四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学文试题（小题解析版）

绵阳市高中2019届（2016级）高三第二次诊断性考试文科数学 2019.1.10一、选择题（60分）1、在复平面内，复数对应的点位于 A、第一象限　　　　B、第二象限　 C、第三象限　　　　D、第四象限答案：D考点：复数的运算，复数的几何意义。解析：＝，对应的点为（）在第四象限。2、己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B=｜x ｜＞1｝，则A∩B＝ A、{1，2，3，4} 　B、{2，3，4} 　　C、{3，4} 　　D、{4}答案：B考点：集合的运算，指数运算。解析：＞1＝，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中，大于1的有：{2，3，4} ，故A∩B＝{2，3，4} 。3.右图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总 成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为A、0 　　B、2 C、3 　　D、5答案：D考点：茎叶图，中位数。解析：甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35乙班成绩：30、30、30+m、35、40因为中位数相同，所以，30+m＝35，解得：m＝54、“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的 A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件C.充分必要条件　　　D.既不充分也不必要条件答案：A考点：充分必要条件。解析：a＝b＝1时，两直线分别为：x－y+1＝0与直线x－y－1＝0，斜率相同，所以平行；当直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行时，b＝0显然不符合，所以，b≠0，由斜率相等，得：，显然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，选A。5、直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于A、　　　　B、　　　C、　　　　D、答案：D考点：直线与圆的方程。解析：圆心为（0,0），半径R＝2，画出直线与圆的方程，如下图，相交点A，B刚好在坐标轴上，所以，∠AOB＝6．设a，b是互相垂直的单位向量，且（a＋b）⊥（a＋2b），则实数的值是 A、2 　　B、－2 　　C、1　　 D、－1答案：B考点：平面向量的数量积。解析：依题意，有：｜a｜＝｜b｜＝1，且a•b＝0，又（a＋b）⊥（a＋2b），所以，（a＋b）（a＋2b）＝0，即a2＋2b2＋（2＋1）a•b＝0，即＋2＝0，所以，＝－27、执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为A、1 　　　B、－1 　　C、　　　D、－答案：A考点：程序框图，三角函数。解析：，，显然a＞b，所以，＝18、若函数的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为A、（－∞，4）　　　　B、（－∞，4］　　　C、（4，＋∞）　　　D（0,4）答案：A考点：函数的导数及其应用，基本不等式。解析：依题意，得：＞0，即，在（0，＋∞）上恒成立，所以，，由于，所以，有b＜4，选A。9、已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝　　A、1　　　　B、　　　　C、2　　　　D、4答案：C考点：抛物线的性质。解析：F（，0），所以，直线l为：y＝2（x－）＝2x－p，即x＝，化入抛物线方程，得：，＝p，线段AB的中点M的纵坐标为1，所以，＝1，即p＝210、已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：的左右焦点，点F2关于 双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为　　A、　　　　B、　　　C、2　　　　D、3答案：C考点：双曲线的性质，平面几何知识，计算能力。解析：如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝，点F2（4,0），渐近线：，所以，，解得：b＝2，＝2，所以，离心率为e＝＝2。11．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往 酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第 　二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二： 直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则 　　A、P1•P2＝　　　B、P1＝P2＝　　　C、P1+P2＝　　D、P1＜P2答案：C考点：古典概型。解析：三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；所以，P1+P2＝12、已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是．A、　　　　B、［9，25］　　　C、　　　　D、［3，5］答案：A考点：椭圆的定义及性质。解析：由椭圆方程，得：c＝＝2，所以，椭圆的左焦点为E（－2，0），点A在点E正上方，所以，AE＝2由椭圆的定义，得：2＝｜PE｜＋｜PF｜≤｜PA｜＋｜AE｜＋｜PF｜＝10，即≤5，所以，m＝2≤25当P、A、E在一条直线上，且PE垂直x轴时，取等号，2＝｜PE｜＋｜PF｜≥｜PA｜－｜AE｜＋｜PF｜＝6，即≥3，所以，m＝2≥9，但因为点A（－2,2）在椭圆内部，所以，当x＝－2时有，y＞2，即由，得：＞2，化简，得：，解得：所以，m的取值范围是二、填空题、（20分）13、数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据x1－1，x2－1，x3－1，x4－1，x5－1的方差是　　　　．答案：2考点：数据的方差的计算。解析：数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，所以，［（x1－）2＋（x2－）2+…＋（x5－）2］＝2，数据x1－1，x2－1，x3－1，x4－1，x5－1的平均数为－1，由公式可得：新数据的方差与原数据的方差相同，都为2。14、某景区观光车上午从景区入口发车的时间为：7：30，8：00，8：30，某人上午7：40至8：30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率是　　　　　．答案：考点：几何概型。解析：上午7：40至8：30共50分钟，等待时间不多于10分钟的到达时间为：8：00-8：10，8：30－8：40，共20分钟，所以，所求的概率为：P＝15．若f（x)＝，则满足不等式f(3x一1)十f(2)＞0的x的取值范围是　　．答案：考点：函数的奇偶性、单调性。解析：f（－x)＝＝－（）＝－f（x)，所以，函数f（x)在R上为奇函数，＞0，所以，函数f（x)在R上为增函数，f(3x一1)十f(2)＞0化为f(3x一1)＞－f(2)，即f(3x一1)＞f(－2)所以，3x一1＞－2，解得：x>16、已知点P是椭圆C：上的一个动点，点Q是圆E：上的一个动点，则｜PQ｜的最大值是＿＿＿答案：考点：圆和椭圆的标准方程，两点之间的距离公式，函数的最值问题。