新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：专题突破一 .2 利用导数研究不等式恒（能）成立问题

这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：专题突破一 .2 利用导数研究不等式恒（能）成立问题，共29页。PPT课件主要包含了课堂·题型讲解，高考·命题预测等内容，欢迎下载使用。

类题通法不等式恒成立问题的求解策略(1)已知不等式f(x·λ)>0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围，利用导数解决此类问题可以运用分离参数法．(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1.故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
类题通法等价转化法求解不等式恒成立问题的思路遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．
巩固训练2：设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．
(2)令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，令x＝0，可得g(0)＝0.g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，则h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，当x≥0时，h′(x)<0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，要使f(x)－ax－1≤0在x≥0时恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此时g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．
解析：(1)由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则当x＝1时，ymax＝－3，∴a≥－3，∴a的最小值为－3.
类题通法1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.2．含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
解析：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝ln a.由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞).综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞)．
[预测]　核心素养——逻辑推理、数学运算已知函数f(x)＝ex－1－a(x－1)＋ln x(a∈R，e是自然对数的底数)．(1)设g(x)＝f′(x)(其中f′(x)是f(x)的导数)，求g(x)的极小值；(2)若对x∈[1，＋∞)，都有f(x)≥1成立，求实数a的取值范围．