高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第1课时同步训练题

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1．给出下列关系：① eq \f(1,3)∈R；② eq \r(5)∈Q；③－3∉Z；④－ eq \r(3)∉N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B． eq \f(1,3)是实数，①正确； eq \r(5)是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－ eq \r(3)是无理数，④正确．故选B．
2．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
3．已知集合S中的元素a，b是一个四边形的两条对角线的长，那么这个四边形一定不是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选C．因为集合中的元素具有互异性，所以a≠b，即四边形的两条对角线不相等．故选C．
4．下列各选项中集合P与Q表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1， eq \r(3)，π组成的集合，Q是由元素π，1，|－ eq \r(3)|组成的集合
B．P是由π组成的集合，Q是由3.141 59组成的集合
C．P是由2，3组成的集合，Q是由有序实数对(2，3)组成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数组成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析：选A．由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A．
5．由实数x，－x，|x|， eq \r(x2)，－ eq \r(3,x3)所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
解析：选A． eq \r(x2)＝|x|，－ eq \r(3,x3)＝－x.
当x＝0时，它们均为0；
当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.
综上所述，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b__________A，ab__________A.(均填“∈”或“∉”)
解析：由题意知a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.
答案：∉ ∈
7．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2解析：因为x∈N，2答案：6
8．已知集合M有2个元素x，2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是________．(填序号)
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
解析：依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠－1，,2－x≠－1，,x≠2－x，))解得x≠－1，x≠1且x≠3，当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0，2，故①可能正确；当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1，不满足集合中元素的互异性，故②不正确，③显然正确．
答案：②
9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，求实数a的值；
(2)若a∈A，求实数a的值．
解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上所述，实数a的值为1.
10．设集合A中的元素是实数，且满足1∉A，若a∈A时， eq \f(1,1－a)∈A.若2∈A，写出集合A中的元素．
解：因为2∈A，所以 eq \f(1,1－2)＝－1∈A，
所以 eq \f(1,1－(－1))＝ eq \f(1,2)∈A，
所以 eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.
再求下去仍然只得到2，－1， eq \f(1,2)这三个数，
所以集合A中的元素只有三个：－1， eq \f(1,2)，2.
[B 能力提升]
11．若集合A具有以下性质：
(1)0∈A，1∈A；
(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时， eq \f(1,x)∈A.则称集合A是“好集”．
下列命题正确的个数是( )
①若集合B中含有－1，0，1三个元素，则B是“好集”；
②有理数集Q是“好集”；
③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时， eq \f(1,x)∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
12．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)，则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A且2∈B B．(1，2)∈A且(1，2)∈B
C．2∈A且(3，10)∈B D．(3，10)∈A且2∈B
解析：选C．集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A；集合B中的元素为点(x，y)且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C．
13．由a， eq \f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合，则a2 022＋b2 022＝________．
解析：由a， eq \f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得 eq \f(b,a)＝0，即b＝0.此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)因此a＝－1且b＝0，所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
答案：1
14．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．
解：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2，1，－3，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知实数a的值为0或1.
[C 拓展探究]
15．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，ab∈A， eq \f(a,b)∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问：数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解：(1)数集N，Z不是“闭集”．例如，3∈N，2∈N，而 eq \f(3,2)＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而 eq \f(3,－2)＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．
(2)数集Q，R是“闭集”．由于两个有理数a与b的和、差、积、商，即a±b，ab， eq \f(a,b)(b≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集．