卷12 指数函数与对数函数 2021-2022学年高一数学单元卷（难）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

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卷12 指数函数与对数函数 章末复习单元检测（难）

数 学

本试卷22小题，满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，

，，

．

故选：．

2．若，，则的值为　　

A．7 B．10 C．12 D．34

【解答】解：，

故选：．

3．已知函数，（a）（b），若，，则的最大值为　　

A． B．2 C．1 D．4

【解答】解：函数，

（a）（b），

，

，

当且仅当时，取最大值1，

故选：．

4．设函数，，为非零实数），且（a），（b），若，则的最小值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由（a），（b），得，

两式相减，得，

所以，

若，则（a），（b）成立时，，此时没有最小值，不符合题意，

当时，，

因为，所以，

所以

，

当且仅当，即时取得最小值．

故选：．

5．如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”，下列四个点，，，，中，“好点”的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：设指数函数为，对数函数为；

对于对数函数，时，，则，不是对数函数图象上的点；

，不是好点；

将的坐标分别代入指数函数和对数函数解析式得：

；

解得；

即是指数函数和对数函数的交点，即为“好点”；

同样，将坐标代入函数解析式得：

；

解得；

是“好点”；

“好点”个数为2．

故选：．

6．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，，，

设，因为是等边三角形，

所以点到直线的距离为，所以，，

根据中点坐标公式可得，

所以，解得，

故选：．

7．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　

A．60 B．63 C．66 D．69

【解答】解：由已知可得，解得，

两边取对数有，

解得，

故选：．

8．已知a∈R，函数，则方程的实根个数最多有（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

【解答】解：因为函数，

即．作函数y＝f（x）的图象如下：

当f（x）＝1时，解得x＝1或3或或﹣4，

即当a＝1时，或3或或﹣4．

又因为或，

所以，当时，只有一个x＝﹣2与之对应，

其它情况都有2个x值与之对应，

故此时所求的方程有7个根．当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，

故有8个根；当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，

故有6个根；综上所述，方程的实根个数最多有8个．

故选：C．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．设函数，对于任意的，，下列命题中正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：，所以成立，

，所以不成立，

函数，在上是单调递增函数，

若则，则，

若则，则，故正确

说明函数是凹函数，而函数是凹函数，故正确

故选：．

10．关于函数，下列描述正确的有　　

A．函数在区间上单调递增 

B．函数的图象关于直线对称 

C．若，但，则 

D．函数有且仅有两个零点

【解答】解：函数的图象如下图所示：

由图可得：

函数在区间上单调递增，正确；

函数的图象关于直线对称，正确；

根据图象，由，但，则不一定等于4，错误；

函数有且仅有两个零点，正确．

故选：．

11．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则下列结论正确的为　　

A． 

B．的取值范围为 

C．的取值范围为， 

D．不等式的解集为

【解答】解：画出函数的图象，如图示：

，

有3个不等的实根

和有3个不同的交点，

，，，，

，

，，，

故，，

结合图象不等式的解集为，

故选：．

12．已知函数，则方程的根的个数可能为　　

A．2 B．6 C．5 D．4

【解答】解：画出的图象如图，

由，

△．

若或，则不存在，方程的根的个数为0；

若，则化为，即，

方程的根的个数为2；

若或，则，或，

则方程的根的个数为5个；

若，则或，方程的根的个数为4个；

若，则，，或，

方程的根的个数为4个．

结合选项可知，方程的根的个数可能为2个或5个或4个．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是　　．

【解答】解：由可得且，

令且，

作出的函数图象如下：

因为方程有三个互不相等的实根，，，

所以直线与的图象有三个交点，

设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，

由二次函数的对称性可知，

令可得或（舍去），

所以．

所以的取值范围是．

故答案为：．

14．已知函数若，则函数的定义域为　　．若关于的方程在内有唯一解，则的取值范围是　　．

【解答】解：若，则，

，

函数的定义域为；

函数，若关于的方程在内有唯一解，

可得在内有唯一解，

方程可化为，即在上有唯一解．

如图，

结合函数图象可知或，即或．

的取值范围为，．

故答案为：；，．

15．如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为　　．

【解答】解：设，平行于轴，即，，

正方形边长，解得．

由已知，垂直于轴，，正方形边长，即，，

故答案为：．

16．已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是　8　．

【解答】解：作出的函数图象如图所示：

（1）若，则，

当时，无解；

当时，，

由图象可知不可能只有一个整数解；

当时，，

若只有一个整数解，由图象可知此整数解必为．

又（3），（4），故而，

即．

（2）若，由可得．

当时，由（1）可知的最大值为8，

当时，，

由图象可知有两个整数解，，

至少含有两个整数解，不符合题意．

综上，的最大值为8．

故答案为：8．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，经过时间后物体的温度满足，其中为正的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，求上式中的值，然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是，物体会不会冷却到（精确到．

（参考数据：，，，

【解答】解：由题意可知，，，

当时，，于是，

得，

，则，

那么．

当时，由，

得，即，

即，得；

当时，由，

得，此方程无解．

故开始冷却后，物体的温度为；物体不会冷却到．

18．已知不等式的解集为，，函数．

（Ⅰ）求的值，并作出函数的图象；

（Ⅱ）若关于的方程恰有两个不等实数根，求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，

当时，有，（2分）

因为满足不等式，因此，即（4分）

函数．（6分）

（Ⅱ）方程有两个不等实根，

即函数和函数有两个交点，

由（Ⅰ）的图象可知，，或，

所以实数的取值范围是．（12分）

19．某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标与学生听课时间（单位：分钟）之间的函数关系为．

（1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；

（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？

【解答】解：（1）当时，，

当时，的值最大，最大值为82；

（2）当时，令，解得，

，，

当时，令，解得，，

，，

，

教师能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．

20．已知．

（1）若，，求函数的值域；

（2）若函数在区间上恰好有三个零点（互不相同），求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当，时，，

当时，，

又，（2），

，则函数的值域为，；

（2）当时，，

函数在区间上恰好有三个零点（互不相同），

即在区间上恰好有三个不同的根，

即函数的图象与的图象有三个不同交点，

画出两函数的图象如右图：直线过点，

而过点与的直线的斜率为，

由图可知，若函数的图象与的图象有三个不同交点，

则，即．

故实数的取值范围是．

21．已知定义在上的函数在上是增函数．为偶函数，且当，时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若函数与的值域相同，求实数的值；

（3）令，讨论关于的方程的实数根的个数．

【解答】解：（1）当时，则，而为偶函数，有，

故函数的解析式为：．

（2）函数在上单调递增，

，且的值域为，，

当，时，，由是偶函数，

的值域为，，

由题意知：．令，易知在，上单调递增，且，

．

（3）由（2）有，令，

①当时，，此时仅有一个零点，

②当时，，此时仅有一个零点，

③当时，在中△，故无零点，

在中单调增，而，

故此时，使，

即仅有一个有，

④当时，在中△，零点有，故有两个零点，

在中，单调增，而，即无零点，

综上所述，当时，方程有两个实数根；当时，方程仅一个实数根．

22．已知函数，．

①若，求证：函数恰有一个正零点；（用图象法证明不给分）

②若函数恰有三个零点，求实数取值范围．

【解答】（1）证明：若，则，

因为当时，，都是单调递增函数，

所以在上单调递增，

因为，（2），

所以存在唯一的使得，

所以函数恰有一个正零点；

（2）解：设，作出函数的图象如图所示，

因为函数恰有三个零点，

所以方程必有两个根，，且，或者，，

当，时，，解得；

当，时，，此时，不符合题意，

综上所述，实数的取值范围为．