北师大版必修16指数函数、幂函数、对数函数增长的比较复习练习题
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3.6 指数函数.幂函数.对数函数增长的比较同步练习北师大版高中数学必修一
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知奇函数在R上是增函数， 若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为 ．
A. B. C. D.
- 已知三个变量，，随变量x变化数据如表：
x | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | |
2 | 4 | 16 | 64 | 256 | ||
1 | 4 | 16 | 36 | 64 | ||
0 | 1 | 2 | 3 |
则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是
A. B.
C. D.
- 下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是
A. B. C. D.
- 已知，，，当时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是
A. B.
C. D.
- 下列函数中，增长速度越来越慢的是
A. B. C. D.
- 下列函数中，增长速度最快的是
A. B. C. D.
- 在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
x | |||||
y |
A. B. C. D.
- 给出4个函数，，，，当时，其中增长速度最快的函数是
A. B. C. D.
- 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间分钟之间存在函数关系为常数若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气
A. 16分钟 B. 24分钟 C. 32分钟 D. 40分钟
- 当x越来越大时，下列函数增长速度最快的是
A. B. C. D.
- 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程2，3，关于时间的函数关系是，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体对应的函数关系是
A. B. C. D.
- 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了一组实验数据如下表，现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
x | 3 | 4 | |||
y | 4． | 12 |
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到由此可知，如果不采取有效措施，则从___________年填年份开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨参考数据：，
- 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：
；；；
其中最接近的一个是 只填序号
- 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程3，关于时间的函数解析式分别为，，，，有以下结论：
当时，甲走在最前面；
当时，乙走在最前面；
当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为 ． - 下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ．
；；；．
三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）
- 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位，其中Q表示燕子的耗氧量．则当燕子静止时的耗氧量是 单位；当一只燕子的耗氧量是80个单位时的飞行速度是
- 三个变量，，随自变量x的变化情况如下表：
x | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
5 | 135 | 625 | 1715 | 3645 | 6633 | |
5 | 29 | 245 | 2189 | 19685 | 177149 | |
5 |
其中x呈对数函数型变化的变量是 ，呈指数函数型变化的变量是 ，呈幂函数型变化的变量是 ．
四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
- 某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量微克与时间小时之间近似满足如图所示的曲线．
写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；
据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．
- 20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中，A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差．
以下数据供参考：，，
根据中国地震台网测定，2019年9月27日01时17分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级精确到；
年5月12日14时28分04秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达，地震烈度达到11度．此次地震的地震波已确认共环绕了地球6圈．地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感．请计算汶川地震的最大振幅是级地震的最大振幅的多少倍
- 函数，，的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异以1，e，a，b，c，d为分界点．
- 某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量微克与时间小时之间近似满足如图所示的曲线．
写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；
据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．
- 某小区为响应环保号召，准备在如图所示的区域内修建一个矩形垃圾分类站CGHJ，且，，另外是绿化用地不能占用，经测量，，，，应如何设计才能使垃圾分类站的占地面积最大？
- 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是利用计算工具计算并回答下列问题：
一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
- 某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：之间满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数已知该食品在的保鲜时间为160小时，在的保鲜时间为40小时．
求该食品在的保鲜时间；
若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．
由奇函数在R上是增函数，则是偶函数，且在单调递增，则，则，，即可求得．
【解答】
解：奇函数在R上是增函数，当，，且，
，当时，，
在单调递增，且偶函数，
，
则，，
由在单调递增，则，
，
故选C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
观察题中表格，根据函数的变化趋势即可求出．
本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．解题时要认真审题．
【解答】
解：从题表格可以看出，三个变量、、都是越来越大，但是增长速度不同，其中的变量的增长速度最快，呈指数函数变化，变量的增长速度最慢，呈对数型函数变化，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查基本初等函数的增长差异，属基础题根据基本初等函数的增长速度，结合选项求解即可．
【解答】
解：根据指数函数、对数函数、一次函数和幂函数图象可知，指数函数是增长最快的，
故选A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，考查对基础知识的灵活运用．
取特殊值进行验证即可．
【解答】
解：成正比例增长，成指数级增长，在上是减小的，
故三个函数的增长速度为．
故选B．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长快慢，属于基础题．
根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长速度，选出增长速度越来越慢的选项．
【解答】
