2022版新高考数学人教版一轮练习：（20） 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

这是一份2022版新高考数学人教版一轮练习：（20） 同角三角函数的基本关系式与诱导公式，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·新疆普通高中学业水平考试)已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs x＝eq \f(4,5)，则tan x的值为( B )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C．eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
[解析] 因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sin x＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(3,5)，所以tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝－eq \f(3,4).故选B.
2．(2021·福建泉州第一次检测)已知α为第二象限角，则eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))＋eq \f(\r(1－sin2α),cs α)的值是( B )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
[解析] ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cs α<0，
∴eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))＋eq \f(\r(1－sin2α),cs α)＝eq \f(2sin α,|sin α|)＋eq \f(|cs α|,cs α)＝eq \f(2sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝1.选B.
3．sin eq \f(29π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(29π,3)))－tan eq \f(25π,4)＝( A )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－eq \f(1,2)
[解析] 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(5π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－10π＋\f(π,3)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,4)))＝sin eq \f(5π,6)＋cs eq \f(π,3)－tan eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0.
4．(2020·福州市质检)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝( C )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))得，θ＝eq \f(π,3)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝cs 0＝1，故选C.
5．(2021·湖北宜昌联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2 017π,2)))＝( B )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
[解析] 角α的终边经过点P(3，4)，根据三角函数的定义得到sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2 017π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2 017π,2)＋\f(2 018π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－cs α＝－eq \f(3,5).故选B.
6．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cs α＝－eq \r(2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)等于( A )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．－2 D．－eq \f(1,2)
[解析] 由已知得1＋2sin αcs α＝2，
∴sin αcs α＝eq \f(1,2)，
∴tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)
＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2.
7．(2021·沧州七校联考)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则sin2α－sin αcs α的值是( A )
A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5)
C．－2 D．2
[解析] 由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，
即tan α＝2.
所以sin2α－sin αcs α
＝eq \f(sin2α－sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－tan α,tan2α＋1)＝eq \f(2,5).
二、多选题
8．若cs(π－α)＝－eq \f(1,2)，则( CD )
A．sin(－α)＝eq \f(\r(3),2) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(\r(3),2)
C．cs(π＋α)＝－eq \f(1,2) D．cs(α－π)＝－eq \f(1,2)
[解析] 本题考查诱导公式和同角三角函数的关系．
由cs(π－α)＝－eq \f(1,2)可得cs α＝eq \f(1,2)，则sin α＝±eq \f(\r(3),2).
对于A.sin(－α)＝－sin α＝±eq \f(\r(3),2)，所以不正确．
对于B.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,2)，所以不正确．
对于C.cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(1,2)，所以正确．
对于D.cs(α－π)＝－cs α＝－eq \f(1,2)，所以正确．故选CD.
9．若sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有( AB )
A．tan α＝eq \f(4,3)
B．cs α＝eq \f(3,5)
C．sin α＋cs α＝eq \f(8,5)
D．sin α－cs α＝－eq \f(1,5)
[解析] ∵sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq \f(3,5)，故B正确，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq \f(4,3)，故A正确，
∴sin α＋cs α＝eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(7,5)≠eq \f(8,5)，故C错误，
∴sin α－cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5)≠－eq \f(1,5)，故D错误．
10．已知sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5)，其中θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则下列结论不正确的是( ABC )
A．m≤－5 B．3≤m<5
C．m＝0 D．m＝8
[解析] 因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)≥0 ①，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5)≤0 ②，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－3,m＋5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－2m,m＋5)))eq \s\up12(2)＝1，整理得eq \f(m2－6m＋9＋16－16m＋4m2,（m＋5）2)＝1，即5m2－22m＋25＝m2＋10m＋25，即4m(m－8)＝0，解得m＝0或m＝8，又m＝0不满足①②两式，m＝8满足①②两式，故m＝8.故选A、B、C.
三、填空题
11．若f(cs x)＝cs 2x，则f(sin 15°)＝ －eq \f(\r(3),2) ．
[解析] f(sin 15°)＝f(cs 75°)＝cs 150°＝cs(180°－30°)＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
12．已知α为第二象限角，则cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin αeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝ 0 ．
[解析] 原式＝cs αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,cs2α))＋
sin αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,sin2α))＝cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|).
因为α是第二象限角，所以sin α>0，cs α<0，
所以cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|)＝－1＋1＝0，
即原式等于0.
13．(2020·江西九江一中月考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝ －eq \f(2＋\r(3),3) ．
[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－1＝－eq \f(2＋\r(3),3).
14．(2020·山西太原一中月考)已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，则eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)的值为 －eq \f(1,6) ．
[解析] ∵sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，∴－sin α＝－2cs α，即sin α＝2cs α，∴tan α＝2，∴eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)＝eq \f(tan α－4,5tan α＋2)＝－eq \f(1,6).
B组能力提升
1．已知sin(π－α)＝lg8eq \f(1,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tan(2π－α)的值为( B )
A．－eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C．±eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(\r(5),2)
[解析] sin(π－α)＝sin α＝lg8eq \f(1,4)＝－eq \f(2,3).
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),3)，
所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(2\r(5),5).
2．已知2tan α·sin α＝3，－eq \f(π,2)<α<0，则sin α等于( B )
A.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
[解析] ∵2tan α·sin α＝3，∴eq \f(2sin2α,cs α)＝3，即2cs2α＋3cs α－2＝0.
又－eq \f(π,2)<α<0，∴cs α＝eq \f(1,2)(cs α＝－2舍去)，∴sin α＝－eq \f(\r(3),2).
3．(2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考)已知角θ与角φ的终边关于直线y＝x对称，且θ＝－eq \f(π,3)，则sin φ＝( D )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
[解析] 因为角θ与角φ的终边关于直线y＝x对称，所以θ＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，又θ＝－eq \f(π,3)，所以φ＝2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)．于是sin φ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,6)))＝sin eq \f(5π,6)＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2).故选D.
4．(2021·贵州贵阳联考)已知角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点(4，5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin α)的值为 －eq \f(4,5) .
[解析] 本题考查利用三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系化简求值．因为角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点(4，5)，所以tan α＝eq \f(5,4)，因此eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin α)＝eq \f(sin αcs α,－sin αsin α)＝－eq \f(cs α,sin α)＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(4,5).
5．(2020·吉林长春月考)已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两个根为sin θ和cs θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
[解析] (1)由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，①,sin θcs θ＝\f(m,2)，②))
则eq \f(sin θ,1－\f(1,tan θ))＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)将①式两边平方得1＋2sin θcs θ＝eq \f(2＋\r(3),2).
所以sin θcs θ＝eq \f(\r(3),4).
由②式得eq \f(m,2)＝eq \f(\r(3),4)，所以m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由(2)可知原方程变为
2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝eq \f(1,2).
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs θ＝\f(\r(3),2)，,sin θ＝\f(1,2).))
又θ∈(0，2π)，所以θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6).