甘肃省嘉陵关市第一中学2021届高三下学期七模考试数学（理）试题+Word版含答案

理科数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集为，集合，则等于(   )

A. B. C. D.

2.已知（其中为虚数单位），则复数　　

A． B． C．1 D．2

3.已知，则(   )

A. B.  C. D.

4.为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为(   )

A. B. C. D.

5.程大位《算法统宗》里有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意思为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，之后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止，分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.则第八个孩子分得棉花的斤数为(   )

A.65 B.176 C.183 D.184

6.已知圆，若圆上存在弦，满足，且的中点在直线上，则实数的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为 ，则 的值为（   ）

A.8        B.6 C.4        D.2

8.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(     )

A.  B.
C.  D.

9．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为        
A.      B.     

 C.      D.

10.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为(   )

A. B.  C. D.

11.已知，若，则(   )

A.  B. 

C.  D.

12.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次数，最终回到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第n次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量.若，则_________________.

14. 展开式的二项式系数和等于64．则展开式中的系数等于　　．

15.在中，角 所对的边分别是 ．已知 ，，则 的值为_______．

16.在矩形中，，将沿直线翻折，形成三棱锥.
①当时，三棱锥的体积为；
②当平面平面时，；
③三棱锥外接球的表面积为定值.
以上命题正确的是_________.（填上所有正确命题的序号）

三、解答题：共70分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17. （12分） 已知数列中，，其前n项和满足，其中，.

(1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式.

(2)设，为数列的前n项和，求的最小值.

18. （12分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，.

（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

（2）求y关于x的线性回归方程；

（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：

根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算?

参考公式：相关系数，

对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.

19．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．，是棱上的动点（除端点外），，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的最大角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20. （12分）如图，已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.

（1）求椭圆C的方程.

（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

21．(12 分)已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）用表示中较大者，记函数，若

函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）试写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C与x轴正半轴交于点M，若的面积是1，求.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为m，若，且，求的最小值.

数学答案

DCCDD DABDB CD

13.  14.240  15. 16.答案：①③

解析：对于①，当时，满足所以由于所以平面ACD，所以故①正确.
对于②，过点A作垂足为E，因为平面平面BCD，平面平面所以平面BCD，则假设因为所以平面ABD，则与已知矛盾，所以假设错误，即CD与AB不垂直，故②错误；
对于③，由于和为直角三角形，所以BD的中点O到A，B，C，D的距离相等，即点O是三棱锥外接球的球心，故三棱锥外接球的表面积为定值，故③正确.故正确的命题为①③.

三、解答题

17.答案：1.由可得 

即

又

∴数列是首项，公差为1的等差数列

∴通项公式

综上所述，结论为：数列是等差数列，通项公式.

2.由题1知：

数列的前n项和为

则

两式相减可得

由可得

即

设

则

在上单调递减

，

∴当时，当时

的取值范围为且

综上所述，结论为：n的取值范围为且.

18.答案：（1）由题意知相关系数，

因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.

（2），

，

所以.

（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为：

（万元）.

购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：

（万元）.

因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.

19．（1）证明：取中点，连接、，

因为为中点，所以，

又因为，为中点，所以，

，、平面，

，、平面，

所以平面平面，

又因为平面，所以平面．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，，，，

则，0，，，0，，，2，，

，2，，，，，

平面的法向量为，0，，

直线与平面所成的正弦值为，

当时，取最大值，

解得，，3，，

设平面的法向量为，，，

，令，，，，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20.答案： (1)由已知得
的面积为①.
由化简得②.
联立①②两式，解得或（舍去），，
椭圆C的方程为
(2)设直线PQ的方程为
则直线BP的方程为令得点M的横坐标
直线BQ的方程为令得点N的横坐标.
把直线方程代入椭圆方程得
由得.
由根与系数的关系，得
.
故点M，N的横坐标的乘积为定值.

22.答案：（1）由得，
所以直线l的普通方程为.
由，得，将代入得，
所以曲线C的直角坐标方程为.

（2）因为的面积是1，的面积是的面积的一半，
所以的面积是，
因此，解得，
则.
在中，由余弦定理，得，
解得或.

23.答案：(1)或或
解得或或，
所以即不等式的解集为.
(2)，
当且仅当时取等号，所以
故
由柯西不等式
整理得，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.