卷11指数函数与对数函数 2021-2022学年高一数学单元卷（中）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

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卷11 指数函数与对数函数 章末复习单元检测（中）

数 学

本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：依题意知，当，即时，函数的图象恒过定点，即．

故定点的坐标是．

故选：．

2．已知，若（a）（b），则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数．若（a）（b），

不妨设；

①当时，由（a）（b），可得，

即，不成立

②当时，由（a）（b），可得，

即，不成立

②当时，由（a）（b），可得，

那么．

．（当且仅当取等号）

（等号不成立），

．

故选：．

3．已知正实数，满足，则能使得不等式恒成立的整数的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：正实数，满足，．

，化为：，当且仅当时取等号．

则不等式恒成立，化为：，

．

能使得不等式恒成立的整数的最小值为．

故选：．

4．已知函数，（1），则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

【解答】解：函数，，

函数是偶函数．

在，上成立．

函数在，上单调递增．

（1），

（1），即（1），

，

．

故选：．

5．若，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：，

，，

．

故选：．

6．已知函数，且，则　　

A．（a）（b）（c） B．（b）（c）（a） 

C．（a）（c）（b） D．（c）（b）（a）

【解答】解：，且，

令，则，，

（a），

（b）（e），

（c）（1），

又，

（c）（b）（a），

故选：．

7．函数，若函数有3个不同的零点，，，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

【解答】解：函数，作出函数的图象如图所示，

因为函数有3个不同的零点，，，不妨设，

则有，所以，

结合图象，可得，故，

所以．

故选：．

8．已知函数，若存在互不相等的正实数、、，满足，其中，则的最大值为　　

A． B．4 C．9 D．36

【解答】解：作出函数的图象如图：

由图可得，，且有，

则，其中，

令，则，，

所以当 ‘，解得，

即当时，单调递增，时，单调递减，

则最大4值为（2），

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：在同一平面直角坐标系中，作出函数，的图象如下图所示，

由图象可知，当时，函数有两个零点和，

当时，函数有两个零点和，

故选：．

10．设，，则下列不等式中，成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

又，

，

，

，，

．

故选：．

11．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝为常数），则（　　）

A．当0≤x≤0．2时，y＝5x

 B．当x＞0．2时，y＝

 C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0．25mg以下

 D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0．25mg以下

【答案】AD

【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．

【解答】解：当0≤x≤0．2时，设y＝kx，则1＝0．2k，故k＝5，故A正确；

当x＞0．2时，把(0．2，1)代入y＝可得：＝1，∴a＝0．2，故B错误；

令即∴3x－0．6＞2，解得故C错误，D正确．

故选：AD．

12．已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是　　

A． B．为定值 

C． D．的最小值为

【解答】解：函数，

作出的图象，如图，

由有四个不同的零点，，，，

且，

从图可知：．

正确；

由，

可得，

那么．（当且仅当取等号），

，错误；

由关于对称，

那么，

为定值8．

正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若方程有两个不同根，则实数的最小值为　 　．

【解答】解：先作出函数的图象，再结合图象平移直线，

由图象知有两个零点时，须，

故的最小值为1．

14．已知函数，则（8）　 　，若直线与函数的图象只有1个交点，则实数的取值范围是　　　　　．

【解答】解：当时，（8）；

作出函数的图象，如图所示

，

若直线与函数的图象只有1个交点，

有图象可知，当则或满足条件，

故答案为：3，，．

15．若函数在区间上有零点，则　  　．

【解答】解：在上单调递增，在上单调递增，

函数在区间上单调递增，

（2），（3），

根据零点的存在性定理，

（2）（3），即，

，

，且，

．

故答案为：4．

16．如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为　　　．

【解答】解：设，平行于轴，即，，

正方形边长，解得．

由已知，垂直于轴，，正方形边长，即，，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．化简求值：

（1）；（2）．

【解答】解：（1）

（2）

18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度（分贝）由公式，为非零常数）给出，其中为声音能量．

（1）当声音强度，，满足时，求对应的声音能量，，满足的等量关系式；

（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝．已知声音强度大于60分贝属于噪音，且一般人在大于100分贝小于120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．

【解答】解：（1）当声音强度，，满足时，

有，即，

得，，

，则；

（2）由题意，，解得．

，

由，得，解得，

故，时，人会暂时性失聪．

19．已知函数，其中．

（1）当时，求的值域；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

当时，，

当时， 单调递增，所以，

综上所述：的值域为；

（2）当时，，

当时，单调递增；

①若，有一个零点，则，

则时，也应有一个零点，所以，

而，所以；

②若，无零点，则，

则时，有两个零点，所以满足题意，即；

综上所述：的取值范围为，，．

20．已知函数且．

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）求使成立的的取值范围．

【解答】解：（1）要使有意义，必须且，

解得

所以（c）的定义域为．

（2）是奇函数．

证明如下：

由（1）知的定义域为，关于原点对称，

为奇函数．

（3）由，得

当时，为增函数，

，

解得：．

当时，为减函数，

，解得．

综上可知，当时，的取值范围为；

时，的取值范围为

21．（1）函数的图象是由的图象如何变化得到的？

（2）在右边的坐标系中作出的图象．

（3）设函数与函数的图象的两个交点的横坐标分别为，，设，请判断的符号．

【解答】解：（1）函数的图象是由的图象向右平移1个单位得到的．

（2）在右边的坐标系中作出的图象，如图所示；

（3）设函数与函数的图象的两个交点的横坐标分别为，，

．

22．已知函数在区间，上有最大值4和最小值1．设．

（1）求，的值

（2）若不等式在，上有解，求实数的取值范围；

（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）函数，

因为，所以在区间，上是增函数，

故，即，解得；

（2）由（1）可得，

不等式在，上有解，

等价为在，上有解，

即在，上有解，

令，则，，，，，

则函数在，递减，可得的最大值为，

则，即；

（3）原方程可化为，

可令，则，由题意可得有两个不等实根，，

其中，或，，

设，则或，

解得或，

则的取值范围是．