高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课时作业

这是一份高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课时作业，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{2}
C．{0，1} D．{1，2}
解析：选D．由题意得B＝{x|1≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}．故答案为D．
2．已知正实数x，y满足x＋2y＝2xy，则x＋y的最小值为( )
A．4 B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D． eq \r(2)＋ eq \f(3,2)
解析：选D．由x＋2y＝2xy，得 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,2y)＝1.
因为x，y为正实数，
所以x＋y＝(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,2y)))＝1＋ eq \f(x,2y)＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(1,2)≥2 eq \r(\f(x,2y)·\f(y,x))＋ eq \f(3,2)＝ eq \r(2)＋ eq \f(3,2)，
当且仅当 eq \f(y,x)＝ eq \f(x,2y)，即x＝ eq \f(2＋\r(2),2)，y＝ eq \f(\r(2)＋1,2)时等号成立，
所以x＋y的最小值为 eq \r(2)＋ eq \f(3,2).故选D．
3．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则z＝9x－y的取值范围是( )
A．{z|－7≤z≤26} B．{z|－1≤z≤20}
C．{z|4≤z≤15} D．{z|1≤z≤15}
解析：选B．令m＝x－y，n＝4x－y得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(n－m,3)，,y＝\f(n－4m,3)，))
则z＝9x－y＝ eq \f(8,3)n－ eq \f(5,3)m.因为－4≤m≤－1，所以 eq \f(5,3)≤－ eq \f(5,3)m≤ eq \f(20,3)，又因为－1≤n≤5，所以－ eq \f(8,3)≤ eq \f(8,3)n≤ eq \f(40,3).因此－1≤z≤20.
4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，则a＋b的值是( )
A．10 B．－10
C．14 D．－14
解析：选D．根据题意，一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，
则方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根为－ eq \f(1,2)和 eq \f(1,3)，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\f(1,3)＝\f(2,a)，))
解得a＝－12，b＝－2，
则a＋b＝－14.故选D．
5．若实数a，b满足ab＞0，则a2＋b2＋ eq \f(1,2ab)＋1的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B．因为ab＞0，则a2＋b2＋ eq \f(1,2ab)＋1≥2ab＋ eq \f(1,2ab)＋1≥2 eq \r(2ab·\f(1,2ab))＋1＝3，
当且仅当2ab＝ eq \f(1,2ab)且a＝b时取等号，即a＝b＝ eq \f(\r(2),2)或a＝b＝－ eq \f(\r(2),2)时等号成立，此时取得最小值3.
6．若对任意的x＞0，不等式x2－ax＋2＞0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a＜2 eq \r(2) B．－2 eq \r(2)＜a＜2 eq \r(2)
C．a＞2 eq \r(2) D．a＜－2 eq \r(2)或a＞2 eq \r(2)
解析：选A．因为x＞0时，x2－ax＋2＞0恒成立，
所以a＜x＋ eq \f(2,x)当x＞0时恒成立，
因为x＋ eq \f(2,x)≥2 eq \r(x·\f(2,x))＝2 eq \r(2)，当且仅当x＝ eq \f(2,x)，即x＝ eq \r(2)或－ eq \r(2)(舍)时等号成立，所以a＜2 eq \r(2).故选A．
7．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的成员，为了迎接凯旋的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )
A．3枝康乃馨的价格高 B．2枝玫瑰花的价格高
C．价格相同 D．不确定
解析：选B．设1枝玫瑰花和1枝康乃馨的价格分别为x，y元，由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋3y＞24，,4x＋5y＜22，))
令2x－3y＝m(6x＋3y)＋n(4x＋5y)＝(6m＋4n)x＋(3m＋5n)y，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6m＋4n＝2，,3m＋5n＝－3，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(11,9)，,n＝－\f(4,3)，))
所以2x－3y＝ eq \f(11,9)(6x＋3y)－ eq \f(4,3)(4x＋5y)＞ eq \f(11,9)×24－ eq \f(4,3)×22＝0，
因此2x＞3y.
