数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时随堂练习题

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1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,3)))))B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))))
C．∅ D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)))))
解析：选D．原不等式可化为(3x＋1)2≤0，所以3x＋1＝0，所以x＝－ eq \f(1,3).故选D．
2．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2 eq \r(5)x＋ eq \r(5)＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.其中解集为R的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选C．①显然不可能；②中Δ＝(－2 eq \r(5))2－4× eq \r(5)＞0，解集不为R；
③中Δ＝62－4×10＜0，满足条件；
④中不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．
故选C．
3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}
解析：选A．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|－1＜x＜2}
解析：选B．因为x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以(x＋2)(x－1)＜0，所以－2＜x＜1.故选B．
5．若0＜t＜1，则关于x的不等式(t－x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,t)))＞0的解集是( )
A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＜x＜t)))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＞\f(1,t)或x＜t))))
C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,t)或x＞t)))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(t＜x＜\f(1,t)))))
解析：选D．因为0＜t＜1，所以 eq \f(1,t)＞1，所以 eq \f(1,t)＞t，所以(t－x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,t)))＞0，即(x－t) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,t)))＜0，解得t＜x＜ eq \f(1,t).
6．不等式－x2＋5x＞6的解集是______________．
解析：不等式－x2＋5x＞6变形为x2－5x＋6＜0，因式分解为(x－2)(x－3)＜0，解得2＜x＜3.所以不等式－x2＋5x＞6的解集为{x|2＜x＜3}．
答案：{x|2＜x＜3}
7．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7解析：因为不等式ax2＋8ax＋21<0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－7所以方程ax2＋8ax＋21＝0的两个实数根为－7和－1，
所以(－7)×(－1)＝ eq \f(21,a)，所以a＝3.
答案：3
8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1解析：因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1＜x＜m}．
所以a>0且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个实数根．
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋m＝\f(6,a)，,m＝a，))即1＋m＝ eq \f(6,m).
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
答案：2
9．解下列不等式．
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3>0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
所以(2x＋1)(x－2)<0，故原不等式的解集是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0.
所以(2x＋1)(x－1)≥0，故原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)或x≥1)))).
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R.
10．已知函数y＝x2－2x＋a，若y＜0的解集为{x|－1＜x＜t}．
(1)求a，t的值；
(2)c为何值时，(c＋a)x2＋2(c＋a)x－1＜0的解集为R.
解：(1)由题意，知x2－2x＋a＜0的解集为{x|－1＜x＜t}．
所以－1＋t＝2，－1×t＝a，解得t＝3，a＝－3.
(2)由(1)可知a＝－3，代入得(c－3)x2＋2(c－3)x－1＜0，因为其解集为R，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c－3＜0，,Δ＜0))或c＝3，解得2＜c≤3.
故c的取值范围为{c|2＜c≤3}．
[B 能力提升]
11．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜2))))，则下列结论正确的是( )
A．b＞0 B．c＞0
C．a＋b＋c＞0 D．a－b＋c＞0
解析：选ABC．因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜2))))，故对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0.易知2和－ eq \f(1,2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，则有 eq \f(c,a)＝－1＜0，－ eq \f(b,a)＝ eq \f(3,2)＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故A，B正确；由二次函数的图象可知当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故C正确，D错误．故选ABC．
12．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是( )
A．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是{x|x＞3}
B．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是R
C．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是∅
D．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是{x|－1＜x＜3}
解析：选BD．在A中，依题意得a＝0且3b＋3＝0，解得b＝－1，此时不等式为－x＋3＞0，解得x＜3，故A错误；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2＞0，解集为R，故B正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3＞0，知其解集不为∅，故C错误；在D中，依题意得a＜0且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋3＝－\f(b,a)，,－1×3＝\f(3,a)，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，))符合题意，故D正确．
13．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：因为不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
所以Δ＝(－a)2－8a<0，解得0答案：014．解关于x的不等式x2＋3ax－4a2<0(a∈R).
解：由于x2＋3ax－4a2<0可化为(x－a)(x＋4a)<0，且方程(x－a)(x＋4a)＝0的两个实数根分别是a和－4a.
当a＝－4a，即a＝0时，不等式的解集为∅；
当a>－4a，即a>0时，解得－4a当a<－4a，即a<0时，解得a综上所述，当a＝0时，不等式的解集为∅；当a>0时，不等式的解集为{x|－4a[C 拓展探究]
15．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的整数解恰有3个，求a的取值范围．
解：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0.
①当－1＜a≤1时，结合不等式解集的形式知不符合题意；
②当a＞1时，解原不等式可得 eq \f(b,1－a)＜x＜ eq \f(b,a＋1)，由题意知0＜ eq \f(b,a＋1)＜1，所以要使原不等式的整数解恰有3个，则需－3≤ eq \f(b,1－a)＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上，a的取值范围是1＜a＜3.