高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时课后练习题

[A　基础达标]

1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)

A．3 B．3－2

C．3－2  D．－1

解析：选C．y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．

2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)

A．2  B．a

C．  D．3

解析：选D．因为a＞1，所以a－1＞0，

所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.

当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．

3.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A．9  B．

C．3  D．

解析：选B．因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，

所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．

即(－6≤a≤3)的最大值为.

4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16  B．25

C．9  D．36

解析：选B．因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即(1＋x)(1＋y)的最大值为25.

5．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)

A．0  B．

C．1  D．

解析：选A．因为x＞0，所以x＋＞0，

所以y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，

当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以函数y的最小值为0.

6．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．

解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，

所以xy＝(2x·3y)≤·＝×＝.

当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.

答案：

7．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．

解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，

所以2m＋n＝1，

所以＋＝＋＝4＋≥8.

当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．

答案：8

8．当x＞0时，若2x＋(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．

解析：因为x＞0且a>0，所以2x＋≥2＝2，

当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．

所以＝3，

解得a＝18.

答案：18

9．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；

(2)若x≥1，求y＝x＋＋的最小值．

解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋≥2＝2，当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立．于是－≤－2，－＋7≤7－2，故y的最大值是7－2.

(2)方法一：y＝x＋＋＝x＋＋，令u＝x＋(x≥1)，则u≥2，y＝u＋≥8，当且仅当u＝，即u＝4，x＝2＋时等号成立．

方法二：y＝x＋＋＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝2＋时等号成立．

10．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．

(1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数解析式；

(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？

解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x.

当x＝20时，y＝7 800，

解得k＝0.04.

所以y＝×300＋0.04×3 000x＝×300＋120x(x∈N*).

(2)由(1)，得y＝×300＋120x≥2＝2×3 600＝7 200.

当且仅当＝120x，即x＝30时等号成立．

所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台．

[B　能力提升]

11．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为(　　)

A．1  B．

C．  D．

解析：选C．因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．故选C．

12．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)

A．10  B．9

C．8  D．7

解析：选B．因为a＞0，b＞0，所以＋≥⇔＋＝5＋＋≥m.由a＞0，b＞0得，＋≥2＝4，当且仅当a＝b时等号成立．所以5＋＋≥9，

所以m≤9.故选B．

13．如图，在半径为4 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________cm2.

解析：如图所示，连接OC，设OB＝x(0<x<4)，则BC＝＝，AB＝2OB＝2x.　

所以矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝2时等号成立．

答案：16

14．已知a，b为正实数且＋＝2.

(1)求a2＋b2的最小值；

(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．

解：(1)因为a，b为正实数且＋＝2，所以＋＝2≥2，

即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立).

因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，

所以a2＋b2的最小值为1.

(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.

[C　拓展探究]

15．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18.若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

解：因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18.

由得或

故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．