所以2枝玫瑰花的价格高．
8．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是( )
A．如果a＞b＞0，那么a＞b
B．如果a＞b＞0，那么a2＞b2
C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D．对任意正实数a和b，有a＋b≥2 eq \r(ab)，当且仅当a＝b时等号成立
解析：选C．通过观察，可以发现题图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，如题图，整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和，即a2＋b2≥4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a·b))，即a2＋b2≥2ab，当a＝b时，中间空白的正方形消失，即整个大正方形与4个小三角形重合，其他选项通过该图无法证明．故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A．若a＞b＞0，则 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)
B．若a＞b，则ac2≥bc2
C．若a＞0＞b，则ab＜a2
D．若c＞a＞b，则 eq \f(a,c－a)＞ eq \f(b,c－b)
解析：选ABC．A：在a＞b＞0上同时除以ab得 eq \f(1,b)＞ eq \f(1,a)＞0，故A正确；
B：由a＞b及c2≥0得ac2≥bc2，故B正确；
C：由a＞0＞b知a＞b且a＞0，则a2＞ab，故C正确；
D：若c＝－1，a＝－2，b＝－3，则 eq \f(a,c－a)＝－2， eq \f(b,c－b)＝－ eq \f(3,2)，－2＜－ eq \f(3,2)，故D错误．
10．若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是( )
A． eq \f(b,a)＞ eq \f(b＋1,a＋1) B．a＋ eq \f(1,a)＞b＋ eq \f(1,b)
C．a＋ eq \f(1,b)＞b＋ eq \f(1,a) D． eq \f(2a＋b,a＋2b)＞ eq \f(a,b)
解析：选AD．因为a＞b＞0，则 eq \f(b,a)－ eq \f(b＋1,a＋1)＝ eq \f(b(a＋1)－a(b＋1),a(a＋1))＝ eq \f(b－a,a(a＋1))＜0，所以 eq \f(b,a)＞ eq \f(b＋1,a＋1)一定不成立；
a＋ eq \f(1,a)－b－ eq \f(1,b)＝(a－b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,ab)))，当ab＞1时，a＋ eq \f(1,a)－b－ eq \f(1,b)＞0，故a＋ eq \f(1,a)＞b＋ eq \f(1,b)可能成立；
a＋ eq \f(1,b)－b－ eq \f(1,a)＝(a－b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,ab)))＞0，故a＋ eq \f(1,b)＞b＋ eq \f(1,a)恒成立；
eq \f(2a＋b,a＋2b)－ eq \f(a,b)＝ eq \f(b2－a2,b(a＋2b))＜0，故 eq \f(2a＋b,a＋2b)＞ eq \f(a,b)一定不成立．
11．已知函数y＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一个零点，则( )
A．a2－b2≤4
B．a2＋ eq \f(1,b)≥4
C．若不等式x2＋ax－b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1x2＞0
D．若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x|x1＜x＜x2}，且|x1－x2|＝4，则c＝4
解析：选ABD．因为y＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一个零点，
故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b＞0.
对A：a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；
对B：a2＋ eq \f(1,b)＝4b＋ eq \f(1,b)≥2 eq \r(4b×\f(1,b))＝4，当且仅当4b＝ eq \f(1,b)，即b＝ eq \f(1,2)时等号成立，故B正确；
对C：因为不等式x2＋ax－b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，
故可得x1x2＝－b＜0，故C错误；
对D：因为不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x|x1＜x＜x2}，且|x1－x2|＝4，
则方程x2＋ax＋b－c＝0的两个实数根为x1，x2，
故可得 eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝ eq \r((－a)2－4(b－c))＝ eq \r(4c)＝2 eq \r(c)＝4，故可得c＝4，故D正确．
12．已知x＋y＝1，y>0，x≠0，则 eq \f(1,2|x|)＋ eq \f(|x|,y＋1)的值可能是( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(3,4) D． eq \f(5,4)
解析：选CD．由x＋y＝1，y>0，x≠0，得y＝1－x>0，则x<1且x≠0.