解：可知：指数函数的增长速度越来越快，对数函数增长速度越来越慢，幂函数的增长速度越来越快，一次函数匀速增长．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异，属于基础题．
直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断．
【解答】
解：是一次函数，是幂函数，是对数函数，是指数函数，
因为当x足够大时，指数函数增长速度最快，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的应用，属于基础题．
结合表中数据，逐个函数判断．
【解答】
解：对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；
对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数，当时，偏差较大，不符合要求，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查对数函数、一次函数、指数函数、幂函数增长速度的差异问题，属于基础题．
通过对数函数、一次函数、指数函数、幂函数增长速度的差异直接比较即可．
【解答】
解：在对数函数、一次函数、指数函数、幂函数中，随着x的增大，指数函数的增长速度最快，
所以函数，，，，当时，其中增长速度最快的函数是．
故选B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查指数函数模型的应用，考查指数不等式的解法，属于基础题．
由条件求出m，列不等式，即可求解．
【解答】
解：由题意知，，解得：．
所以．
由得：，解得．
故这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气32分钟．
故选C．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数的增长速度差异的应用，属于基础题．
由题意，指数函数增长速度最快
【解答】
解：在一次函数，对数函数，幂函数和指数函数中，指数函数增长速度最快，
选项D中为指数函数，满足题意．
故选D．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数、一次函数、指数函数和对数函数的增长速度的差异，属于基础题．
利用指数函数增长的最快，最终处在最前面，即可解出答案．
【解答】
解：指数函数增长速度最快，最终在最前面．
故选D．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数、一次函数与二次函数的增长差异，属于基础题．
由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案．
【解答】
解：由y随x的变化趋势知，函数在上是增函数，且y的增长速度随x的增大越来越快．
A中函数增长速度不变，C中函数是增长速度逐渐变慢的函数，D中函数是减函数，故排除A，C，D，易知B中函数最符合题意．
故选B．
13.【答案】2021
【解析】
【分析】
本题主要考查了等比数列的通项公式，是基础题．
由题意可知快递行业产生的年包装垃圾构成以公比为的等比数列，由等比数列通项公式结合题意列出方程，求出即可．
【解答】
解：解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，
由题意可得
3 |
2 |
，
由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，
3 |
2 |
，
3 |
2 |
，
两边取对数可得，
，
解得，
解得，
从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，
故答案为：2021．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查依据数据的变化趋势选择与变化趋势最接近的函数，考查观察能力．
由表中数据可得自变量近似等速增加，函数值成倍增加由变化特征确定选项．
【解答】
解：由直线是均匀的，故不正确；
由表中数据可得自变量近似等速增加，函数值近似成倍增加合适．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型及几个常见初等函数的图象应用，属于中档题．
画出，，，的图象，并且几个函数相交于点，根据图象的变化趋势容易判断出答案．
【解答】
解：甲、乙、丙、丁的路程2，3，关于时间的函数解析式分别为，，，．
它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当时，，，所以不正确．
当时，，，所以不正确．
根据四种函数的变化特点，如图所示，对数型函数的增长速度是先快后慢，
又当时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，均为1，从而可知．
当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，所以正确．
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以正确．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，属于基础题．
根据三类函数的增长差异可知．
【解答】
解：结合三类函数的增长差异可知指数增长性最快，
所以的预期收益最大，
故答案为．
17.【答案】10个
【解析】解：由题意，令，
，
令，则，
故答案为10个，．
18.【答案】
【解析】
【分析】由题中表格，可知三个变量，，随着x的增大都是越来越大的，其中的增长速度最快，呈指数函数型变化，的增长速度最慢，呈对数函数型变化，呈幂函数型变化．
【解答】解：由题中表格，可知三个变量，，随着x的增大都是越来越大的，
其中的增长速度最快，呈指数函数型变化，
的增长速度最慢，呈对数函数型变化，
呈幂函数型变化．
故答案分别为；；
19.【答案】解：由题中图象，设
当时，由，得；
由，得．
所以
由，得或
解得，
因此服用毒品后重度躁动状态持续小时．
【解析】本题考查分段函数以及指数函数的模型应用，属于中档题．
首先设出由图象所给条件求出解析式；
由，得出或从而得到，从而得到服用毒品后重度躁动状态持续时间．
20.【答案】解：，
因此，这次地震的震级为里氏级．
由可得，即，．
当时，地震的最大振幅为；
当时，地震的最大振幅为；
所以，两次地震的最大振幅之比是：，
答：汶川地震的最大振幅是级地震的最大振幅的1000倍．
【解析】本题考查了函数模型的选择与应用，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是对题意的理解，是中档题．
把最大振幅和标准振幅直接代入公式求解；
利用对数式和指数式的互化由得，把和分别代入公式作比后即可得到答案．
21.【答案】解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得：
曲线对应的函数是，曲线对应的函数是，曲线对应的函数是．
由题图知，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
【解析】本题考查指数爆炸与对数增长及幂函数增长的差异，掌握分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得：
曲线对应的函数是，曲线对应的函数是，曲线对应的函数是由题图知，再分类讨论：当时，当时，
当时，当时，当时，当时，当时，得出，，的大小关系即可．
22.【答案】解：由题中图象，设
当时，由，得；
由，得．
所以
由，得或
解得，
因此服用毒品后重度躁动状态持续小时．
【解析】本题考查分段函数以及指数函数的模型应用，属于中档题．
首先设出由图象所给条件求出解析式；
由，得出或从而得到，从而得到服用毒品后重度躁动状态持续时间．
23.【答案】解：如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意，
设，，，直线EF所在的方程为，因为点H在直线EF上，
设，其中，，矩形CGHJ的面积为S，
．
所以，当，时，S取最大值．
故应将垃圾分类站的长建成5m，宽建成时，垃圾分类站的面积达到最大为．
【解析】本题主要考查函数模型的建立和应用，矩形面积公式，由二次函数求最值，属于基础题．
以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求得直线EF的方程，再设出H坐标，由矩形面积公式建立模型，由二次函数求出最值．
24.【答案】解：因为，所以一年后进步的是落后的1481倍．
由得，，所以大约经过116天后进步的是落后的10倍；
同理可得，，所以大约经过231天后进步的是落后的100倍；
，所以大约经过346天后进步的是落后的1000倍．
【解析】本题考查指数函数模型与对数函数模型增长速度的差异性．
因为，所以一年后进步的是落后的1481倍．
由得，，所以大约经过116天后进步的是落后的10倍；同理可求出大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的100倍、1000倍．
25.【答案】由题意，
．
当时，
该食品在的保鲜时间为20小时．
由题意知，
即，
，又，
即．
要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过．
【解析】本题考查了指数函数的相关知识，属于中档题．
由题意可得，求出，将带入即可．
由题意知，可得，解出x的范围即可．
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