高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）一课一练，共9页。

1.(2021·北京市丰台区联考)某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
(注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量＝ eq \f(累计耗电量,累计里程)，剩余续航里程＝ eq \f(剩余电量,平均耗电量))
下面对该车在两次记录时间段内行驶100 km的耗电量估计正确的是( )
A．等于12.5 B．12.5到12.6之间
C．等于12.6 D．大于12.6
解析：选D．4 100×0.126－4 000×0.125＝516.6－500＝16.6.故选D．
2.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg eq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A． eq \f(7,6)倍 B．10倍
C．10 eq \s\up6(\f(7,6))倍 D．ln eq \f(7,6)倍
解析：选B．依题意可知，η1＝10·lg eq \f(I1,I0)，η2＝10·lg eq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lg eq \f(I1,I0)－10·lg eq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以 eq \f(I1,I2)＝10.故选B．
3.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A． eq \f(\r(3),2) cm2 B．4 cm2
C．3 eq \r(2) cm2 D．2 eq \r(3) cm2
解析：选D．设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知0＜x＜12.则S＝ eq \f(\r(3),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(\r(3),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(x,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(\r(3),18)(x－6)2＋2 eq \r(3)，当x＝6时，Smin＝2 eq \r(3).
4.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10 m3，按每立方米m元收费；月用水量超过10 m3，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月交水费16m元，则该户这个月的实际用水量为( )
A．13 m3 B．14 m3
C．18 m3 D．26 m3
解析：选A．由已知得，该户每月交费y元与实际用水量x m3满足的关系式为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，得x>10，所以2mx－10m＝16m.解得x＝13.故选A．
5.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )
A．215份 B．350份
C．400份 D．520份
解析：选C．设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表．
y＝[(60x＋7 500)＋(8x－2 000)]－60x＝8x＋5 500(250≤x≤400，x∈N).
因为y＝8x＋5 500在[250，400]上是增函数，
所以当x＝400时，y取得最大值，最大值为8 700.
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元．故选C．
6.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N.))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为_________．
解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故该公司拟录用25人．
答案：25
7.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表．
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为_________．
解析：设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m＝ eq \f(19.55＋20.05＋20.45＋19.95,4)＝20时，y取最小值．
答案：20
8.如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P经过的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则y关于x的函数关系式是_________．
解析：①当0≤x≤1时，AP＝x，所以y＝x.
②当1所以y＝AP＝ eq \r(1＋(x－1)2)＝ eq \r(x2－2x＋2).
③当2根据勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，
所以y＝AP＝ eq \r(1＋(3－x)2)＝ eq \r(x2－6x＋10).
④当3所以所求的函数关系式为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，0≤x≤1，,\r(x2－2x＋2)，1答案：y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，0≤x≤1，,\r(x2－2x＋2)，19.某人定制了一批地砖，每块地砖(如图所示)是边长为1 m的正方形ABCD，点E，F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE，△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成．制成△CFE，△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元．问：点E在什么位置时，每块地砖所需的材料费用最省？
解：设CE＝x m，则BE＝(1－x) m，每块地砖所需的材料费用为W元，则W＝ eq \f(1,2)x2×30＋ eq \f(1,2)×1×(1－x)×20＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)x2－\f(1,2)×1×(1－x)))×10＝10x2－5x＋15＝10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(115,8).
当x＝ eq \f(1,4)＝0.25时，W有最小值，即费用最省．
故当点E与点C相距0.25 m时，每块地砖所需的材料费用最省．
10.某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资的函数模型为y＝k1x，B产品的利润与投资的函数模型为y＝k2xα(利润和投资的单位为百万元)，其关系分别如图①，图②所示．
(1)分别求出A，B两种产品的利润与投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到资金1千万元，并准备全部投入到A，B两种产品的生产中，问怎样分配这1千万元，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少？(精确到万元)
解：(1)A：y＝k1x过点(1，0.5)，所以k1＝ eq \f(1,2).
B：y＝k2xα过点(4，2.5)，(9，3.75)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2·4α＝2.5，,k2·9α＝3.75.))所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝\f(5,4)，,α＝\f(1,2)．))
所以A：y＝ eq \f(1,2)x(x≥0)，B：y＝ eq \f(5,4) eq \r(x)(x≥0).