当0＝ eq \f(1,4)＋ eq \f(2－x,4x)＋ eq \f(x,2－x)≥ eq \f(1,4)＋2 eq \r(\f(2－x,4x)·\f(x,2－x))＝ eq \f(5,4).
当且仅当 eq \f(2－x,4x)＝ eq \f(x,2－x)，即x＝ eq \f(2,3)时取等号．
当x<0时， eq \f(1,2|x|)＋ eq \f(|x|,y＋1)＝ eq \f(1,－2x)＋ eq \f(－x,2－x)＝ eq \f(2－x＋x,－4x)＋ eq \f(－x,2－x)
＝－ eq \f(1,4)＋ eq \f(2－x,－4x)＋ eq \f(－x,2－x)≥－ eq \f(1,4)＋2 eq \r(\f(2－x,－4x)·\f(－x,2－x))＝ eq \f(3,4).
当且仅当 eq \f(2－x,－4x)＝ eq \f(－x,2－x)，即x＝－2时取等号．
综上， eq \f(1,2|x|)＋ eq \f(|x|,y＋1)≥ eq \f(3,4).故选CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设a＞0，b＞1，若a＋b＝2，则 eq \f(9,a)＋ eq \f(1,b－1)的最小值为________．
解析：由a＞0，b＞1且a＋b＝2得b－1＞0且a＋(b－1)＝1，
所以 eq \f(9,a)＋ eq \f(1,b－1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,a)＋\f(1,b－1)))[a＋(b－1)]＝10＋ eq \f(9(b－1),a)＋ eq \f(a,b－1)≥10＋6＝16，
当且仅当 eq \f(9(b－1),a)＝ eq \f(a,b－1)时等号成立，
又a＋b＝2，即a＝ eq \f(3,4)，b＝ eq \f(5,4)时等号成立，故所求最小值为16.
答案：16
14．不等式－3x2＋x＋2＞0的解集为________．
解析：由－3x2＋x＋2＞0得3x2－x－2＝(x－1)(3x＋2)＜0，
所以不等式－3x2＋x＋2＞0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)＜x＜1)))).
答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)＜x＜1))))
15．若 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)＜0，有下列结论：① eq \f(1,a＋b)＜ eq \f(1,ab)；②|a|＋b＞3；③a－ eq \f(1,a)＞b－ eq \f(1,b).其中正确的是________．(填序号)
解析：因为 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)＜0，所以a＜0，b＜0，所以 eq \f(1,a＋b)＜0＜ eq \f(1,ab)，所以①正确；
当a＝－1，b＝－2时，满足 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)＜0，但|a|＋b＝－1＜3，所以②错误；
因为 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)＜0，所以a＞b，－ eq \f(1,a)＞－ eq \f(1,b)，所以a－ eq \f(1,a)＞b－ eq \f(1,b)，所以③正确．
答案：①③
16．下列命题：
①若a2＋b2＝2，则a＋b的最大值为2；
②当a＞0，b＞0时， eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋2 eq \r(ab)≥4；
③y＝x＋ eq \f(4,x－1)的最小值为5；
④当且仅当a，b均为正数时， eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a)≥2恒成立．
其中是真命题的是________．(填序号)
解析：①因为a2＋b2＝2≥2ab，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤4，所以a＋b≤2，当且仅且a＝b＝1时等号成立，正确；
②当a＞0，b＞0时，
eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋2 eq \r(ab)≥2 eq \f(1,\r(ab))＋2 eq \r(ab)≥4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，正确；
③y＝x＋ eq \f(4,x－1)，
当x＝0时，y＝－4，错误．
④a，b均为负数时也成立，错误．
答案：①②
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)解下列不等式．
(1)－x2＋2x－3＜0；
(2)－3x2＋5x－2＞0.
