人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时达标测试

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1．(多选)对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法正确的是( )
A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
解析：选ABD．根据函数的定义可知，A，B，D正确；C错误．
2．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是( )
A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|
B．M＝N，N＝N*，f：x→|x－1|
C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2
D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→ eq \r(x)
解析：选C．对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数．
3．已知函数f(x)＝ eq \f(x2,1＋|x－1|)，则f(－2)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C．由题意知f(－2)＝ eq \f((－2)2,1＋|－2－1|)＝ eq \f(4,4)＝1.故选C．
4．函数y＝ eq \r(2－\f(x＋3,x2＋1))的定义域是( )
A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(1,2)))，或x＞1) )
B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)))，或x≥1) )
C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜1))，或x＞2) )
D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)，或x＞1))) )
解析：选B．由题意，可得2－ eq \f(x＋3,x2＋1)≥0，即 eq \f(2x2－x－1,x2＋1)≥0，即2x2－x－1≥0，解得x≤－ eq \f(1,2)或x≥1.故选B．
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：选A．因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1.故选A．
6．已知函数f(x)＝x2－mx＋n且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________．
解析：由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m＋n＝－1，,n2－mn＋n＝m，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝－1.))
所以f(x)＝x2－x－1，
故f(－1)＝1，f(f(－1))＝f(1)＝－1，
f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
答案：－1 x4－2x3－2x2＋3x＋1
7．已知函数f(x)＝ eq \f(\r(x),x－1)，g(x)＝f(x－3)，则g(x)＝________，函数g(x)的定义域是________．
解析：g(x)＝f(x－3)＝ eq \f(\r(x－3),x－4)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3≥0，,x－4≠0，))得x≥3，且x≠4.
答案： eq \f(\r(x－3),x－4) {x|x≥3，且x≠4}
8．若函数f(x)＝ eq \f(x－4,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：f(x)的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0对任意的x∈R恒成立．①当m＝0时，3≠0，满足题意；②当m≠0时，只需Δ＝16m2－12m＜0即可，所以0＜m＜ eq \f(3,4).综上所述，实数m的取值范围是0≤m＜ eq \f(3,4).
答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0≤m＜\f(3,4)))))
9．已知函数f(x)＝ eq \f(6,x－1)－ eq \r(x＋5).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解：(1)根据题意知x－1≠0，且x＋5≥0，所以x≥－5，且x≠1，即函数f(x)的定义域为{x|x≥－5，且x≠1}．
(2)f(－1)＝－5，f(12)＝ eq \f(6,11)－ eq \r(17).
10．一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h＝130t－5t2①.求：
(1)①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述函数．
(2)t为何值时，h达到845 m?
解：(1)定义域为{t|0≤t≤26}，值域为{h|0≤h≤845}，对于数集{t|0≤t≤26}中的任意一个数t，在数集{h|0≤h≤845}中都有唯一确定的数h＝130t－5t2与之对应．
(2)当t＝－ eq \f(130,2×(－5))＝13 s时，h＝845 m．
[B 能力提升]
11．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(72)＝( )
A．p＋qB．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
解析：选B．因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(4)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
12．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：选ABD．在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x).
13．若函数f(x)的定义域为{x|－2≤x≤1}，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
解析：由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2≤x≤1，,－2≤－x≤1，))即－1≤x≤1.
故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}．
答案：{x|－1≤x≤1}
14．2020年11月2日8时至次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度走势如图所示．
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2)根据图象，求这一天12时所对应的温度．
解：(1)设从2020年11月2日8时起24小时内，经过时间t的温度为y ℃，则定义域为{t|0≤t≤24}，值域为{y|2≤y≤12}．
(2)由图知，12时的温度约为9.3 ℃.
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝ eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？并证明你的发现；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))的值．
解：(1)因为f(x)＝ eq \f(x2,1＋x2)，
所以f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(22,1＋22)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝ eq \f(32,1＋32)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝1.
(2)由(1)可发现f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.证明如下：
f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝ eq \f(x2,1＋x2)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2))
＝ eq \f(x2,1＋x2)＋ eq \f(1,x2＋1)＝ eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，
…
f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 019)))＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝2 020.