苏教版 (2019)9.4 向量应用课堂检测

9.4向量应用同步练习苏教版（ 2019)高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在中，向量与满足，且，则为   

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形

2. 已知是不共线的非零向量，，，，则四边形ABCD是     

A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形

3. 已知非零向量与满足且 则为

A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形

4. 已知向量表示“向东航行3km”，向量表示“向南航行3km，则表示

A. 向东南航行6km B. 向东南航行
C. 向东北航行 D. 向东北航行6km

5. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重单位：约为
   参考数据：取重力加速度大小为，

A. 63
B. 69
C. 75
D. 81

6. 已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于

A.  B.  C.  D.

7. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最小值是   

A. 0 B.  C. 2 D.

8. 在中，设，则动点M的轨迹必通过的    

A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心

9. 已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则

A.  B.  C.  D.

10. 在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

11. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为   

A.  B.  C.  D.

12. 已知点O，N，P在所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是的

A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 三个大小相同的力，，作用在同一个物体P上，使物体P沿着方向作匀速运动，设，，，则的形状是          ．
14. 一条河宽为，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为，水速为，则船到达B处所需时间为          
15. 已知平面向量满足，，，与的夹角为，则的最大值为             ．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

16. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为          ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ．
17. 已知O为角平分线AM上一点，，，且，则          ；          ．
    
     

18. 如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力已知，则G的大小为          ，的大小为____           ．
     

19. 如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为          N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为          ．
     

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

20. 一艘轮船由海平面上A地向北偏西的方向行驶100海里到达B地，然后向C地行驶设C地恰好在A地的南偏西方向上，并且A，C两地相距200海里，求轮船从B地到C地的距离．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

求BC；

求的值．






 

22. 在直角梯形ABCD中，已知，，，，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且．
    
    求的值；
    若N为线段AC上任意一点，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图所示，在中，点D在边BC上，且，，．

若，求BC的值；

若BC边上的中线，求AC的值．






 

24. 如图，一座山其高AD为100m，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从B往C匀速行驶，在B处测得山顶A的仰角为，经过20s后汽车到达C处，这时测得山顶A的仰角为，且．

求这辆汽车的速度

若汽车从B往C行驶5秒时到达E处，求此时山顶A与汽车的距离AE．






 

25. 在平面四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且．

若，求BC的长；

若，求．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用单位向量的定义及向量的数量积为0时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量积求出三角形边的夹角，得到等腰直角三角形．

【解答】

解：因为，
所以的平分线与BC垂直，

所以三角形ABC是等腰三角形，且．
又因为，

所以，
所以三角形ABC是等腰直角三角形．
故选D．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量加法及数乘运算，向量的几何运用，属于基础题．
利用向量的加减运算法得，再利用共线向量得且，从而得结论．

【解答】解： 因为

，
所以且，
因此四边形ABCD是梯形．
故选A．  

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题．
通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过，求出，然后判断三角形的形状．

【解答】

解：因为，
所以的平分线与BC垂直，
则，三角形是等腰三角形，
又因为，
则，
所以，
所以三角形是等边三角形．
故选D．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题充分体现向量的大小和方向两个元素，属于基础题．
根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理求出．
【解答】
解：向量表示“向东航行3km”，向量表示“向南航行3km”，
由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行．
故选B．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量在物理中的应用问题，也考查了数学模型的应用问题，是基础题．
由题意知，夹角，计算的模长，再求出体重即可．

【解答】

解：由题意知，，夹角，
所以，
即；
所以；
，
则该学生的体重单位：约为，
故选：B．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的运算及物理方面应用，属于基础题．
根据物理学知识知平衡就是合力为零，所以，再用向量坐标运算可得．

【解答】

解：由题意知，

，，．
故选D．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算，向量的几何运用，三角函数的性质，辅助角公式，属于拔高题．
建立坐标系，求出向量坐标，设，，根据向量坐标的运算得到，，则，根据三角函数的性质即可求出最值．

【解答】

解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图，

设，，
则，，，
，

，
，，
，，

，
，
，
当时，，
即的最小值为．

故选D．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查向量的几何应用，熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键属于中档题．
用向量的运算法则、数量积与垂直的关系判断出，根据三角形的外心定义即可得出．
【解答】
解：如图所示：

设线段BC的中点为D，则．
，
，
，即
，且平分BC．
因此动点M的轨迹必通过的外心．
故选D．  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查向量在物理中的应用，属于基础题．
为使物体平衡，即合外力为零，即3个向量相加等于零向量．

【解答】

解：由物理知识知，
故．
故选A．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算等知识，属中档题．
建立坐标系可得C、M、E的坐标，可得，由二次函数的知识可得．

【解答】

解：如图以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，

进而可得，，设，
，，
，
，
当时，有最小值为；
当时，有最大值为，
由此可得的取值范围是，
故选C．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的相关知识，考查数形结合思想，属于中档题．

先求出，画出图形，结合向量的几何意义求解即可．
【解答】

解：因为，
所以平方得
所以，即，
由题意作图如上，设，
故向量，

因为，
结合向量的几何意义可知，

故向量与的夹角为的夹角，

故为，

故选D．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．
【解答】解：因为，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以点O为的外心
由，得，所以点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为的重心
由，得，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为的垂心．
故选C．  

13.【答案】等边三角形
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的应用，考查推理能力和计算能力，属于一般题由题意，得，且，结合 ，，，得，所以是等边三角形．