解：(1)原不等式可化为x2－2x＋3＞0，
由于Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，方程x2－2x＋3＝0无实数根，
所以不等式－x2＋2x－3＜0的解集为R.
(2)原不等式可化为3x2－5x＋2＜0，
由于Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，方程3x2－5x＋2＝0的两个实数根为x1＝ eq \f(2,3)，x2＝1.
所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＜x＜1)))).
18．(本小题满分12分)已知－2＜x＜5，求y＝(2＋x)(5－x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．
解：因为－2＜x＜5，所以2＋x＞0，5－x＞0，
所以y＝(2＋x)(5－x)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋x＋5－x,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(49,4).
当且仅当2＋x＝5－x，即x＝ eq \f(3,2)时等号成立，即当x＝ eq \f(3,2)时，y取得最大值 eq \f(49,4).
19．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(ax－1)(x－1)＜0.
(1)当a＝2时，解上述不等式；
(2)当a＜1时，解上述关于x的不等式．
解：(1)当a＝2时，代入可得(2x－1)(x－1)＜0，解得 eq \f(1,2)＜x＜1，
所以不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜1)))).
(2)关于x的不等式(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＜1，
当a＝0时，代入不等式可得－x＋1＜0，解得x＞1；
当0＜a＜1时， eq \f(1,a)＞1，化简不等式可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，解得1＜x＜ eq \f(1,a)；
当a＜0时，化简不等式可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＞1或x＜ eq \f(1,a)；
综上可知，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}，当0＜a＜1时，不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(1＜x＜\f(1,a)))))，当a＜0时，不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＞1或x＜\f(1,a))))).
20．(本小题满分12分)某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计．问净水池的长为多少时，可使总造价最低？
解：设净水池的长为x m，则宽为 eq \f(200,x) m，其中x＞0.
总造价y＝400 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(400,x)))＋100· eq \f(200,x)＋200×60
＝800 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(225,x)))＋12 000≥800×2 eq \r(x·\f(225,x))＋12 000＝36 000，
当且仅当x＝ eq \f(225,x)，即x＝15时，y取得最小值36 000.
所以当净水池的长为15 m时，可使总造价最低．
21．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值．
(1)证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
所以a2＋3b2≥2b(a＋b).
(2)解：因为a＞0，b＞0，
所以2ab＝a＋b≥2 eq \r(ab)，即2ab≥2 eq \r(ab)，
所以 eq \r(ab)≥1，所以ab≥1.
当且仅当a＝b＝1时等号成立，此时ab取最小值1.
22．(本小题满分12分)设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实数根x1，x2.
(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；
(2)求证：x1<－1且x2<－1；
(3)如果 eq \f(1,10)≤ eq \f(x1,x2)≤10，试求a的取值范围．
(1)解：因为关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实数根x1，x2.
所以x1＋x2＝－ eq \f(1,a)，x1x2＝ eq \f(1,a)，
则(1＋x1)(1＋x2)＝1＋x1＋x2＋x1·x2＝1－ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,a)＝1.
(2)证明：由Δ≥0，得0设f(x)＝ax2＋x＋1，则f(x)的对称轴与x轴交点横坐标x＝－ eq \f(1,2a)≤－2，
又由于f(－1)＝a>0，
所以f(x)的图象与x轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，
故x1<－1且x2<－1.
(3)解：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(1,a)，,x1·x2＝\f(1,a)))⇒ eq \f((x1＋x2)2,x1·x2)＝ eq \f(x1,x2)＋ eq \f(x2,x1)＋2＝ eq \f(1,a).
因为 eq \f(1,10)≤ eq \f(x1,x2)≤10，所以4≤ eq \f(1,a)≤ eq \f(121,10)⇒ eq \f(10,121)≤a≤ eq \f(1,4).
又 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－4a≥0))⇒0所以a的取值范围为 eq \f(10,121)≤a≤ eq \f(1,4).