苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算一课一练

9.2向量运算同步练习苏教版（ 2019)高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为

A.  B.  C.  D.

2. 的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量 在上的投影向量的模为

A. 3 B.  C.  D.

3. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E是BD上靠近D的三等分点，则在上的投影向量的模长为

A.  B.  C. 1 D. 2

4. 在中，，，，点M满足，则等于   

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

5. 如图，在中，，，，且，则   

A. 1 B.  C.  D.

6. 在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则

A.  B.  C.  D. 9

7. 在平面上，，，，若，则的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，则等于

A.  B.  C. 8 D. 16

9. 已知正的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足，那么的值为

A.  B.  C. 1 D. 3

10. 在平行四边形ABCD中，，，，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的最大值为   

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

11. 平行四边形ABCD中，，，，点M在边CD上，则的最大值为   

A.  B. 2 C. 5 D.

12. 在菱形ABCD中，，，，，若，则   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 有如下四个命题：函数的图像关于直线对称．  
    向量在方向上的投影向量为．

设O是的外心，且满足，则．

在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为1，2，若M，N分别为BC、CD上的点，且满足，则则的取值范围是．

其中正确的命题的序号为__________．

14. 如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是          ．
    
     

15. 已知在边长为3的等边中，，则          ．
16. 已知圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则的最大值是          ．
    
    
     

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，          ；若的面积为，则的最小值为          ．

18. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则          ；          ．
19. 在中，，，，，则          ，延长DF交AC于点E，点P在边BC上，则的最小值为          ．
20. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，，，若，则的值为          ；若G为线段DC上的动点，则的最大值为          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

21. 在中，，，，若，，且．

求在上的投影向量．

求实数的值．






 

22. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足，，记，，试以为平面向量的一组基底，利用向量的有关知识解决下列问题．
    
    用来表示向量；
    若，，且，求
    
    
    
    
    
    
     
23. 边长为1的正三角形ABC，E、F分别是边AB、AC上的点，若，，其中m，，设EF的中点为M，BC中点为N．
    
    若A、M、N三点共线，求证：
    若，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 设为两个不共线的向量，若，．

若共线，求实数的值；

若是夹角为的单位向量，且，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是投影向量的求解，属于中档题．
结合，，得三角形为的直角三角形，再求解即可．
【解答】
解：因为，所以O为BC中点，又外接圆的圆心为O，
所以三角形为以A为直角顶点的直角三角形，又，
所以为等边三角形，则，，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选A．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查投影向量的概念，涉及向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算．

根据条件即可得出为直角三角形，其中，这样便可求出向量在上投影向量的模． 

【解答】

解：取BC的中点D，

由已知，

故和重合，

易知：

则向量在上的投影向量的模为：

故选C．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了向量线性运算的几何意义，向量数量积的运算以及向量的投影，先利用题目给出的条件得到，然后根据在上的投影向量的模长为，代入数值求解即可属于中档题．
【解答】
解：如图，作，，因为E是BD上靠近D的三等分点，，
所以M，N也都是三等分点，
所以，
，
所以在上的投影向量的模长为．
故选B．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的运算，向量的加法法则的应用，属于中档题．
利用已知条件，表示出向量则，然后求解向量的数量积．

【解答】

解：在中，，，，点M满足，
可得，
则

．
故选：D．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量基本定理及向量的线性运算，平面向量数量积运算，属于中档题．
利用向量线性运算求出，求出，又B，D，C共线，所以，即可求出答案．

【解答】

解：因为，
所以
则，

，
因为，且，，
所以，所以，
又B，D，C共线，
则，，
所以．
故选C．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的运算法则和数量积计算公式应用问题，是基础题．
根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计算即可．

【解答】

解：如图所示，

边长为2的菱形ABCD中，，
；又E为BC中点，
，且，

．
故选：D．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的加减法以及向量的模，是一道难题．
根据向量的数量积和向量的加减法可得，由的取值范围算出的范围．
 

【解答】

解：，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，即
故选D．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的运算，属于基础题，
将所求转化为，再进行数量积的运算．

【解答】

解：，
，
．
故选：D．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量加减运算，向量数量积的计算，属于中档题．
直接利用定义不易求解，这里利用平面向量基本定理，进行转化计算．

【解答】

解：正的边长为4，点D为边BC的中点，
所以
，
所以，点E满足，
所以，
所以


．
故选B．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的几何意义及平面向量的数量积．
用、表示出、，再利用数量积公式计算即可．

【解答】

解：如图所示：

设
则有

，


，
当有最大值为5．
故选C．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积运算和向量的坐标的数量积和函数的最值问题，属于中档题．

把，用向量，表示出来，结合二次函数的性质即可求解．

【解答】

解：，，，

设，
则
，

所以


，
所以，当时，有最大值2，

故选B．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，属于中档题．
根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可． 

