浙教版九年级下册第一章 解直角三角形1.3 解直角三角形当堂达标检测题

1.3解直角三角形同步练习浙教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为

A.
B.
C. 1
D.

2. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

3. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽的长可以表示为

A. 米 B. 米 C. 200sin 米 D. 米

4. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为

A.
B.
C.
D.

5. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则

A.
B.
C.
D.

7. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
   量得测角仪的高度；
   量得测角仪到旗杆的水平距离．
   利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为

A. 米
B. 米
C. 米
D. 9米

9. 如图，在中，，，，则AC的长为

A.
B.
C.
D. 2

10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是

A.  B. 60nmile
C. 120nmile D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是______．
    
     

12. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，．BC长6米，坡角为，AD的坡角为，则AD长为___米结果保留根号．

13. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则__．

14. 如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是，底部C点的俯角是，则教学楼AC的高度是______米结果保留根号．
    
     

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

15. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度：此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离、D、H在同一直线上，在点C处测得．
    求斜坡CD的坡角；
    电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
    参考数据：，，，
    
    
    
    
    
    
     
16. 如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为，此时该同学距地面的高度AE为27米，电梯再上升10米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为，求大楼BC的高度．结果保留根号
    
    
    
    
     

17. 每年春季彩灯工艺师为汾河景区“中华第一龙”换装．查阅资料可知，“巨龙”长126米，龙身最大跨度为20米，最大直径为米．课外实践小组对这条“巨龙”的龙头头顶A离地面的高度产生了兴趣，决定运用所学知识求出它的高度．由于“巨龙”在河中，同学们只能在人行道上进行测量．下面是他们测量的过程：在C点处测得龙头头顶A的仰角为，沿着人行道直行63米到达点D处，测得，已知B，D，C三点在同一水平面内，测角仪距该平面的高度忽略不计．请根据以上数据求龙头头顶A离地面的高度结果精确到米，参考数据：，，，

18. 如图，已知中，，．
    求边AC的长；
    设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
     

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

19. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中底盒固定在地面下，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条，．
    求车位锁的底盒长BC．
    若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
    参考数据：，，

20. 如图，在中，，，．
    求BC边上的高线长．
    点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将折叠得到．
    如图2，当点P落在BC上时，求的度数．
    如图3，连结AP，当时，求AP的长

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：连接BC，
每个小正方形的边长均为1，
，，，
，
是直角三角形，
，
故选：B．
根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断的形状，从而可以求得的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出的形状，利用锐角三角函数解答．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：过点作于点C，
由题意可知：，
，
，
故选：B．
过点作于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【解答】
解：在中，
，，
，
，
，
即河宽米，
故选：B．  

4.【答案】A
 

【解析】解：，
．
故选：A．
根据三角函数的定义即可求解．
本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：在中，，
则，，，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：如图，取格点E，连接CE．

由题意：，，，
，
故选：C．
如图，取格点E，连接构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可．
本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
过C作于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】

解：过C作于F，则四边形BFCD是矩形，

，，
，
，
，
，
故选A．  

8.【答案】A
 

【解析】解：由题意，在中，
，由三角函数关系可知，
，
米，
即扶梯高AC的长为米，
故选：A．
在中，根据三角函数关系，代入数据即可得出AC的长度．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：过A作于D，则，
，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
故选：B．
过A作于D，则，根据已知求出，，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：过C作于D点，

，，，
可得，
在中，，
．
在中，，
，
．
故这时轮船B与小岛A的距离是．
故选：D．
根据题意，求出，，即可得解．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，属于中档题．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出的度数．过A点作于C，根据直角三角形的性质可求，再根据仰角的定义即可求解．
【解答】
解：过A点作于C，
，
．
故此时观察楼顶的仰角度数是．
故答案为．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点D作于E，过点C作于首先证明，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】
解：过点D作于E，过点C作于F．

，，，
，
在中，米，
，
在中，，，
米，
故答案为．  

13.【答案】
 

【解析】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．
在中，，，
．
同理，可得出：．
又，
．
设等边三角形的边长为a，则，，
，
．
故答案为：．
给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理，可得出：，由结合可得出，设等边三角形的边长为a，则，，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出的值．
本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形、，进而可解即可求出答案．
【解答】
解：过点B作于点E，

在中，，，
可得米．
在中，，，
可得米．
故教学楼AC的高度是米．
答：教学楼AC的高度是米．  

15.【答案】解：斜坡CD的坡度：1，
：：，
．
答：斜坡CD的坡角为；
由可知：
，．
，
在中，，
米．
，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
 

【解析】根据斜坡CD的坡度：1，可得：：，进而可得的度数；
由可得，，所以，再根据锐角三角函数可得PD的值，与18进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
 

16.【答案】解：过D作于H，过E作于G．

由已知得，，，．
在中，，，
．
．
在中，，
．
米．
答：大楼BC的高度是米．
 

【解析】过D作于H，过E作于求出EG和DH的长，在中，求出BH，则可得出答案
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
 

17.【答案】解：在中，，．
，
在中，米，
米，
，D，C三点在同一水平面内，龙头头顶A离地面的高度是AB，
，
，
在中，，
，
米，
答：龙头头顶A离地面的高度AB约为米．
 

【解析】根据中，，可得，然后利用锐角三角函数即可求出AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

18.【答案】解：作A作，
在中，，，
，，
，
在中，根据勾股定理得：；
垂直平分BC，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
则．
 

【解析】【试题解析】

过A作，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

19.【答案】解：过点A作于点H，
，
，
在中，，，
，
．
在中，
，
，
当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
 

【解析】过点A作于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：如图1中，过点A作于D．

在中，．

如图2中，

≌，
，
，
，
，
，
．

如图3中，由可知：，

，
，
≌，
，
，
，
∽，
，即，
，
在，，
．
 

【解析】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图1中，过点A作于D，解直角三角形求出AD即可．
证明，可得解决问题．
如图3中，由可知：，证明∽，推出，由此求出AF即可解决问题．