高中数学本节综合同步练习题

3.4对数同步练习北师大版高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若，则

A.  B.  C. 9 D. 8

2. 方程的解为  

A.   B.  C.  D. 9

A.  B.  C.  D.

4. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是       

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，，则

A.  B.  C. 3 D. 4

6. 已知函数则   

A. 4 B.  C.  D.

7. 已知函数则的值为 

A. 3 B. 6 C. 12 D. 24

8. 设是定义在R上的奇函数，且在区间上单调递增，则       

A.  B.
C.  D.

9. 设函数则

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

10. 设，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

11. 一种放射性元素，每年的衰减率是，那么a千克的这种物质的半衰期剩余量为原来的一半所需的时间等于年．

A.  B.
C.  D. 以上选项都不对

12. 已知函数，则的值为  

A. 11 B. 29 C. 36 D. 54

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.            ．
14. 已知函数，若实数a，b满足，则等于______ ．
15. 计算________．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 若，则          ，          用a、b表示．
17. 若，，则          ；          
18. 请先阅读下面的材料：对于等式且，如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于即的函数，记为y，那么是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于即的函数，记为y，那么是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于即的函数，记为y，那么是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果c为常数自然对数的底，将a视为自变量x，则b为x的函数，记为y，那么          ，若将y表示为x的函数，则          ，且

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

19. 计算：
    
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 计算下列各式的值：

21. 计算：；
    
    计算：
    
    
    
    
    
    
     
22. 求值；

设，求的值．






 

23. 已知函数是偶函数．

求实数k的值

若函数，的最大值为0，求实数m的值．






 

24. 若，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查对数与对数的运算，考查换底公式，属于中档题．
根据题意可得，，然后可得，进而即可求得结果．

【解答】

解：，，
由，
得，
即，
则．
故选C．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查指数式与对数式的互化，属于基础题．
根据指数式与对数式的互化，即可得到答案．

【解答】

解：由，得，解得．
故选A．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查指数与对数的运算，考查简单的运算能力，属于基础题．
根据指数与对数的运算法则直接计算求解即可．

【解答】

解：原式
 

．
故选B．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．
根据题意，对取对数可得 ，即可得，分析选项即可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于，
有 ，
则，
分析选项：B中与其最接近，
故选：B．  

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
函数，然后为奇函数，则利用奇函数定义可求解．
【解答】
解：函数，
则为奇函数，

则，
故选C．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数求值及指对数运算问题，属于基础题．
利用函数解析式进行求解即可．

【解答】

解：因为，
所以．
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了分段函数求值问题，属于基础题．
由函数解析式可得，，计算即可．
【解答】
解：因为函数
所以
．
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性，比较对数的大小，属于基础题．先由指数的相关运算求出，再结合函数的奇偶性、单调性即可求解．
【解答】
解：因为，，，
所以．
因为奇函数在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以．
故选C．  

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数与指数和对数运算，属于基础题．
将不同的自变量代入不同的表达式进行计算．

【解答】

解：函数
即有，
，
则有．
故选C．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了指数与指数幂的运算、对数与对数运算．
只需按照指数对数运算法则整理，比较a，b，c与1，0的关系即可．
【解答】
解：，
，
，
．
故选B．  

11.【答案】B
 

【解析】解：一种放射性元素，每年的衰减率是，
则，
解得．
千克的这种物质的半衰期剩余量为原来的一半所需的时间等于．
故选：B．
一种放射性元素，每年的衰减率是，则，由此能求出a千克的这种物质的半衰期剩余量为原来的一半所需的时间．
本题考查物质的半衰期的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查分段函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题．
推导出，由此能求出结果．
【解答】
解：函数，

．
故选D．  

13.【答案】101
 

【解析】

【分析】

本题考查了指数与指数幂的运算，对数与对数运算，熟练应用公式是解题的关键，属于基础题．
由指数与指数幂的运算，对数与对数运算化简求值即可．

【解答】

解： 



．
故答案为101．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查代数式求和，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性和单调性的合理运用．
推导出为奇函数，且单调递增，从而由实数a，b满足，得，由此能求出结果．
【解答】
解：函数，
函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
为奇函数，
易知函数单调递增，
实数a，b满足，
，，
．
故答案为：．  

15.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题考查了对数与对数运算，换底公式的应用，属于基础题．
利用换底公式与对数运算性质，即可求值．
【解答】
解：



．
故答案为4．  

16.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查了对数的定义和对数的运算性质，属于中档题．
根据对数的定义和对数的运算性质计算即可．

【解答】

解：，
，，
，，
，
，
故答案为：1；．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数恒等式以及对数的运算性质，属于中档题．
由知；由知，再利用指、对数的运算性质即可解答．

【解答】

解：，

．
，
，

．
故答案为；1．

18.【答案】

注：亦可

【解析】

【分析】
本题考查函数的新定义，考查指数对数互换，考查应用能力，属于中档题．
直接由定义可知，再结合指数对数互换即可得知．
【解答】
解：由题意可知：，
则．
故答案为．  

19.【答案】解：原式
．
原式．
 

【解析】利用指数的运算法则即可得出．
利用对数的运算法则即可得出．
本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：           

；



．
 

【解析】本题考查指数与对数的运算，属于中档题．
利用指数幂的运算法则化简求解即可．
利用对数运算法则化简求解即可．
 

21.【答案】解：原式
．
原式
．
 

【解析】本题考查指数幂与对数的运算法则，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
利用指数幂的运算性质即可得出．
利用对数的运算性质即可得出．
 

22.【答案】解：


解：，
，
，
 



 

【解析】本题考查了指对数的运算，属于基础题，由指对数的运算法则计算即可．
本题考查了指数与对数的互化，对数的换底公式及运算，属于基础题．
首先求得x，y，再由换底公式求得，再利用对数的运算法则求值即可．
 

23.【答案】解：由题意，函数的定义域为R，
函数是偶函数．
对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
，
，
；
由题意，的最大值为0，
令，则，，
当，即时，，解得，
当，即时，，解得舍去，
综上所述：实数m的值为5．
 

【解析】本题考查了对数的基本运算和二次函数最值的讨论求解参数问题，属于中档题．
根据函数是偶函数，即，利用对数的运算即可得k的值；
化简可得，，运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求最大值，再由最大值为0解实数m的值．
 

24.【答案】解：由已知得，
则，
即，
也即．
因为，，所以，
于是有，即．
 

【解析】本题考查了对数的运算，属于基础题．
根据对数的运算法则和对数方程进行解答．