2022版新高考数学人教版一轮练习：（38）一元二次不等式及其解法

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这是一份2022版新高考数学人教版一轮练习：（38）一元二次不等式及其解法，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·重庆一中期中)“2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 方程表示双曲线⇔(m－2)(6－m)>0⇔(m－2)(m－6)<0⇔22．(2021·衡水中学调研卷)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为( B )
A．2 B．3
C．7 D．8
[解析] A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|(2x＋3)(x－2)>0，x∈Z}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)或x>2，x∈Z))))，∴A∩B＝{3，4}，其真子集个数为22－1＝3.
3．(2021·山东临沂质检)函数y＝ln(2x＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( B )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
[解析] 由题意可知：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,4－x2≥0))解得－eq \f(1,2)4．(2021·湖南长沙雅礼中学月考)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)·(x－3)>0的解集是( C )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1，3)
C．(－1，3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析] 本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的求解．
关于x的不等式ax－b<0，即ax0，可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－15．(2021·山东枣庄三中学情调查)若不等式ax2＋bx－2<0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2A．－28 B．－26
C．28 D．26
[解析] 本题考查根据一元二次不等式的解集求参数．∵不等式ax2＋bx－2<0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－20.∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＋\f(1,4)＝－\f(b,a)，,－2×\f(1,4)＝\f(－2,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝7.))∴ab＝28.故选C.
6．(2021·山东淄博模拟)若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是( A )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－1，1) D．(－1，1]
[解析] “存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0”的否定为“对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0”，下面先求对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0恒成立时a的范围．
①当a＝0时，该不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不合题意；
②当a≠0时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,22－4a2≤0，))解得a≥1.
综合①②得a的范围为[1，＋∞)，所以存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的a的取值范围为(－∞，1)．
7．(2021·广东广州期末)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2[解析] ∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2二、多选题
8．下列四个解不等式，正确的有( BCD )
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
[解析] 对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－eq \f(1,2)，
∴不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>1或x<－\f(1,2))).故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥eq \f(1,2)或x≤－eq \f(2,3).故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝eq \f(21,a)，∴a＝3.故C正确；
对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
9．(2021·山东聊城期末)若“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是( ACD )
A．－8 B．－5
C．1 D．4
[解析] 本题考查解一元二次不等式及根据充分、必要条件求参数值．由x2＋3x－4<0，解得－40，即(x－k)[x－(k＋3)]>0，解得xk＋3.由题意知(－4，1)(－∞，k)∪(k＋3，＋∞)，所以k≥1或k＋3≤－4，即k∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选ACD.
三、填空题
10．不等式－x2－3x＋4>0的解集为 {x|－4[解析] －x2－3x＋4>0⇔x2＋3x－4<0⇔(x＋4)(x－1)<0⇔－411．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) ．
[解析] 由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥eq \f(4,3).
12．(2021·四川泸县四中线上月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解析] 本题考查一元二次不等式的解法．由ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)>0，解得xeq \f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
13．(2021·江西八校联考)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x≥2，,－1，x<2，))则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是 {x|x<2}．．
[解析] 原不等式可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥2,x2＋x－2≤0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<2,－x2＋x－2≤0))
解得x<2.
四、解答题
14．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
[解析] x2－(a＋a2)x＋a3>0⇒(x－a2)(x－a)>0，
当a<0时，xa2；
当a＝0时，x<0或x>0；
当0a；
当a＝1时，x<1或x>1；
当a>1时，xa2.
综上可知：①当a<0或a>1时，不等式解集为{x|xa2}；
②当a＝0时，不等式解集为{x|x<0或x>0}；
③当a＝1时，不等式解集为{x|x>1或x<1}；
④当 0a}．
15．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x ∈R，x≠\f(1,k)))))，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
[解析] (1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴(－3)＋(－2)＝eq \f(2,k)，解得k＝－eq \f(2,5).
(2)由不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠\f(1,k)))))
可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－eq \f(\r(6),6).
(3)依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k<－eq \f(\r(6),6).
(4)依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥eq \f(\r(6),6).
B组能力提升
1．(多选题)(2021·山东洛阳一中月考题)不等式x2－2x－3≥3a－a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围可以为( AC )
A．(－∞，－1] B．[－1，4]
C．[4，＋∞) D．[－2，5]
[解析] x2－2x－3＝(x－1)2－4的最小值为－4，所以x2－2x－3≥3a2－a2对任意实数x恒成立，只需3a－a2≤－4，解得a≤－1或a≥4，故选A、C.
2．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( D )
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－3，5] D．[－2，4]
[解析] 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a，1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2.又当a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2，4]，故选D.
3．(2021·江西南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( A )
A．(0，1) B．(－2，1)
C．(－2，0) D．(－eq \r(2)，eq \r(2))
[解析] 记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）<0，,f（1）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－（m－1）＋m2－2<0，,1＋（m－1）＋m2－2<0，))解得04．(2021·山西大同一中模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－2x，x≥0，,x2－2x，x<0，))若f(3－a2)[解析] 作出函数f(x)的图象如图，
由图可知，函数f(x)为单调递减函数，
∵f(3－a2)2a，解得－35．(2021·河北正定中学月考)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式，f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
[解析] (1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的x∈[－1，1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1，1]；
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－eq \r(2)③当a>1时，g(x)min＝g(1) ＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1.
综上，实数a的取值范围为(1－eq \r(2)，＋∞)．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax ＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)(x＋eq \f(a＋1,a))<0，
因为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a＋1,a)))＝eq \f(2a＋1,a)，
所以当－eq \f(1,2)解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(1当a＝－eq \f(1,2)时，不等式可化为(x－1)2<0，不等式无解；
当a<－eq \f(1,2)时，1>－eq \f(a＋1,a)，解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(a＋1,a)