数学九年级上册1.2 二次函数的图象同步测试题

1.2二次函数的图像同步练习浙教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是

A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位
B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位
C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位
D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位

2. 已知二次函数，当k取不同的实数值时，函数图象的顶点总在   

A. 直线上 B. x轴上 C. 直线上 D. y轴上

3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可能为   

A.  B.
C.  D.

4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是

A.  B.
C.  D.

5. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A、C两点的横坐标分别为和1，下列说法错误的是

A.
B.
C.
D. 当时，y随x的增大而减小
 

7. 下列抛物线中，与y轴交点坐标为的是

A.  B.
C.  D.

8. 已知二次函数图象与x轴没有交点，则

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于、两点．则以下结论：；二次函数的图象的对称轴为；；其中正确的有个．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10. 将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数b的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 将抛物线向右平移3个单位，能得到的抛物线是

A.  B.  C.  D.

12. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 定义运算“”，如：若函数的图象过点，现将该函数图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为          ．
14. 二次函数的图象如图所示，下列结论：；；一元二次方程有两个不相等的实数根；当或时，上述结论中正确的是______填上所有正确结论的序号
     

15. 在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域不含边界为当时，区域W内的整点个数为______，若区域W内恰有7个整点，则a的取值范围是______．
16. 抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列判断中：；；；若点，均在抛物线上，则；其中正确的序号有______．
    
    
     

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

17. 已知二次函数是常数．
    求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
    如果把该函数图象沿y轴向下平移5个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，求m的值？
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知二次函数．
     

  在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的大致图象；

  根据图象，写出当时，x的取值范围；

  若直线与抛物线位于x轴及x轴上方的部分恰有两个交点，求b的取值范围．






 

19. 怎样平移函数的图象，可以得到函数的图象？
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

20. 如图，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点点A在点B的左
    侧，与y轴交于C点．
    求A，B两点的坐标；
    若为二次函数图象上一点，求m的值．
    
    
     

21. 已知二次函数是常数．
    求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上．
    若该函数图象与函数的图象有两个交点，则b的取值范围为
    A.；；；．
    该函数图象与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：A、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意．
D、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
故选：C．
求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：由已知得，二次函数的图象的顶点坐标为，结合各选项知，该函数图象的顶点总在直线上．
故选C．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：
A.函数中，，，函数中，，，A错误
B.函数中，，，函数中，，，B正确
C.函数中，，，函数中，，，C错误
D.函数中，，，函数中，，，D错误．
故选B．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
把点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，
所以平移后的抛物线的解析式为．
故选：A．
先确定抛物线的顶点坐标为，再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
本题考查了函数图象与几何变换：抛物线的平移转化为顶点的平移．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即．
故选：C．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：抛物线开口向下，因此，
对称轴为，即，也就是，，
抛物线与y轴交于正半轴，于是，
，因此选项A不符合题意；
由、对称轴为，可得抛物线与x轴的另一个交点，
，，，因此选项B符合题意；
当时，，因此选项C不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，因此选项D不符合题意；
故选：B．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系综合进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的位置与系数a、b、c之间的关系是正确解答的关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：A、当时，；
B、当时，；
C、当时，；
D、当时，；
故选：D．
把分别代入四个选项的解析式即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：二次函数图象与x轴没有交点，
，即，
，
，
抛物线开口向下，与x轴没有交点，
，
，
当时，，
即
解得
故选：C．
根据二次函数图象与x轴没有交点可得判别式小于0，列出不等式求解即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0的结论的熟练应用．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：对于：二次函数开口向下，故，与y轴的交点在y的正半轴，故，故，因此错误；
对于：二次函数的图象与x轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：，因此错误；
对于：设二次函数的交点式为，比较一般式与交点式的系数可知：，，故，因此正确；
对于：当时对应的，观察图象可知时对应的函数图象的y值在x轴上方，故，因此正确．
只有是正确的．
故选：C．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系综合判断即可．
本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：，
则，
，
，
，
，
故选：D．
先根据平移原则：上加，下减，左加，右减写出解析式，再列方程组，有公共点则，则可求出b的取值．
主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组一元二次方程的问题解决．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移3个单位，
能得到的抛物线是．
故选：D．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：B．  

