高中数学北师大版必修5本节综合复习练习题

这是一份高中数学北师大版必修5本节综合复习练习题，共22页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】A，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知3a+27b=6，则a+3b的最大值是( )
A. 23B. 6C. 2D. 22
若实数a，b满足ab>0，则a2+4b2+1ab的最小值为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
已知a>0，b>0，如果不等式2a+1b≥m2a+b恒成立，那么m的最大值等于( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
已知00，b>0，ab=a+b+1，则a+2b的最小值为( )
A. 32+3B. 32−3C. 3+13D. 7
设x32，则2a+12a−3的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
若两个正实数x,y满足1x+1y=2，且不等式x+y0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为___________．
三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，m= ；若▵ABC的面积为23，则|AP|的最小值为 ．
若实数x、y满足x>y>0，且lg2x+lg2y=1，则2x+1y的最小值是 ，x−yx2+y2的最大值为 ．
函数f(x)=x+1x−1(x>1)的最小值是 ；此时x= ．
设▵ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若b2+3a2=c2，则tanCtanB= ，tanA的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
已知a>0，b>0，a+b=2．
(1)求证：a2+b2≥2;
(2)求证：2a+1b≥1+22．
已知a>0，b>0，a3+b3=2，证明：
(1)(a+b)(a5+b5)≥4；
(2)a+b≤2．
已知函数，g(x)=x2−ax+6．
(1)若g(x)为偶函数，求a的值并写g(x)的增区间；
(2)若关于x的不等式g(x)0，b>0，不等式2a+1b≥m2a+b恒成立，可得m≤[(2a+b)(2a+1b)]min，利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：∵a>0，b>0，不等式2a+1b≥m2a+b恒成立，
∴m≤[(2a+b)(2a+1b)]min，
∵(2a+b)(2a+1b)=5+2ba+2ab
≥5+2×2ba·2ab=9，
当且仅当a=b时取等号．则m⩽9,
∴m的最大值等于9．
故选B．

4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查对勾函数的性质，属于基础题．
解决问题的关键利用对勾函数判断函数的单调性，进而确定最值．
【解答】
解：由对勾函数的性质可得y=x+16x在(0,4)上单调递减，
∴00，b>0，则b>1，
所以，a+2b=b+1b−1+2b=(b−1)+2b−1+2b
=2b−1+2b+1=2b−1+2(b−1)+3
≥22b−1⋅2(b−1)+3=7，
当且仅当2(b−1)=2b−1b>1时，即当b=2时，等号成立，
因此a+2b的最小值为7，
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，考查化简变形的能力，解题的关键在于凑成积为定值，注意应用条件一正二定三相等，属于基础题．
由2x+12x−1变形为2x−1+12x−1+1，x0，利用基本不等式可得出最大值．
【解答】
解：∵x0，则2a+12a−3=2a−3+12a−3+3，利用基本不等式即可求其最值．
【解答】解：因为a>32，所以2a−3>0，
2a+12a−3=2a−3+12a−3+3≥2(2a−3)⋅12a−3+3=5，
当且仅当2a−3=1，即a=2时等号成立．
故选B．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键，属于中档题．
将不等式x+y(x+y)min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：正实数x，y满足1x+1y=2，
则x+y=12x+12yx+y=1+y2x+x2y⩾1+214=2，
当且仅当y=x=1,x+y取得最小值2．
由x+y2，
解得m>2或m0,n1>0，AE=m2AB+n2ACm2>0,n2>0，由平面向量基本定理可知，m1+n1=1及m2+n2=1，结合条件可得x+y=2，进而由基本不等式求得最小值．
【解答】
解：当D与B，E与C重合或D与C，E与B重合时，x+y=2，
当点D与E只有一点与B或C重合时，x+y=2，
当点D与E都不与B或C重合时，
设AD=m1AB+n1ACm1>0,n1>0，则m1+n1=1，
设AE=m2AB+n2ACm2>0,n2>0，则m2+n2=1，
又AD+AE=xAB+yAC，
∴m1AB+n1AC+m2AB+n2AC=xAB+yAC，
∴x+y=m1+m2+n1+n2=2，
易得x>0，y>0，
∴1x+4y=12x+y1x+4y
=125+4xy+yx
≥125+24xy+yx=92，
当且仅当4xy=yx且x+y=2，即x=23，y=43时取等号，
故答案为92．
14.【答案】273
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、利用基本不等式求最值，属于较难题．
利用正弦定理，由已知式子得出，即，根据，代入所求式子，利用基本不等式，即可求出结果．
【解答】
解：∵2bcsC=ccsB，
∴由正弦定理可得，
，
又，
=−tanB+tanC1−tanBtanC=3tanB2tan2B−1，
，
又，
当且仅当时，取等号，
的最小值为273．
故答案为273．

