高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.2 基本不等式优秀达标测试

3.2基本不等式同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知，则的最小值为   

A.  B.  C. 1 D. 2

2. 若，则有   

A. 最小值6 B. 最小值8 C. 最大值8 D. 最大值3

3. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为，绿化带的宽分别为2 m和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为

A. 20 m B. 50 m C.  D. 100 m

4. 若a，b都为正实数，，则ab的最大值是   

A.  B.  C.  D.

5. 已知，函数的最小值是

A. 5 B. 4 C. 6 D. 8

6. 若，则有       

A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 最小值为 D. 最大值为

7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，v为车速当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为   

A. 135 B. 149 C. 165 D. 195

8. 已知第一象限的点在直线上，则的最小值是         

A.  B. 8 C.  D. 27

9. 若，，则的最小值为   

A. 2 B. 6 C. 3 D. 9

10. 已知，则的最小值为   

A.  B.  C. 1 D. 2

11. 已知，，且，则的最小值是

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

12. 已知，在时取得最小值，则t等于       

A.  B. 2 C. 3 D. 4

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 若正数a，b满足，则的最小值为          ．
14. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是           ．
15. 若函数在处取得最小值，则          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 设，则的最小值是          ；此时a的值是          ．
17. 已知a，b为正实数，且，则的最小值是      ，的最小值为      ．
18. 已知均为正数，且，则的最小值为__          ____，取得最小值时a的值为          

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

19. 用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长多少？

用长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？






 

20. 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个矩形菜园的最大面积。

用篱笆围一个面积为的矩形菜园，求所用篱笆的最短值。






 

21. 已知，求函数的最小值

已知，，且，求的最大值．






 

22. 在中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足．

求b的值；

若的外接圆半径，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．

【解答】

解：，则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为．
故选A．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可．

【解答】

解：
，
当且仅当，即时取等号，故最小值为8．
故选B．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等，为基础题．
设，利用核心喷泉区ABCD的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积S关于x的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】
解：设，知 m，
整个项目占地面积为

．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为．
故选B．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
由已知结合基本不等式可得，可得结果．

【解答】

解：因为a，b都为正实数，，
则，
当且仅当时取等号．
故选：B．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
由于，且，利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：，
因为故，
所以根据基本不等式可知：

，
当且仅当即时取“”．
故选C．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，属于基础题．
配凑，转化，再利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：因为，
所以，，
所以

，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为D．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用，属于基础题．
把给定函数变形，利用基本不等式即可得解．

【解答】

解：由题意得，，
当且仅当，即时取“”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149．
故选B．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
根据点在直线上得到，进行1的代换得到，展开后利用基本不等式求解即可，熟悉基本不等式求最值的方法是解答本题的关键．
【解答】

解：第一象限的点在直线上，
，且、，即，
，
当且仅当时，即a，时取等号，
所求的最小值为27，
故选D．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于较易题目．
根据题意，结合基本不等式求得最值即可．
【解答】
解：因为，，

所以，

当且仅当时取等号，此时解得
即的最小值为3，
故选C．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．

【解答】

解：，则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为．
故选A．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意“1”的代换，属于基础题．
根据题意，分析可得 ，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，若， ，且，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值是9；
故选：C．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题由得，利用基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，由此得到．
【解答】
解：，，
，
当且仅当，即时取最小值3，
，
故选B．  

13.【答案】16
 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
可对式子乘以1，也即乘以，再使用基本不等式即可求出答案．

【解答】

解：正数a，b满足，
，
当且仅当，也即当时取“”．
故答案为：16．

14.【答案】30
 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意可得一年的总运费与总存储费用之和，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】

解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和万元．
当且仅当时取等号．
故答案为：30．

15.【答案】3
 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的性质，属于基础题．
变形利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】

解：，当且仅当，即时取“”，
故．
故答案为3．

16.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的性质与应用，属于基础题．
把式子变形，
使用基本不等式计算即可得到答案．

【解答】

解：

．

当且仅当且，
即，时取等号，
故答案为4；．

17.【答案】

【解析】解：，，即，
，
当且仅当，．
．
故答案为：．
将题设条件变形为，即可利用“乘1法”结合基本不等式求解．
本题主要考查基本不等式中的“乘1法”的运用，需要学生有一定的计算化简能力．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是基础题．
本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值．
【解答】
解：因为，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
则的最小值为，取得最小值时a的值为，
故答案为：；．  

19.【答案】解：设矩形菜园的长为，宽为，，，
则，篱笆的长为．
由，可得，
所以等号当且仅当时成立，
此时此时，
所以这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆长
设矩形的长和宽分别为xm，ym，，，
，
，
，，
矩形的面积，
当且仅当时取“”，
当长和宽都为9m时，面积最大为．
 

【解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，基本不等式求解最值，属于基础题．
利用基本不等式进行求解；
利用不等式进行求解．
 

20.【答案】解：设矩形的长和宽分别为x，y，，，，，

，，矩形的面积，

当且仅当时取“”，当长和宽都为9m时，面积最大为，

答：当矩形的长、宽均为9m时，面积最大且为．

解：设矩形的长为x m，则宽为，所用篱笆为y m，

则，

，，

当且仅当，即时，不等式取“”

，此时，．

答：当矩形的长、宽均为8m时，所用篱笆最短为32m．

【解析】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．
设长和宽分别为x，y，根据题意得到，面积，利用基本不等式即可求解．
本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．
设矩形的长为xm，则宽为，所用篱笆为ym，求出y关于x的函数，利用基本不等式求出y的最小值．
 

21.【答案】解：因为，所以，

所以，

当且仅当即时取到等号所以；

由得，

因为，，所以，

所以，

由二次函数的性质可知，

当时，取得最大值为7．

【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值、利用二次函数的性质求最值，考查了转化思想，属于基础题．

由已知条件确定出为正数，利用拼凑法求出最值；

，代入转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可．

22.【答案】解：对于，由余弦定理得，
整理为
故．
因为，所以，．
当时，由，得，
所以，
当且仅当时等号成立．
当时，由，
得，
即，所以，
当且仅当时等号成立．
 

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用以及基本不等式应用，属于中档题．
利用余弦定理化简即可求
由正弦定理求利用余弦定理可知，利用基本不等式求ac最值，即可求解．