13.【答案】
 

【解析】解：由题意知，，将代入，得，，
设平移后所得抛物线的表达式为，把代入，得，
解得舍去或，
所以平移后所得抛物线的表达式是．
故答案为：．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图象中获取信息进行准确的分析是解题的关键．
由图可知，对称轴，与x轴的一个交点为，则有，与x轴另一个交点；
由，得；
当时，，则有；
一元二次方程可以看作函数与的交点，由图象可知函数与有两个不同的交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；
由图象可知，时，或．
【解答】
解：由图可知，对称轴，与x轴的一个交点为，
，与x轴另一个交点，
，
；
错误；
当时，，
；
正确；
一元二次方程可以看作函数与的交点，
由图象可知函数与有两个不同的交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根；
正确；
由图象可知，时，或，
正确；
故答案为．  

15.【答案】1 
 

【解析】解：当时，函数，函数与坐标轴的交点坐标分别为，，，
             函数的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中，整数点有，，在边界上，不符合题意，点在W区域内．
             所以此时在区域W内的整数点有1个．
       由发现，当是顶点时，在W区域内只有1个整数点，边界上有3个整数点；
              当时，在W区域内有4个整数点，，，，边界上有3个整数点，，；
              当时，在W区域内有7个整数点，，，，，，；
             所以区域W内恰有7个整点，．
故本题答案是1；．
当时，判断函数与x轴交点坐标，找到可能在W区域内的整数点，然后结合函数解析式判断点是否在W区域内；通过能够得到在区域内整数点和在边界上的整数点，当时，会将的区域内和边界的整数点都包含在内，同时产生新的边界点，依此类推，可得到时符合条件的整数点7个，从而判断a的范围．
本题考查函数图象上点的特征；二次函数与x轴交点的求法；坐标平面内的点与函数图象的关系．本题的解题关键，当横坐标确定时，纵坐标在函数图象下时符合怎样的条件．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，故错误．
抛物线与x轴有两个交点，
，故正确．
抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是，
抛物线与x轴的另一个交点是，
，故正确．
点在抛物线上，对称轴为，
也在抛物线上，
，且，都在对称轴的左侧，
，故错误．
抛物线对称轴为，且经过，
，，
，，
，
正确．
故正确的判断是．
故答案为．
根据二次函数的图像可知：，，，据此判断即可；
根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；
由图象可知抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为，进而确定另一个交点，然后判断即可；
结合二次函数对称轴确定其增减性判断即可；
根据对称轴为可得，进而可得，，．
本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

17.【答案】证明：
，
不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
解：，
抛物线的顶点坐标为，
把该函数图象沿y轴向下平移5个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，
，解得，，
即m的值为．
 

【解析】证明即可；
先把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为，由于平移后函数图象与x轴只有一个公共点，即顶点在x轴上，所以，然后解关于m的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
 

18.【答案】解：二次函数的顶点坐标为：，，
当时，，
当时，或，
图象如图：


据图可知：当时，，或；
 

考虑两种临界情况：

此时直线过点，

列方程：，
即，
 

当时，，
解得，

综上：．

【解析】根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象；
根据图象即可得出答案；
考虑两种临界情况，分别求解即可得答案．
本题主要考查了根据解析式画函数图象、二次函数图象特点、二次函数与一次函数的综合．
 

19.【答案】解：．
所以将函数的图象向左平移4个单位，再向上平移9个单位即可得到函数的图象．
 

【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

20.【答案】解：当时，，解得，，
，；
把代入得，解得，，
的值为0或1．
 

【解析】解方程可得A，B两点的坐标；
把代入得，然后解关于m的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
 

21.【答案】证明：
，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上；
，
整理得，
根据题意得，
解得，
故选C；

，
当，即，抛物线与坐标轴有3个交点，此时m的范围为且；当抛物线与坐标轴有2个交点；
当，即，抛物线与坐标有2个交点，此时；
当，即，抛物线与坐标轴有1个交点，此时m的范围为．
 

【解析】利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，然后根据一次函数图象上点的坐标进行证明；
根据题意关于x的方程有两个不相等的实数解，则，然后解不等式即可；
先计算判别式，当，即，抛物线与x轴有2个交点，而抛物线与y轴的交点过原点时，分抛物线与坐标轴有3个交点和2个交点讨论；当，即，抛物线与坐标有2个交点；当，即，抛物线与坐标轴有1个交点，然后分别解方程或不等式得到对应的m的值或范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．