初中人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试综合训练题

人教版九年级数学上册 一元二次方程 复习测试题

一、选择题

1. 一元二次方程x2－px＋q＝0(p2－4q>0)的两个根是(　　)

A.      B.

C.      D.

2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是(　　)

A．x2＋＝0

B．ax2＋bx＋c＝0

C．(x－1)(x＋2)＝1

D．x2－2x＝(x＋3)(x－2)

3. 下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是(　　)

A. a＞0  B. a＝0  C. c＞0  D. c＝0

4. 下列方程中以为根的一元二次方程是（　　　　）

A．  B．   C．     D．

5. 如图，某小区有一块长为18 m，宽为 6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x  m，则可列出关于x的方程是(　　)

A. x2＋9x－8＝0   B. x2－9x－8＝0  C. x2－9x＋8＝0     D. 2x2－9x＋8＝0

6. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是(　　)

7. 关于x的方程无实数根，则m的取值范围为(    )．

    A．m≠0       B．m＞1      C．m＜1且m≠0     D．m＞-1

8.  若方程是关于的一元二次方程,则的范围是（    ）.

(A)           (B)        (C)        (D) 且

9.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　）

A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102 

C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12

10.若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）

A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0

11. 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于(    )

    A．1    B．2    C．1或2    D．0

12. 在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　）

A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 

C．30×20﹣2•30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468

二、填空题

13. 元旦当天，小明编写了一条祝福微信发送给若干人，每个收到祝福微信的人又给相同数量的人转发了这条祝福微信，此时小明以及收到这条祝福微信的人共有157人，问小明给几人发了这条祝福微信？

解题方案：设小明给x人发了这条祝福微信，则收到小明祝福微信的x个人共发出了________条祝福微信，所以收到这条祝福微信的共有________人．

根据题意列出方程____________．

解得____________．

合乎实际意义的解为________．

答：小明给________人发了这条祝福微信．

14. 若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣a2a的值是　　．

15.  方程(2x+1)(x-3)＝x2+1化成一般形式为____           _   ___，二次项系数是____ ____，

一次项系数是________，常数项是________．

16. 咸宁市2019年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2021年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为______，此方程适宜用__________法解。

17. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+　 　＝35+　 　，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝　 　．

18. 关于的一元二次方程有一个根为0，则        .

19. x2－5│x│+4=0的所有实数根的和是________．

20. 已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程b＝0的解是　     　．

21. 已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为　 　．

22. 若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值为　  　．

三、计算题

23. 用适当的方法解方程：（8分）

（1）

（２）４（x－５）２＝（　x－５）（　x＋５）

（３）x（x＋４）－９６＝０

（４）6+5(2y-1)= (2y-1)2

四、解答题

24. 阅读下面例题的解答过程，体会并其方法，并借鉴例题的解法解方程。（9分）

例：解方程x2－-1=0.

解：（1）当x－1≥0即x≥1时，= x－1。

原化为方程x2－（x－1）-1=0，即x2－x=0

解得x1 =0．x2=1

∵x≥1，故x =0舍去，

∴x=1是原方程的解。

（2）当x－1＜0即x＜1时，=－（x－1）。

原化为方程x2+（x－1）-1=0，即x2+x－2=0

解得x1 =1．x2=－2

∵x＜1，故x =1舍去，

∴x=－2是原方程的解。

综上所述，原方程的解为x1 =1．x2=－2

解方程x2－－4=0.

25. 已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．

（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．

（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

26.某汽车销售公司9月份销售某厂的汽车。在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部汽车，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元／部 。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元. 汽车的售价均为28万元／部

（1）若该公司当月售出4部汽车，则每部汽车的进价为   万元。此时汽车销售公司月盈利为       万元。

（2）如果该公司计划当月盈利12万元，那么售出多少部汽车?

（盈利=销售利润+返利）（10分）

27. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．

    参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？

设共有x家公司参加商品交易会．

（Ⅰ）用含x的代数式表示：

    每家公司与其他　   　家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了　    　份合同；

（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．

28. 不解方程，求作一个新方程，使它的两根分别是方程两根的倒数。

29. (1)利用求根公式完成下表：

     (2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．

     (3)利用上面的结论解答下题．

      当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，

      ①有两个不相等的实数根；

      ②有两个相等的实数根；

      ③没有实数根．

30. 某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向曲折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)

答案

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 【答案】A　[解析] 提示：一次项系数是－p.

2. 【答案】C　[解析] A．x2＋＝0，等号左边不是整式；B.ax2＋bx＋c＝0，不确定a的取值，如果a＝0就不是一元二次方程；C.(x－1)(x＋2)＝1，化简后为x2＋x－3＝0，是一元二次方程；D.x2－2x＝(x＋3)(x－2)化简之后是3x＝6，是一元一次方程．故选C.

3. 【答案】D　【解析】该方程是一元二次方程，则有a≠0，该一元二次方程根的判别式为b2－4ac＝16－4ac，要使原方程一定有实数根，只需b2－4ac≥0即可．A选项中a＞0，若c＞0，16－4ac可能小于0，不符合题意；B选项中一元二次方程a不能为0，不符合题意；C选项同A选项，不符合题意；D选项中当c＝0时，b2－4ac＝16＞0，符合题意，故选D.