(2)设投资B产品x(百万元)，
则投资A产品(10－x)(百万元)，
总利润y＝ eq \f(1,2)(10－x)＋ eq \f(5,4) eq \r(x)＝－ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(5,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(185,32)(0≤x≤10).
所以当 eq \r(x)＝1.25，x＝1.562 5≈1.56时，ymax≈5.78.
故投资A产品844万元，投资B产品156万元时，总利润最大，最大值约为578万元．
[B 能力提升]
11.(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有( )
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
解析：选BC．根据题意和题图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由题图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．
12.某电脑公司在2020年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2022年经营总收入要达到1 690万元且计划从2020年到2022年，每年经营总收入的年增长率相同，则2021年预计经营总收入为________万元．
解析：设年增长率为x(x>0)，则 eq \f(400,40%)×(1＋x)2＝1 690，所以1＋x＝ eq \f(13,10)，因此2021年预计经营总收入为 eq \f(400,40%)× eq \f(13,10)＝1 300(万元).
答案：1 300
13.(2021·重庆市七校联考)某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：分)之间的关系满足如图所示的图象，当x∈[0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，图象过点B(12，78)；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C(40，50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为_________．(写成区间形式)
解析：当x∈[0，12]时，设f1(x)＝a(x－10)2＋80，将(12，78)代入得，a＝－ eq \f(1,2)，则f1(x)＝－ eq \f(1,2)(x－10)2＋80.
当x∈[12，40]时，设f2(x)＝kx＋b，将(12，78)，(40，50)代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝90，))则f2(x)＝－x＋90.
故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤12，,－\f(1,2)(x－10)2＋80>62))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1262，))
解得4答案：(4，28)
14.美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)之间的函数关系式为y＝kxa(x＞0)，其图象如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)之间的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
解：(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝ eq \f(x,4)(x＞0).将(1，1)，(4，2)代入y＝kxa，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,k·4a＝2，))所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,a＝\f(1,2)，))
所以生产B芯片的毛收入y＝ eq \r(x)(x＞0).
(2)由 eq \f(x,4)＞ eq \r(x)，得x＞16；由 eq \f(x,4)＝ eq \r(x)，得x＝16；
由 eq \f(x,4)＜ eq \r(x)，得0＜x＜16.
所以当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大．
(3)由题知投入x千万元生产B芯片，
则投入(40－x)千万元资金生产A芯片．
公司所获净利润f(x)＝ eq \f(40－x,4)＋ eq \r(x)－2＝－ eq \f(1,4)( eq \r(x)－2)2＋9，
故当 eq \r(x)＝2，即x＝4千万元时，
公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元．
[C 拓展探究]
15.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(mg)的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L－1)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,16)＋2，04.))当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg·L－1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg·L－1且不高于10 mg·L－1时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂质量为4 mg，问自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
解：(1)由题意，得当药剂质量m＝4时，y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋8，0当0当x>4时，由 eq \f(2x＋28,x－1)≥4，得2x＋28≥4(x－1)，得4综上，0所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
(2)由题意，知04.))
当0则2m当x>4时，y＝ eq \f(mx＋14m,2x－2)＝ eq \f(m,2)＋ eq \f(15m,2x－2)，其在区间(4，7]上单调递减，则 eq \f(7m,4)≤y<3m.
综上， eq \f(7m,4)≤y≤3m.
为使4≤y≤10恒成立，只要满足 eq \f(7m,4)≥4且3m≤10，
即 eq \f(16,7)≤m≤ eq \f(10,3)，
所以应该投放的药剂质量m的最小值为 eq \f(16,7).记录时间
累计里程/km
平均耗电量/(kW·h/km)
剩余续航里程/km
2021年1月1日
4 000
0.125
280
2021年1月2日
4 100
0.126
146
数量/份
单价/元
金额/元
买进
30x
2
60x
卖出
20x＋10×250
3
60x＋7 500
退回
10(x－250)
0.8
8x－2 000
季度
1
2
3
4
每千克售价(单位：元)
19.55
20.05
20.45
19.95