高中数学1.2 集合间的基本关系一课一练

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这是一份高中数学1.2 集合间的基本关系一课一练，共5页。

1．(多选)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
①3∈A；②{－3}∈A；③∅⊆A；④{3，－3}⊆A.
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选ACD．根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：
对于①3∈A，3是集合A的元素，正确；
②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}⊆A，错误；
③∅⊆A，空集是任何集合的子集，正确；
④{3，－3}⊆A，任何集合都是其本身的子集，正确．
2．若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )
A．3 B．6
C．7 D．8
解析：选B．由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为23－2＝6.
3．已知集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))，N＝{x|x＝ eq \f(k,4)＋ eq \f(1,2)， eq \a\vs4\al(k∈Z)}，则( )
A．M＝N B．MN
C．MN D．M与N没有相同元素
解析：选C．因为 eq \f(k,2)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(1,4)(2k＋1)， eq \f(k,4)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN.故选C．
4．设a，b∈R，集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，2a－b，\f(2a,b)))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，a＋b，\f(b,a)))，则ab＝( )
A．－ eq \f(1,9) B． eq \f(1,9)
C．－ eq \f(2,9) D． eq \f(2,9)
解析：选D．由题知a≠0，b≠0，因为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，2a－b，\f(2a,b)))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，a＋b，\f(b,a)))，所以2a－b＝0，得b＝2a，所以{2，0，1}＝{0，a＋b，2}，于是a＋b＝1，又b＝2a，所以a＝ eq \f(1,3)，b＝ eq \f(2,3)，所以ab＝ eq \f(2,9).
5．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是( )
A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a＜\f(1,4))))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,4)))))
C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≥\f(1,4))))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a＞\f(1,4)))))
解析：选B．因为∅{x|x2－x＋a＝0}，所以方程x2－x＋a＝0有实数根，所以Δ＝1－4a≥0，解得a≤ eq \f(1,4).故选B．
6．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，则M与P的关系为________．
解析：因为xy>0，所以x，y同号．又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：M＝P
7．设A＝{x|－1a}，若AB，则a的取值范围是________．
解析：集合A，B在数轴上表示如图，由AB可求得a≤－1.
答案：a≤－1
8．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________．
解析：由题意知C⊆{0，2，4，6，7}，C⊆{3，4，5，7，10}，所以C⊆{4，7}．又因为C≠∅，所以C＝{4}，{7}或{4，7}．
答案：{4}或{7}或{4，7}
9．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围．
解：集合A在数轴上表示如图．
要使A⊇B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内．
那么由4x＋m<0，
解得x<－ eq \f(m,4)，所以－ eq \f(m,4)≤－2，即m≥8.
故实数m的取值范围是m≥8.
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝ eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．
解：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}．当a＝ eq \f(1,5)时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅时，a≠0，集合B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，由B⊆A得 eq \f(1,a)＝3或 eq \f(1,a)＝5，所以a＝ eq \f(1,3)或a＝ eq \f(1,5).
综上所述，实数a的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
[B 能力提升]
11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是( )
A．A⊆B B．AB
C．BA D．A∈B
解析：选D．因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D．
12．同时满足①M⊆{1，2，3，4，5}，②a∈M且6－a∈M的非空集合M的个数为( )
A．16 B．15
C．7 D．6
解析：选C．当a＝1时，6－a＝5；当a＝2时，6－a＝4；当a＝3时，6－a＝3；当a＝4时，6－a＝2；当a＝5时，6－a＝1，所以满足条件的非空集合M可能是{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
13．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1(1)若A＝B，则y的值为________；
(2)若A⊆C，则a的取值范围为________．
解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，
所以y＝1.
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，
所以y＝3.
综上，y的值为1或3.
(2)因为C＝{x|2所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2所以3答案：(1)1或3 (2)314．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使B⊆A成立，
则有m＋1≥－2且2m－1≤5，
可得－3≤m≤3，即2≤m≤3.
综上可知，当m≤3时，B⊆A.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，
所以A，B没有公共元素．
当m＋1＞2m－1，
即m＜2时，B＝∅满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使A，B没有公共元素，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥2，,m＋1＞5))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥2，,2m－1＜－2，))
解得m＞4.
综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立．
[C 拓展探究]
15．(2021·安徽省“江南十校”联考)已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．
解：存在．A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，Δ1＝(－a2)－4×(a－1)＝(a－2)2≥0，故B＝∅不成立．
因为B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，所以1∈B.
又BA，所以a－1＝1，即a＝2.
因为C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，
所以C＝∅或C＝{1}或C＝{2}或C＝{1，2}．
当C＝{1，2}时，b＝3；
当C＝{1}或C＝{2}时，Δ2＝b2－8＝0，即b＝±2 eq \r(2)，此时x＝± eq \r(2)，与C＝{1}或C＝{2}矛盾，故舍去；
当C＝∅时，Δ2＝b2－8<0，即－2 eq \r(2)综上可知，存在a＝2，b＝3或a＝2，－2 eq \r(2)

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