卷15 三角函数2021-2022学年高一数学单元卷（难）（解析版）（2019人教A版必修第一册）

绝密★启用前             

卷15 三角函数 章末复习单元检测（难）

数 学

本试卷22小题，满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数，为增函数的区间是　　

A．， B． C．， D．

【解答】解：，

求的递增区间，等价于求的递减区间，

由，，

得，，

得，，

当时，，

即函数的递减区间为，

则函数，，的单调递增区间为，

故选：．

2．的一个单调递增区间是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：

由，，

得，，

当时，，

故选：．

3．已知函数，，若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数，，

若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，

，，故排除、．

由的任何一条对称轴与轴的交点的横坐标不属于区间，可得

，且，

求得，，

当时，，不符合，，

当时，，符合题意，

当时，，符合题意，

当时，，不符合，故正确，错误．

故选：．

4．如图，在平面直角坐标系中，质点，间隔3分钟先后从点出发．绕着点按逆时针方向作角速度为弧度分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为　　

A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟

【解答】解：由题意可得：，，

，

令，解得：，，

，1，2，3．

与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间（分钟）．

故选：．

5．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：已知函数，其中，，其图象关于直线对称，

对满足的，，有，．

再根据其图象关于直线对称，可得，．

，．

将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．

令，求得，

则函数的单调递减区间是，，，

故选：．

6．已知函数图象的一个对称中心为，，且，则的最小值为　　

A． B．1 C． D．2

【解答】解：根据题意可得，①，

且，即：，或，

即，或②，

两式相减①②可得，或，

即，或．

对于，令，，可得的最小值为，

故选：．

7．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的图象，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：的图象向左平移个单位长度，

得到：，

再向下平移3个单位长度得到的图象．

由于：，

则：．

所以：．

故选：．

8．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单调，则的最大值为　　

A．11 B．9 C．7 D．5

【解答】解：为的零点，为图象的对称轴，

，即

即即为正奇数，

在，上单调，则，

即，解得：，

当时，，，

，，

此时在，不单调，不满足题意；

当时，，，

，，

此时在，单调，满足题意；

故的最大值为9，

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数，，的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述，其中正确的有　　

A． 

B． 

C． 

D．若，则

【解答】解：由函数图像可得当时，取得最大值2，可得，故正确；

因为，所以，，故正确；

因为当时，，当时，，

所以，

又因为，所以，故错误；

因为，

若，可得，

又因为的对称轴为，

所以，故正确．

故选：．

10．如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中　　

A．转动后点距离地面 

B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 

C．第和第点距离地面的高度相同 

D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为

【解答】解：摩天轮 转一圈，

在 内转过的角度为，

建立平面直角坐标系，如右图，

设 是以 轴正半轴为始边，表示点 的起始位置 为终边的角，

以轴正半轴为始边， 为终边的角为，

即点 的纵坐标为，

又由题知，点起始位置在最高点处，

点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：

即

当 时，，故 正确；

若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的 2 倍，故 错误；

第 点距安地面的高度为

第 点距离地面的高度为

第和第时 点距离地面的高度相同，故 正确；

摩天轮转动一圈， 点距离地面的高度不低于，

即，

即，，

得，

或，

解得 或，

共，故 错误．

故选：．

11．若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为　　

A． B． C．0 D．1

【解答】解：化简可得，

即在区间上有且只有一个解，

即的图象和直线只有1个交点

又，则．

当，即时，可得；

当，即时，可得；

当，即时，可得．

要使得的图象和直线只有1个交点，

结合的图象（图略）．可得或，

解得或，

故选：．

12．已知函数的最大值为，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列结论正确的是　　

A．函数的图象关于直线对称 

B．当时，函数的最小值为 

C．若，则的值为 

D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位

【解答】解：函数的最大值为，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，

，，，．

又因为的图象关于点对称，

所以．

所以．因为，所以．

即．

对选项，故错误．

对选项，，

当取得最小值，故正确．

对选项，得到．

因为，

故错误．

对选项，把的图象向右平移个单位得到的图象，故正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，，，，则　　．

【解答】解：，可得：，①

两边平方可得，，解得：，

，可得：，②

由①②解得：，

又，可得：，两边平方，可得：，，

．

故答案为：．

14．已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是　，　．

【解答】解：由题意得，，

根据余弦函数的性质得，

当或时，，

所以的单调递增区间是和，

故答案为：和．

15．已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为　　．

【解答】解：函数中，，，

，，

，

又的图象关于直线对称，

，，解得，，

，

；

；

，，，可得，，

．

故答案为：．

16．已知函数，对任意，都有，若在，上的取值范围是，则实数的取值范围是　，　．

【解答】解：，其中，

因为函数对任意，都有，

所以的最大值为，所以，即，，所以，

所以，

因为，所以，

若在，上的值域为，

所以

结合正弦函数的性质可知，，

解得，

即实数的取值范围是，．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且__________．

在①函数为偶函数；②；③，；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在，上的单调递增区间．

【解答】解：（1）函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，

即周期，即，得，则．

若选①函数为偶函数，

则是偶函数，则，，得，，

，时，，则．

若选②，则，即，

，，则，即，则则．

若选③，，当时，函数取得最大值，

即，，得，，

，时，，则．

综上函数的解析式为．

（2）当，时，，，

则当，时，函数为增函数，

此时由，得，

即在，上的单调递增区间为，．

18．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递减区间；

（3）在中，若，，求的取值范围．

【解答】解：（1）函数，

所以的最小正周期为．

（2）令，，解得，．

可得的单调递减区间为，，．

（3）因为，所以，

因为，，，

所以，可得，

所以，

因为，所以，

所以，

即的取值范围是，．

19．已知函数，的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间上只有4个零点，求的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由函数，的最大值和最小正周期相同，

可得，解得．

的图象过点，

得，，

由，可知或，

当时，，

当时，，

此时单调递减，不符合题意，

于是；

（Ⅱ）令，即，

函数与在每个周期中都有两个交点，

当，即时，刚好有5个交点，

所以函数在区间上只有4个零点时，的最大值为．

20．如图，在半径为，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点，在上，设矩形的面积为．

（1）设，将表示成的函数关系式；

（2）设，将表示成的函数关系式；并求出的最大值．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以．

（2）当时，，

则，

又，

所以，

所以，

即，

故当时，取得最大值为．

21．如图，在扇形中，半径，圆心角，是半径上的动点，矩形内接于扇形，且．

（1）若，求线段的长；

（2）求矩形面积的最大值．

【解答】解：（1）且，

为等边三角形，

，

又四边形为矩形，，

在扇形中，半径．

过作的垂线，垂足为，

，

在中

（2）矩形面积，设，

由（1）可知，，

，

，

，

，

，

当，

即时，矩形面积取最大值，

最大值为．

22．已知函数，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）若，其中，求的值；

（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由图象知，，

则，即，得，

由五点对应法得，得，

则．

（2）若，则，

即，

，，，

则，则．

（3）若不等式对任意恒成立，

则，即，

当时，，，

则，

，

要使，恒成立，

则，即，得．