河北省正定中学2021届高三上学期第二次月考数学试题+Word版含答案

河北定中学/河北正定实验中学

高三第二次月考试卷

数  学

（考试时间：120分钟　分值：150分）

注意事项：

1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，集合，则与的关系是（   ）

   A．   B．   C．  D．

2.设函数，则的值为（   ）

A.                 B.                  C.                D.

3.已知，若向量是与方向相同的单位向量，则（）

A.      B.     C.   D.

4.已知,则的值为(    )

A.                B.                C.             D.

5.棣莫弗定理：若两个复数，则

，已知，则的值为(    )

A.    B.    C.     D.

6．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（   ）

A． B． C． D．

8．如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的最小值为  　　

A．4 B．   C．2  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.

9.如图，正的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个

图形，则（  ）

A.动点在平面上的射影在线段上

B.恒有平面;

C.三棱锥的体积有最大值;

D..异面直线与不可能垂直.

10. 已知，则下列结论正确的是(   )

A.  B.  C.  D .若，则

11.已知数列{an}，a1＝1，a2＝5，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且，

当时，恒有,则（　　）

A．数列为等差数列  B． C．数列为等比数列 D．

12．已知函数，下述结论正确的是（    ）

A．存在唯一极值点，且

B．存在实数，使得

C．方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数

D．当时，函数与的图象有两个交点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是     

14.已知、满足,若使得取最大值的点有无数个,则的值等于.

15．已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为__________________．

16．数列的递推公式为（），可以求得这个数列中的每一项都是奇数，则__________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第________项.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知为等差数列，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和；

（Ⅱ）若数列满足求数列的通项公式.

18. （本小题满分12分）

在①,②周长为，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.

已知中，分别为内角的对边，

，              ，求的面积.

19.（本小题满分12分）

在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.

（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；

（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

如图甲所示，是梯形的高，，将梯形沿折起得到如图乙所示的四棱锥，使得．

（1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；

（2）点是线段上一动点，当直线与所成的角最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为．

（1）求椭圆的方程；

（2）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

22．（本小题满分12分）已知函数(为自然对数的底数).

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值.

参考答案

1--5.BCDAB

6．A【解析】点和是函数图像的相邻的两个对称中心

且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，

函数的最小正周期，即，解得.

又在区间内单调递减，，.

由，，得，.，当时，；

当时，.

①当时，，由，，

得，，即函数的单调递减区间为，.

当时，函数的单调递减区间为，满足条件.

②当时，.

由，，得，，

即函数的单调递减区间为，，

当，时，函数单调递减区间分别为，，

不符合题意，故舍去.综上所述，.故选：A.

7．B【解析】设左焦点为，  ，连接

则 ， ， ，

因为，且经过原点

所以四边形 为矩形,在Rt△中， ，代入

,化简得

所以在Rt△中，，代入

化简得 ，即 所以选B

8.【答案】D

【解析】以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：

设，则,即.又，

所以

.,显然且.所以.

因为，所以.所以当，取得最小值12.所以的最小值为.故选D.

9.ABC  10.AC  11.BD

12．ACD【解析】对进行求导可得：，显然为减函数，

，,故存在，使得，并且，，为增函数， ， ，为减函数，故为极大值点，所以A正确；所以，

可得：，因为，所以，故B错误，

若是的一解，即，

则，

故和都是的解，故C正确，由，可得，令，

，令 ，因为，所以，故为减函数，而，所以当，，即，为增函数

，，即，为减函数，所以，

故当，有两个解，故D正确.故选：ACD.

13.    14.

15.【答案】9【解析】

由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，，

所以圆心坐标分别为，半径分别为2和1，故有=1，

∴，

∴+=，当且仅当=，即时，等号成立，∴+的最小值为9，

故答案为：9

16.【答案】        【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…

∴．又因为

即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．

所以第8个3是该数列的第3×28﹣1=384项．故答案为18，384．

17.（1）设等差数列的首项与公差分别为和，则，

所以，.

（2）①，②，

①②可得：，，

18.解析：因为，由正弦定理可得

由余弦定理可得，选①由正弦定理,可得

由余弦定理，代入可得，解得，

选②因为周长为且，可得，由余弦定理，则

可得，

选③因为，由余弦定理，则可得，

19.（Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.由题意， 得．

答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．    

（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则，

，，．

所以，的分布列为：

的数学期望.     

20．【解析】（1）存在点，使得平面，此时，理由如下:

依题，，，，即，所以，

因为，平面，平面，

,所以平面，所以，所以，

过作交于，作交于，连接，

因为，，,所以，所以，

而，所以有,，平面，平面，

所以平面,，平面，平面，所以平面,

平面，，所以平面平面，而平面

所以平面.故存在点，使得平面，此时

（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.

，，，，设，,

即，所以，，,

设直线与所成角为则,

令，则，,

令，则，，当时，取最大值，

此时直线与所成的角最小.此时.所以，又因为，，,

所以，，,设平面法向量分别为,

则，即,取得平面的法向量为，

设平面法向量为,则，即,

取得平面法向量为,所以，

由图可知，二面角为钝二面角，则其余弦值为.

21．【解析】（1）∵过椭圆C的右焦点F，∴右焦点，即，

又∵的焦点为椭圆C的上顶点，∴，即，，

∴椭圆C的方程；

（2）当时，直线轴，则ABED为矩形，

易知AE与BD是相交于点，猜想AE与BD相交于点，证明如下：

由得，，

设，，则，，

∵，，∴，即A、N、E三点共线．

同理可得B、N、D三点共线，则猜想成立，即当m变化时，AE与BD相交于定点．

22．【解析】(Ⅰ)易知，且.令，则，

∴函数在上单调递增，且.

可知，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

(Ⅱ)∵，∴.

由(Ⅰ)知，在上单调递增，

当时，；当时，，则有唯一解.

可知，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

∴函数在处取得极小值，且满足.

∴.

令，则.

可知，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，∴.∴函数极小值的最大值为1.