1时，趋近于1，

所以函数在上不单调，错误，

选项：当时，当时，函数显然没有最小值，

则①当时，此时时，，即函数此时没有最小值，

②当时，，此时函数仍然没有最小值，

综上，当时，函数没有最小值，正确，

选项：当时，

当时，，，

当时，，

所以此时函数的值域为，，，错误，

选项时，，

当时，，，

当时，，，显然有，，

则对任意，，有，正确，

故选：．

10．符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是　　

A．函数的定义域是，值域为， 

B．方程有无数个解 

C．函数是奇函数 

D．函数是增函数

【解答】解：对于：当时．，则，

所以此时，显然不成立，故函数的值域是，，故正确；

对于：当时，，

因为可以取所有的整数，所以方程有无数个解，故正确；

对于函数的定义域是，

而，故不是奇函数，故错误；

对于，

故函数是周期为1的周期函数，函数不单调，故错误；

故选：．

11．函数满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数，恒有；②对于定义域内的任意两个实数，都有成立，则称其为函数．下列函数为函数的是　　

A． B． 

C． D．，

【解答】解：根据题意，满足对于定义域内任意不相等的实数，恒有，

即在定义域上为增函数，

满足对于定义域内的任意两个实数，都有成立，

则在其定义域上为凸函数，即．

对于，，为一次函数，在其定义域上为增函数且，是函数，

对于，，是指数函数，在其定义域上为增函数但不是凸函数，而是凹函数，故不满足条件．

对于，，在其定义域上为增函数且是凸函数，故它是函数．

对于，，，在其定义域上为增函数且是凸函数，

故选：．

12．设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则实数的值可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，

，时，，，

，时，，，，；

，时，，，，，

当，时，由解得或

若对任意，，都有，则．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为　　．

【解答】解：由题意可知：

当时，函数是定义在上的奇函数，，；

当时，任设，则，又因为：当时，，

所以：，又因为函数是定义在上的奇函数，

，

．

所以函数在上的解析式为：．

故答案为：．

14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是　　．

【解答】解：函数是奇函数，

令，则，

，

，

，

当，即，

，

，

（舍去）

当，即，

，

或，又，

．

故答案为：．

15．已知函数，其中，若存在互不相等的三个实数，，，使得，则实数的取值范围是　　．

【解答】解：函数，

，

，图象是型，

又，其对称为，

那么在单调递增，

那么要有三个实数，，，使得，

则，

即，

可得，

解得．

故答案为．

16．设函数．

①若，使得成立，则实数的取值范围是　　；

②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是　　．

【解答】解：函数．

①当时，，其图象关于直线对称，

若，使得成立，

如图，

则，

实数的取值范围是；

②由①中图形可知，当时，是单调增函数，当时，不单调，

当时，单调递增，当时，不单调．

若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是，．

故答案为：①；②，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知幂函数的图象过点．

（1）求函数的解析式，并求出它的定义域；

（2）求满足的实数的取值范围．

【解答】解：（1）设，代入点得，

解得，

即，

故函数的定义域为，．

（2）由于的定义域为，，且在，上递增，

由已知可得，

解得：，

故的范围是，．

18．设函数的定义域是，且对任意正实数，，都有恒成立，已知（2），且时，．

（1）求的值．

（2）判断在上的单调性并给出证明．

（3）解不等式．

【解答】解：（1）令，则可得（1），

再令，，得（1）（2），

即，

故；

（2）在上为单调增函数，

证明如下：设，则，

即，

因为，

故，即，

故在上为单调增函数；

（3）由及，

得，

又为定义域上的单调增函数，

故，

解得，

所以不等式的解集为，．

19．函数的定义域为，且对任意，都有，且（2），当时，有．

（1）求（1），（4）的值；

（2）判断的单调性并加以证明；

（3）求在，上的值域．

【解答】解：（1）可令时，（1）（1）（1）；

令，可得（2）（4）（2），即（4）；

（2）函数在上为增函数．

理由：当时，有，

可令，即有，则，

可得，

则在递增；

（3）由在上为增函数，

可得在，递增，

可得（1）为最小值，为最大值，

由（4）（4），可得（4），

则的值域为，．

20．已知函数．

（1）若函数在区间上有两个相异的零点，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间，上的最小值为0，求实数的值．

【解答】解：（1）函数在区间上有两个相异的零点，

则，解得．

故实数的取值范围是；

（2）．

①当，即时，在，上单调递增，，

解得（舍去）；

②当时，即时，，解得；

③当，即时，在，上单调递减，（1），

解得（舍去）．

综上所述，实数的值为．

21．已知函数，，．

（1）若函数在，上有零点，求的取值范围；

（2）若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围；

（3）设，记（a）为函数在，上的最大值，求（a）的最小值．

【解答】解：（1）函数的图象的对称轴是直线，

在，上为减函数，

又在，上存在零点，故，解得，

故实数的取值范围为，；

（2）若对任意的，，总存在，，使得，

则函数在，上的函数值的取值集合是函数在，上的函数值的取值集合的子集，

函数图象的对称轴是直线，所以在，上的函数值的取值集合为，，

①当时，，不符合题意，舍去；

②当时，在，上的值域为，，只需，解得；

③当时，在，上的值域为，，只需，无解；

综上，实数的取值范围为；

（3），当或时，在，上单调递增，则（a）（1），

当时，，解，得，

故当时，，

综上，，

于是（a）的最小值为．

22．设，，已知函数，．

（Ⅰ）若是奇函数，求的值；

（Ⅱ）当时，证明：；

（Ⅲ）设，，若实数满足，证明：（1）．

【解答】（Ⅰ）解：由题意，对任意，都有，

即，即，

可得．

（Ⅱ）证明：因为，，，

，

所以．

（Ⅲ）证明：设，则，

当，；

当时，，

所以，

，

因为，

所以，

即，

①当时，，（1），

所以（1）；

②当时，由（Ⅱ）知，

（1），等号不能同时成立．

综上可知，（1）．