【解答】

解：作出图形，建立如图所示的坐标系，

设，因为，，故BD，
则，，，，
则，．
由题可知，
故，
所以，
故，
解得．
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查命题真假的判断，考查函数的对称性，一个向量在另一个向量上的投影向量，向量的运算以及向量的数量积运算，属于中档题．
由，可得函数的图象关于直线对称，从而判断；
由投影向量即可判断；
由题意可得，，平方可得，求得，即可求得的值，从而判断；
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【解答】
解：对于，由，
所以该函数的图象关于直线对称，故正确；
对于，向量在方向上的投影向量为，故正确；
对于，由O是的外心，且满足，
可得，，
平方可得，
解得，所以，可得，故错误；
对于，建立如图所示的直角坐标系，则，，，

设，，
则，，
所以
，
因为，二次函数的对称轴为，
所以时，，故正确．
故答案为：．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积，属于难题．
由已知可得，，，，，，结合已知求出，，可得答案．

【解答】解：是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
，，
，，
，
，
，，
又，，
，
故答案为．  

15.【答案】6
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面向量数量积，属于中等题．
首先由已知得，再利用数量积求解即可．

【解答】

解：在等边中，，即D为BC上靠近点B的三等分点，

，
，
，
边长为3的等边中，

，
．
故答案为6．

16.【答案】6
 

【解析】

【分析】

本题考查圆心和弦中点的连线和弦垂直，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及计算公式，余弦函数的最大值，向量夹角的概念．
取AB的中点D，并连接OD，OB，OA，OC，则可根据条件求得，而，代入进行数量积的运算即可求得，从而便可得出的最大值．

【解答】

解：如图，取AB中点D，连接OD，OB，OA，OC，

由题意得，
为正三角形，则；



，
当，即同向时取“”；
的最大值为6．
故答案为6．

17.【答案】

2

【解析】

【分析】
本题考查向量运算、向量平行条件应用、三角形面积公式、向量的模及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意得，利用C，D，P三点共线，可得，即可得m；
利用的面积为可得，进而得，根据
，利用基本不等式可得的最小值为2．
【解答】
解：



，D，P三点共线

解得，




，



当且仅当时等号成立
当且仅当时等号成立
即的最小值为2
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题．
根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．
【解答】
解：由，可得P为BC的中点，
则，
，
，
故答案为；．  

19.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查向量加减法与数乘运算，考查向量数量积运算，难度较大．
依题意，根据向量加减法与数乘运算得，，根据数量积运算即可求得BC，
设，得，，根据数量积运算即可求得的最小值．
【解答】
解：依题意，，，
，
，
所以，
得，又，
所以，又，得为正三角形，得，
点P在边BC上，设，
得，
，
所以，
又，得的最小值为．
故答案为．  

20.【答案】2

【解析】

【分析】
本题考查平面向量数量积以及向量的加、减数乘运算，先根据，得到，，然后根据计算，再设，然后代入求解最大值即可，属于基础题．
【解答】
解：，，
，，，，
菱形的边长为2，，
，，
，
，
即，
整理得，解得；
设，．
所以，

所以，
当时，．
故答案为：2，．

21.【答案】解：，

在上的投影向量为．

因为，

所以，

所以，

所以，

整理得：，

因为，

所以，

因为，，，

所以，代入式，解得．

【解析】本题考查向量的线性运算以及向量投影和向量数量积，属于中档题．
根据向量投影的计算公式可得；
把向量都用表示出来并求其数量积，可得．
 

22.【答案】解：Ⅰ在平行四边形ABCD中，，


Ⅱ由Ⅰ可知：，

，，且，






 

【解析】本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，属于中档题．
Ⅰ利用向量的线性运算，直接求解；
Ⅱ由Ⅰ可知：，
由，可得，再求
 即可求得求，从而求得
 

23.【答案】证明：由A，M，N三点共线，得，设，
即，
所以，
由不共线得，
即．

解：，
因为

，
又，所以，
所以
．

故当时，．
即的最小值为．

【解析】本题考查平面向量的加减及数乘运算，考查平面向量共线的条件，考查平面向量的数量积与求向量的模长，是中档题．
由A，M，N三点共线，得，设，
所以即可求解；
化简为，再两边平方利用数量积即可求解．
 

24.【答案】解：由题意，向量，，可得，

因为，则，

即，又为两个不共线向量，

所以，解得．

由是夹角为的单位向量，
所以，

所以，

解得．

【解析】本题考查向量数量积的计算与向量平行的判定方法，关键是掌握向量数量积的计算公式．
根据题意，由向量平行的判定公式，分析可得若，则存在实数，使得，，进而可得，分析可得的值，即可得答案．
由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得，，即可得答案．