4. 【答案】D

5. 【答案】C　【解析】因为人行道的宽度为x米，所以阴影部分的长为(18－3x)米，宽为(6－2x)米，故阴影部分面积为(18－3x)(6－2x)＝60，化简得x2－9x＋8＝0.故选C.

6. 【答案】B　【解析】∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4(kb＋1)＝4－4kb－4＝－4kb＞0，∴kb＜0，即k、b异号，当k＞0，b＜0时，y＝kx＋b经过第一、第三、第四象限；当k＜0，b＞0时，y＝kx＋b经过第一、第二、第四象限．结合选项可知选B.

7. 【答案】B；

【解析】当m＝0时，原方程的解是；当m≠0时，由题意知△＝22-4·m×1＜0，所以m＞1．

8. 【答案】C

9. 【答案】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，

在Rt△ABC中，

∵AC2+BC2＝AB2，

∴102+（x﹣1）2＝x2，

故选：A．

10. 【答案】解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，

∴a（x+m﹣1）2+b＝0，

又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），

∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，

解得x1＝3，x2＝0，

故选：D．

11. 【答案】B；

  【解析】由常数项为0可得m2-3m+2＝0，∴  (m-1)(m-2)＝0，即m-1＝0或m-2＝0，

         ∴  m＝1或m＝2，而一元二次方程的二次项系数m-1≠0，∴  m≠1，即m＝2．

12. 【答案】解：设入口的宽度为x m，由题意得：

（30﹣2x）（20﹣x）＝468．

故选：A．

二、填空题（本大题共10道小题）

13. 【答案】x2　x＋x2　1＋x＋x2＝157　x1＝12，x2＝－13　　x1＝12　12

14. 【答案】解：∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，

∴2a2+a＝2，

∴2021﹣a2a＝2021（2a2+a）＝20212＝2020．

故答案为：2020．

15. 【答案】x2-5x-4＝0，1，-5，-4．

16. 【答案】2000（1+x）2=2420,直接开平方

17. 【答案】解：由已知可得，图形中所缺正方形为边长为1的正方形，

∴大正方形的边长为x+1，

∴（x+1）2＝36，

∴x+1＝6，

∴x＝5．

故答案为1，1，5．

18. 【答案】-1；

   【解析】把x=0代入方程得,因为，所以.

19. 【答案】0  点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．

20. 【答案】解：∵a（x+m）2+b＝0的两解为x1＝3和x2＝7，

∴，

解得：，

∵b＝0，

∴4（xm）20，

∴4（x）2﹣4＝0，

∴x或x，

故答案为：x或x

21. 【答案】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，

∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，

∴β＝3，1，1，

∴原式＝13β＝1+3（β）＝1+3×3＝10，

故答案为10．

22. 【答案】解：当a≠b时，由实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，可把a，b看成是方程x2﹣8x+5＝0的两个根，

∴a+b＝8，ab＝5，

∴

20，

当a＝b≠1时，∴1+1＝2，

故答案为：﹣20或2．

三、计算题

23. 【答案】x=   x1 =5，x2=    x1 =8，x2= -12   x1 =5，x2=   y1=0，y2=

四、解答题（本大题共7道小题）

24. 【答案】x1 =2．x2=-3

25. 【答案】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，

∴无论m取何值，这个方程总有实数根；

（2）∵△ABC为等腰三角形，

∴b＝c或b、c中有一个为5．

①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，

解得：m＝5，

∴原方程为x2﹣8x+16＝0，

解得：b＝c＝4，

∵b+c＝4+4＝8＞5，

∴4、4、5能构成三角形．

该三角形的周长为4+4+5＝13．

②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，

解得：m＝6，

∴原方程为x2﹣9x+20＝0，

解得：x1＝4，x2＝5．

∵4、5、5能组成三角形，

∴该三角形的周长为4+5+5＝14．

综上所述，该三角形的周长是13或14．

26. 【答案】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得

（34﹣2x）（20﹣x）＝608，

整理，得x2﹣37x+36＝0．

解得x1＝1，x2＝36，

∵36＞20（不合题意，舍去），

∴x＝1．

答：小道进出口的宽度应为1米．

27. 【答案】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x（x﹣1）份合同；

（Ⅱ）根据题意列方程得：x（x﹣1）＝45，

解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去），

检验：x＝﹣9不合题意舍去，

所以x＝10．

答：共有10家公司参加商品交易会．

故答案为：（x﹣1）；x（x﹣1）．

28. 【答案】解：设所求方程的根为，则：   即：

代入上式得：  

即为所求方程。

29. 【答案】

 (1)

(2)①当时，方程有两个不相等的实数根；

②当时，方程有两个相等的实数根；

③当时，方程没有实数根．

(3)，

①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m≠2；

②当原方程有两个相等的实数根时，b2 -4ac=20m-15=0，即；

③当原方程没有实数根时， ，即．

30. 【答案】26.7 7.2  设该公司需售出x部汽车。由题意知：每部汽车的销售利润为28-万元。当时，由题意得：x(0.1x+0.9)+0.5x=12

整理得x2+14x－120＝０解得x1 =-20．x2=6由题知x=-20不合题意舍去，取x=6当x＞10时，由题意得：x(0.1x+0.9)+ x=12整理得x2+19x－120＝０解得x1 =-24．x2=5由题知x=-24不合题意舍去，取x=5因为5 ＜10，所以x=5舍去。答：该公司需售出6部汽车