解析：圆E的圆心坐标为：E（0,4），半径R＝，设P（m，n）是椭圆上的任意一点，则则｜EP｜2＝＝＝，当n＝－时，｜EP｜2有最大值：27，所以，｜PQ｜的最大值为：3＋R＝4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第22. 23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。17.（12分） 设数列｛｝的前n项和为Sn，已知3Sn=4－4，． （1)求数列｛｝的通项公式； (2）令，求数列｛｝的前n项和Tn.18.（12分） 进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表： 　(1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程。 (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？ 注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为19.（12分） △ABC的内角A. B. C的对边分别为a，b，c，己知＝b（c－asinC）。 （1)求角A的大小； 　 (2）若b＋c＝，，求△ABC的面积。20.（12分） 己知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值； (2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。21．（12分） 己知函数. （1)试讨论f（x）的单调性： (2)若函数有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值． （二）选考题：共10分。请考生在第22, 23题中任选一题做答。如果多做．则按所做的第一题记分。22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分） 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线θ＝与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值。23、［选修4-5：不等式选讲］（10分）已知函数（1）m＝1时，求不等式f（x－2）+f（2x）＞4的解集；（2）若t＜0，求证：≥．绵阳市高中2016级第二次诊断性考试数学（文）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DBDAD BAACC CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）∵ 3Sn=4an-4， ① ∴ 当n≥2时，．② …………………………………………2分由①②得，即(n≥2)． ………………………3分当n=1时，得，即．∴ 数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列． …………………………5分∴ 数列{an}的通项公式为． …………………………………………6分（2）∵ = =． …………………………………8分∴ 数列{bn}的前n项和 ．………………………12分18．解：（1）， ． ………………………………2分 ∴ =5， ………………………………………………………4分，∴ ．……………………………………………7分∴ ． ……………………………………………8分∴ y关于x的线性回归方程为． ………………………………9分（2）当x=8时，．满足|74-73|=1<2，……………………………………………………………10分当x=8.5时，．满足|75-75|=0<2，……………………………………………………………11分∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ………………………………………12分19．解 ：（1）∵ ，∴ cbcosA=b(c-asinC)， 即ccosA=c-asinC． ……………………………………………………2分 由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC，∵ sinC0，∴ cosA=-sinA，即sinA+cosA=．……………………………4分所以sinA+cosA=，即sin(A+)=．∵ 00，故在区间(0，+∞)上单调递增；………………2分当m>0时，由，解得；由，解得．所以函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减. …………4分综上所述，当m≤0时，函数在区间(0，+∞)上单调递增；当m>0时， 函数在(0，)上单调递增，函数在(，+∞)上单调递减. ……………5分（2）∵ 函数g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，显然x=e是其零点，∴ 函数存在两个零点，即有两个不等的实数根．可转化为方程在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根，即函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.∵ ， ∴ 由>0，解得，故在上单调递增；由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；故函数y=m的图象与的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上，即lnx-mx=0的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上，∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0e． …………7分令，则t∈．由 解得 故，t∈． …………………………9分令，则．令，则．所以在区间上单调递增，即>． 所以，即在区间上单调递增，即≤=，所以，即x1x3≤，所以x1x3的最大值为． ………………………………………………12分22．解：（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，即． ……………………………………………………… 2分∵ ，，故曲线C的极坐标方程为． ………………………4分（2）将代入中，得，则．∴ |OM|=． ………………………………………………………6分将代入中，得．设点P的极径为，点Q的极径为，则． …………………8分所以|OP||OQ|=5． …………………………………………………………… 9分又|OM||OP||OQ|=10，则5=10．∴ t=或． ………………………………………………………10分23．解：（1）由m=1，则|x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|>4的解集．当x≥3时，|x-3|+|2x-1|=3x-4>4恒成立；当 时，x+2>4，解得x>2，综合得； ……………………3分当x≤时，4-3x>4，解得x<0，综合得x<0； …………………………… 4分所以不等式的解集为{x|x<0，或x>2}．………………………………………5分（2）证明：∵ t<0，∴ ……………………………………………7分≤==．所以≥． …………………………………………………10分