人教版新课标A选修2-12.2椭圆学案

www.ks5u.com2.2　椭圆

2.2.1　椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2．

(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程

1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A．4　　　　　　　　　 B．5

C．8   D．10

D　[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．]

2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，

∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1．]

3．已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2作直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为________．

40　[由已知得a＝10，

△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝40．]

4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．

－1或－　[原方程可化为＋＝1．

依题意，得即

所以k的值为－1或－．]

【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．

[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，

∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．

故所求椭圆的标准方程为＋＝1．

(2)由于椭圆的焦点在y轴上，

∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1．

故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．

(3)法一：①当焦点在x轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

依题意有解得

故所求椭圆的标准方程为＋＝1．

②当焦点在y轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

依题意有解得

因为a＞b＞0，所以无解．

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．

法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．

1．利用待定系数法求椭圆的标准方程

(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．

2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．

1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)

A．＋y2＝1　　 B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

[答案]　B

【例2】　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．

(2)设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

思路探究：(1)→→

(2)在△PF1F2中应用余弦定理结合椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝10可以求得|PF1|·|PF2|，进而可求面积．

(1)120°　[由＋＝1，知a＝3，b＝，

∴c＝．

∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，

∴cos∠F1PF2＝＝－，

∴∠F1PF2＝120°．]

(2)解：由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，

所以c2＝，所以c＝，2c＝5．

在△PF1F2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，

即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①

由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，

即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②

②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，

所以|PF1|·|PF2|＝25，

所以S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝．

1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．

2．椭圆中的焦点三角形

椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．

3．焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L＝2a＋2c．

②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2．

③设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan．

[探究问题]

1．如图所示，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．

[提示]　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c．

所求点Q的轨迹方程为＋＝1．

2．如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？

[提示]　当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：

(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)．

(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．

所求点M的轨迹方程为＋y2＝1．

【例3】　(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．

(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．

思路探究：(1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．

(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．

(1)x2＋＝1　[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1．

所以＋＝1，即x2＋＝1．]

(2)解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，R1＝1；Q2(3,0)，R2＝9．

设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．

由题设有

|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，

所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6．

由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，

且a＝5，c＝3．

所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，

故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1．

1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．

2．对定义法求轨迹方程的认识

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．

3．代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．

2．(1)已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．

[解]　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．

利用中点坐标公式，

得∴

∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，

∴＋y＝1．

将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，

得＋(2y)2＝1．

故所求AQ的中点M的轨迹方程是

＋4y2＝1．

(2)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．

[解]　以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．

则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3．

所以曲线E的方程为＋＝1．

1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．

2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a＞b＞0的要求，如方程＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．

3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．

1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　)

A．椭圆　   B．直线　　　

C．线段　   D．点

C　[由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB．]

2．“2<m<8”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

B　[当方程表示椭圆时，应满足所以2<m<8且m≠5．

因此应为必要不充分条件，故选B．]

3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)

A．13      B．12    C．9    D．6

C　[由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]

4．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．

[解]　设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，

由已知条件得解得

所以b2＝a2－c2＝12．

于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．