15.【答案】16
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的运用，由b(a−b)≤(b+a−b2)2=a24，
故可得a2+16b(a−b)≥a2+64a2可得答案．
【解答】
解：因为b(a−b)≤(b+a−b2)2=a24，
故可得a2+16b(a−b)≥a2+64a2≥2a2×64a2=16，当且仅当a−b=ba4=64时等号成立，
故答案为16．
16.【答案】43
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
利用已知化(x+1)(2y+1)xy=2 xy + 6 xy，再利用基本不等式即可解答．
【分析】
解：x>0，y>0，x+2y=5，
则
(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1 xy=2xy+6 xy=2 xy + 6 xy；
由基本不等式有： 2 xy + 6 xy ≥2 2 xy ⋅ 6 xy =4 3；
当且仅当2 xy = 6 xy时，
即xy=3，x+2y=5时，即 x=3 y=1或x=2 y= 3 2时等号成立，
故(x+1)(2y+1)xy的最小值为43；
故答案为：43．
17.【答案】12
2
【解析】
【分析】
本题考查向量运算、向量平行条件应用、三角形面积公式、向量的模及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意得AP=mAC+12AD，利用C，D，P三点共线，可得m+12=1，即可得m；
利用▵ABC的面积为23可得|AB|⋅|AC|=8，进而得AB⋅AC=4，根据|AP|2|=|12AC+13AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43，利用基本不等式可得|AP|的最小值为2．
【解答】
解：∵AD=2DB
∴AB=32AD
∴AP=mAC+13AB=mAC+13×32AD
=mAC+12AD
∵C，D，P三点共线
∴m+12=1
解得m=12，
∵S△ABC=12|AB|⋅|AC|⋅sin∠BAC
=12|AB|⋅|AC|⋅sinπ3=34|AB|⋅|AC|=23
∴|AB|⋅|AC|=8
∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC=8×12=4
∵AP=12AC+13AB，
∴|AP|2|=|12AC+13AB|2=14AC|2+13AB⋅AC+19|AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43≥214|AC|2×19|AB|2+43
=2×12|AC|×13|AB|+43=13×8+43=4
当且仅当12|AC|=13|AB|时等号成立
∴|AP|≥2当且仅当|AB|=23|AC|=433时等号成立
即|AP|的最小值为2
故答案为：12;2．
18.【答案】2
14
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中档题．
先根据对数的运算性质可得xy=2，再根据基本不等式求最值即可．
【解答】
解：实数x、y满足x>y>0，且lg2x+lg2y=1，则xy=2，
则2x+1y≥22x⋅1y=2，
当且仅当x=2，y=1时取等号，
故2x+1y的最小值是2，
因为x−y>0，
x−yx2+y2=x−y(x−y)2+2xy=x−y(x−y)2+4
=1(x−y)+4x−y≤12(x−y)×4x−y=14，
当且仅当x−y=4x−y且xy=2，即x=3+1,y=3−1时取等号，
故x−yx2+y2的最大值为14，
故答案为：2；14．

19.【答案】3
2
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x−1+1，属于基础题．
由x>1可得x−1>0，函数f(x)=1x−1+x=x−1+1x−1+1，利用基本不等式即可得出．
【解答】
解：∵x>1，
∴x−1>0．
∴函数f(x)=1x−1+x=x−1+1x−1+1≥2(x−1)⋅1x−1+1=3，
当且仅当x−1=1x−1，即x=2时取等号．
∴函数f(x)=1x−1+x的最小值是3，此时x=2．
故答案为：3；2．

20.【答案】−2
24
【解析】
【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，正余弦定理，基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．
由已知可得b2−c2=−3a2，利用同角三角函数基本关系式，正余弦定理可求tanCtanB的值；利用诱导公式与三角形内角和得tanA=−tan(C+B)，利用两角和的正切公式展开，结合第一空结论化简得11tanB+2tanB，利用基本不等式即可求解其最大值．
【解答】
解：设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.b2+3a2=c2，
∴b2−c2=−3a2，
∴则tanCtanB=sinCcsC×csBsinB=c×a2+c2−b22acb×a2+b2−c22ab
=a2+c2−b2a2+b2−c2=4a2−2a2=−2．
∵b2−c2=−3a2