沪教版高中二年级 第一学期7.4数学归纳法教案设计

数学归纳法

【教学目标】

1．了解归纳法的意义，形成观察、归纳、发现的能力，能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式；

2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；

3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写。

【教学重难点】

（1）重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析；

（2）难点：数学归纳法中递推思想的理解。

【教学内容】

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法。它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用。但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练。对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重。为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可。你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不做出解释，可学生仍未完全接受。学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等。为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来。这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机。

数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束。第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束。

理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件。

【教学过程】

（一）复习引入

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？

方法一：把它倒出来看一看就可以了。

特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性。

方法二：一个一个拿，拿一个看一个。

比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球。

特点：有顺序，有过程。

问题2：在数列中，，先算出的值，再推测通项的公式。

过程：，，，由此得到：，

解决以上两个问题用的都是归纳法。

（二）讲解新课：

1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。

特点：由特殊→一般。

2．不完全归纳法： 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。

如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳。

我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要。

3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。

4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法。

5．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立。

6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

（1）证明：当n取第一个值n0结论正确；

（2）假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。

由（1），（2）可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

（三）例题分析

例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立。

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立。

（2）假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k－1) d。

那么ak+1=ak+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

由（1）和（2）可以判定，等式对任何n∈N*都成立。

例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。

（2）假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2。

∴n=k+1时也成立。

由（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立。

（四）课堂练习：

1．用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=。

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边==1．∴等式成立。

（2）假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=。

那么当n=k+1时，

∴n=k+1时，等式也成立。

由（1）（2）可知等式对一切n∈N*都成立。

2．首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是：an=a1qn-1。

证明：（1）n=1时，左边=a1，右边=a1·q1-1=a1q0=a1。

∴左边=右边。

（2）假设当n=k时等式成立。即ak=a1qk－1。那么当n=k+1时。

ak+1=akq=a1qk-1·q=a1q(k+1)-1。

∴n=k+1时等式也成立。

由（1）、（2）可知等式对一切n∈N*都成立。

（五）课堂小结

引导学生归纳，教师提炼。

1．中心内容是归纳法和数学归纳法；

2．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；

3．数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；

4．本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想。

【教学反思】

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法。它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练。所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来。这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机。运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可。理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件。这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向。

相关数学史资料介绍

资料1：费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立做出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献。但是，费马曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3，5，17，257，65537作了验证后得到的。

18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，=4294967297=6700417×641，从而否定了费马的推测。

有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的。但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！

资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？

f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，

f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，

f（10）=151，…f（39）=1601。

但是f（40）=1681=412是合数。

算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的。

对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准。对于数学问题，应寻求数学证明。