浙教版九年级上册3.4 圆心角一课一练

3.4圆心角同步练习浙教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）

1. 如图所示，在中，，则在中，正确结论的个数是     

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

2. 风是没有危害的能源之一，而且它取之不尽，用之不竭对于缺水、缺燃料和交通不便的沿海岛屿、草原牧区、山区和高原地带，因地制宜地利用风力发电，非常适合，大有可为，我国已在这些区域投放了大批风力发电设备风力发电转子叶片的图案如图所示，其绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是     

A. 60 B. 90 C. 120 D. 150

3. 观察下列相应的推理，其中正确的是   

A.  B.
C.  D.

4. 如图，MN是的直径，点A是半圆弧MN的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点若，，则周长的最小值是     

A.
B.
C.
D.

5. 如图所示，AB是的直径，，，则的度数为     

A.
B.
C.
D.

6. 如图，AB是所对的弦，AB的中垂线CD交于点C，交AB于点D，AD的中垂线EF交于点E，交AB于点F，DB的中垂线GH交于点G，交AB于点则下列结论中，不正确的是   

A.  B.  C.  D.

7. 下列结论中，正确的是

A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 半圆是弧
C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 弧是半圆

8. 如图，在中，弦，弦AB，CD相交于点E，OF和OG分别为AC，BD的弦心距下列结论中，不成立的是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，已知，，则四边形ABCD是

A. 菱形
B. 矩形
C. 正方形
D. 平行四边形

10. 下列命题中，正确的是

A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 相等的弦所对的弧相等
C. 度数相等的弧是等弧
D. 在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等

11. 把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数为     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

12. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，该图案绕中心至少旋转          度后能与原来的图案重合．
    
    
     

13. 如图，已知矩形ABCD的四个顶点都在圆O上，且，则          ．
    
    
     

14. 如图，C为的中点，于点M，于点N，，则________cm．
    
    
     

15. 如图，在中，，以AB为直径画圆，交BC于点如果，则等于          度
    
     

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

16. 问题呈现：

阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是的两条弦即折线ABC是圆的一条折弦，，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

证明：如图，在CB上截取，连结MA，MB，MC和MG．

是的中点，

．

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．

实践应用：
 

如图，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系：                              

如图，已知等腰三角形ABC内接于，，D为上一点，连结DB，，于点E，的周长为，，求AC的长．






 

17. 如图，MB，MD是的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且，点M是弧AC的中点．

求证：

过O作于E，，的半径是2，求MD的长．






 

18. 如图所示，M，N分别是的弦AB，CD的中点，求证：．
     

19. 已知等腰内接于，且顶角，求，，的度数．
    
    
    
     

20. 如图，AB，CD是的两条弦，，，E，F分别是垂足．
    

若，则劣弧                    ，圆心角                    ．

若，则弦                    ，圆心角                    ．

若，则劣弧                    ，弦心距                    ．

若，则弦                    ，劣弧                    ．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：在中，，，，

，，

都正确．

2.【答案】C
 

【解析】解：易知该图案旋转的整数倍时，就可以与自身重合，故n的值可能为120．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：选项A，，，，故选项A正确
选项B，的度数为，，故选项B不正确
选项C，不是在同圆或等圆中，，故选项C不正确
选项D，与所对的弦不相等，，故选项D不正确．
故选A．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：作点A关于MN的对称点，连结，交MN于点P，连结，OA，OB，PA，，

点A与关于MN对称，点A是半圆弧MN的一个三等分点，
，，
点B是劣弧AN的中点，，
，

又，．
，

周长的最小值是，故选D．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题考查了弧与圆心角的关系注意掌握数形结合思想的应用．由，可求，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【解答】
解： ，，
，
．
又，
，

故选A．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了弦与弧的关系以及垂径定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用由AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，根据垂径定理与弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：连接EG，AE，

的中垂线CD分别交于C，
，故A正确
的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，
，故B正确
四边形EFHG是矩形，
，故D正确．
，
，
，故C错误．
故选：C．  

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆的认识，圆心角、弧、弦的关系，根据圆内相关定义，以及圆心角、弧、弦的关系分别判断即可．
【解答】

解：根据圆内相关定义，能够完全重合的弧是等弧，故本选项错误；

B. 弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项正确；

C. 根据在同圆或等圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；

D. 弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项错误．

故选B．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆心角、弧、弦的关系，垂径定理解答根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，对各个选项进行分析，得出结论即可．
【解答】
解：，
，故B正确；
OF和OG分别为AC，BD的弦心距，
，，
，
连接OA、OD，
，，
≌，
，故A正确；
，
，
，故D错误，
所对的圆周角为和，
，故C正确．
故选D．
  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，矩形的判定，解题关键是掌握圆心角、弧、弦之间的关系解题时，连AC，BD，先根据圆心角、弧、弦之间的关系得出四边形ABCD是平行四边形，再由，，得出和都是半圆，进而得出，即可得出结论．
【解答】
解：连AC，BD，

，，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
和都是半圆，
和BD是圆O的直径，
，
平行四边形ABCD是矩形．
故选B．  

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查定义与命题，圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系及等弧的定义可逐项求解．
【解答】

解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以A不符合题意；

B.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧可能是优弧也可能是劣弧，故不一定相等，所以B不符合题意；

C.在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧叫等弧，所以不符合题意；

D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等，所以符合题意．

故选D．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出的度数是解题关键．直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】
解：如图所示：连接BO，过点O作于点E．

由题意可得：，，
可得，
故，
则，
故的度数是．
故选C．  

12.【答案】72
 

【解析】解： ，该图案绕中心至少旋转72度后能和原来的图案重合．
 

13.【答案】
 

【解析】解： 四边形ABCD为矩形，，，

，．

，

的度数为，

．

14.【答案】2
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理，圆心角，弧，弦的关系，角平分线的性质有关知识，连接OC，由垂径定理可得，然后再利用C是弧AB的中点得出，再根据，可得出．
【解答】
解：连接OC，如图，

，
，
由垂径定理可知，
是弧AB的中点，
，
，
，，
．
故答案为2．  

15.【答案】90
 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理和等腰直角三角形的性质，关键是连结AD，OD，得出是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线性质得出，得出是等腰直角三角形，继而求得的度数，然后可得，则可求得的度数．
【解答】
解：如图所示，连结AD，OD，

，，
，
为圆的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的度数为．
故答案为：90．  

16.【答案】解：问题呈现：

在和中，

，．

又，，．

实践应用：

．

，是的中点，

，根据阿基米德折弦定理得，

的周长为，，

．

，，

在中，，，．

【解析】见答案
 

17.【答案】解：证明：，

，

又点M是弧AC的中点，

，

，即，

．

如图，连结OM，，，

在中，，的半径，

，

．

【解析】见答案
 

18.【答案】证明：连OM，ON，如图， 

，N分别为AB，CD的中点， 
，， 
， 
， 
， 
， 
．

【解析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了垂径定理的推论和等腰三角形的性质．连接OM，ON，根据垂径定理的推论得到，，即，又，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到，所以，于是．

取消使用本题

19.【答案】解：如图，连接OA，OB，OC，

，，
，
，
，
，
，
的度数为，的度数为，
 

【解析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，得到，求出、、的度数，即可得到答案．
 

20.【答案】，，；
，CD，，；

，OE，
，CD，．
 

【解析】

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
【解答】解：
若，那么，；
若，则，；

若，则，
若，则，．
故答案为：，，；
，CD，，；

，OE，
，CD，．