人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形精练

8.1  基本立体图形（精练）

【题组一 多面体】

1．（2020·广西崇左市·崇左高中）下列几何体中是棱锥的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C.

2．（2020·广西桂林市·桂林十八中）下列命题正确的是（    ）

A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

【答案】D

【解析】对于选项棱柱的底面也可以是三角形，五边形等，不一定是平行四边形，所以该选项错误；

对于选项，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形，五边形等，所以该选项错误；

对于选项，棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥，所以该选项错误；

对于选项，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，所以该选项正确.

故选：D

3．（2020·全国高三专题练习）一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（    ）

A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥

【答案】D

【解析】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，故选：D.

4．（2021·江苏高一课时练习）棱台不具备的特点是（    ）

A．两底面相似 B．侧面都是梯形

C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点

【答案】C

【解析】根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．

棱台的两底面是相似多边形，A正确；

侧面的上下底边平行，侧面都是梯形，B正确；

侧棱延长后交于一点，D正确；

由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱也不一定相等，C不一定成立，

故选：C．

5．（2021·河南焦作市）某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（    ）

A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台

【答案】D

【解析】四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．故选：D．

6．（2020·全国高三专题练习（文））下列说法中正确的是（    ）

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台

D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥

【答案】D

【解析】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；

而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；

因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确.

故选：D.

7．（2020·朝阳县柳城高级中学）下列说法正确的是（    ）

A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形

【答案】C

【解析】

A. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形,但不一定全等，故错误；

B.用一个平面去截棱锥，当棱锥底面与截面平行时，才是棱台，故错误；

C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，如正方体共顶点的三个相邻平面，故正确；

D.棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故错误；

故选：C

8．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).

①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.

【答案】⑤

【解析】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥，

故①错误.

对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形，

此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误.

对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥，

故③④错误.

 对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，

故顶点底面上的射影为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确.

故答案为：⑤

9．（2020·全国高三专题练习）给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体.

其中正确命题的序号是________.

【答案】②③④

【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；

②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；

③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；

④正确，如图，正方体中的三棱锥，四个面都是直角三角形.

故答案为：②③④

10．（2020·全国高三专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④棱台的各侧棱延长后必交于一点；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

【答案】②③④

【解析】①错，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，则棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

②对，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

③对，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

④对，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；

⑤错，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

故答案为：②③④

11．（2021·江苏高一课时练习）如图，下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号).

【答案】①③④    ⑥    ⑤   

【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.

故答案为：①③④；⑥；⑤.

【题组二 旋转体】

1．（2020·浙江）以下空间几何体是旋转体的是（    ）

A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥

【答案】A

【解析】由封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体可知，只有A项满足题意故选：A

2．（2020·东台创新高级中学高一月考）给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是（    ）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

【答案】B

【解析】圆柱的母线与它的轴平行，故①错误；

圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故②正确；

在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故③错误；

圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，故④正确；

故选：B

3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是（    ）

A．①是圆台 B．②是圆台 C．③是圆锥 D．④是圆台

【答案】C

【解析】图①不是由圆锥截得的,所以①不是圆台;

图②上下两个面不平行，所以②不是圆台;

图④不是由圆锥截得的，所以④不是圆台;很明显③是圆锥，

故选：C.

4．（2032·上海市）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是_____

【答案】②③

【解析】①若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误；

②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母线长度，②正确；

③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；

④若两点连线为球的直径，则过两点有两个大圆，④错误.

故答案为②③

【题组三 组合体】

1．（2020·全国高一课时练习）说出图中物体的主要结构特征.

【答案】详见解析

【解析】（1）一个圆柱与一个圆锥的组合体，上部分为圆锥，下部分为圆柱；

（2）一个六棱柱里面挖去了一个圆柱.

2．（2020·全国高一课时练习）如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征.

【答案】详见解析

【解析】几何体如图（2）所示，其中，垂足为E.

这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的.其中圆柱的底面分别是和，侧面是由梯形的上底绕轴旋转形成的；圆锥的底面是，侧面是由梯形的边绕轴旋转而成的.

3．（2020·全国高一课时练习）如图，说出图中两个几何体的结构特征.

【答案】（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.（2）由四梭柱和四棱锥组合而成的简单组合体.

【解析】几何体（1）是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；

几何体（2）是长方体上拼接了一个同底的四棱锥；

4．（2020·全国高一课时练习）试指出图中组成各几何体的基本元素.

【答案】（1）几何体由6个顶点、12条棱和8个面组成（2）几何体由6个顶点、10条棱和6个面组成

【解析】(1)    是由两个四棱锥组成的，有6个顶点、12条棱和8个面组成.

(2)是由两个锥体组合而成，有6个顶点、10条棱和6个面组成.

【题组四 截面问题】

1．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（    ）

A．2 B．1 C．高 D．考

【答案】C

【解析】将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，

故选:C.

2．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是（    ）

A．三棱锥 B．四棱锥

C．三棱柱 D．组合体

【答案】B

【解析】根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥A′－BCC′B′．故选：B.

3．（2020·唐山市第十一中学高二期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（    ）

A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体

【答案】C

【解析】圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，

如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.

故选：C

4．（2021·江苏高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ）

A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤

【答案】D

【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，

当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；

当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；

故选:D