【解答】

解：因为三个大小相同的力，，作用在同一个物体P上，使物体P沿着方向作匀速运动，
所以，且，
又 ，，，
则 ，且 ，
所以，
所以是等边三角形．
故答案为等边三角形．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量加法及几何意义，涉及向量在物理学中的应用，属基础题．
由平行四边形法则可得合速度，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得可得，进而可得所需的时间．

【解答】

解：船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图所示．

 
，．
根据勾股定理 ，
，
所以所需时间为 ．
故答案为．

15.【答案】5
 

【解析】

【分析】
本题考查向量的夹角，三角形法则，向量的坐标运算，向量的数量积，数形结合思想，圆的标准方程等知识，属于难题．
通过，建立合理的直角坐标系，再由与的夹角为确定点C的运动轨迹，通过圆的参数方程，向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：，可以方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图所示：

由图可知，，，，，
以线段AB为一边可作两个等边三角形：和，
由图可知，，以为圆心，AB长为半径作出圆，同理作出圆．
与的夹角为，即与的夹角为，即，
则点C的轨迹为圆中弦AB所对应的优弧以及圆中弦AB所对应的优弧．
当C在圆中弦AB所对应的优弧中时，
由图可知，设点，则有，
令，则，
当时，即时，上式不等式可取等号，此时取得最大值5．
故的最大值为5；
当C在圆中弦AB所对应的优弧中时，同理可得的最大值为5；
综上所述，的最大值为5．
故答案为：5．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，

，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，解得，
，
，，
，
，
，
设，则，其中，
，，
，
当时取得最小值，最小值为，
故答案为：；．  

17.【答案】2

【解析】

【分析】
本题考查向量数量积的几何意义，向量的加减运算，属于中档题．
作，，由条件得到
，再求值即可设，求出k，再由，求值即可．
【解答】
解：如图，作，，

由AM是角平分线，可得，，
由，可知Q为AC的中点，即，


设，则，
解得，
故，


故．
故答案为：．  

18.【答案】160N 

【解析】解：根据题意，，如图所示：
，，，
，
的大小为160N，的大小为
故答案为：．
根据力的合成及向量加法的平行四边形法则即可画出图形，结合条件及图形即可求出G和的大小．
本题考查了力的合成，向量加法的平行四边形法则，直角三角形的边角关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的物理运用与向量的坐标运算，属于基础题．
表示出根据向量的坐标运算和向量模的求法求解即可．

【解答】

解：由题意，
所以合力
计算可知合力的大小为，坐标为．
故答案为，．

20.【答案】解：如图所示，以A地为原点，建立平面直角坐标系，

则，，即，

，

即，所以，

所以海里，所以轮船从B地到C地的距离为海里．

【解析】本题考查了向量的实际应用，画出草图是关键．
作出方位示意图，求出点的坐标，计算向量模长即可得出答案．
 

21.【答案】 解：因为，，，
所以由余弦定理得，
；
 ，
，
，
，
则
，
．
 

【解析】本题考查余弦定理及平面向量的加减运算，同时考查平面向量的数量积运算及夹角的求解．
由已知数据，利用余弦定理求解即可；
将，用表示，然后结合平面向量的数量积和夹角公式求解即可．
 

22.【答案】解：因为，
所以以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如下图：

因为，，，
所以，，，．
又因为对角线AC交BD于点O，
所以由得，即，
因此，，
而，所以，解得，
因此．
又因为点M在AB上，所以设，
因此，，
而，所以，
解得，即，
因此，而，
所以，
即的值为；
因为N为线段AC上任意一点，
所以由知：可设包括端点，
因此，，
所以．
因为函数的图象开口上，对称轴为，
而，
所以函数的值域为，
即的取值范围是．
 

【解析】本题考查了 二次函数，向量的数量积，相等向量的概念，向量垂直的判断与证明，平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题．
根据题目条件，以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，利用相等向量的概念的坐标运算得，从而得，再利用向量的坐标运算得和，再利用平面向量共线的充要条件得得，从而得，设，从而得，，再利用向量垂直的判断的坐标运算得，从而得，再利用向量的坐标运算得，再利用向量数量积的坐标运算，计算得结论；
利用的结论，结合题目条件设包括端点，再利用向量的坐标运算得和，再利用向量数量积的坐标运算得，最后利用二次函数，计算得结论．
 

23.【答案】解：由题意得，
在中，由正弦定理得，
即，所以．
由知．
因为为钝角，
所以．
因为，所以．
又，，
所以，
即，
所以，
解得或舍去．
 

【解析】本题主要考查的是正弦定理，同角三角函数的关系，向量的几何运算的有关知识．
由题意得，然后利用正弦定理进行求解即可；
由知进而求出，根据得到，然后得到，从而解出此题．
 

24.【答案】解：在中，，

在中，，

在中，，则，

则汽车的速度．

因为，

所以，

因为，
则，

得，

即汽车从B往C行驶5秒时到达E处，此时山顶A与汽车的距离AE为

【解析】本题主要考查的是解三角形的应用及向量的应用，属于中档题．
先结合三角形求出BC的长，再求其速度；
由已知得，再结合向量的性质求AE长即可．
 

25.【答案】解：在中，，，，

由正弦定理得，，
所以，

因为，所以．
所以为等腰直角三角形，
 

所以，，，
所以．
因为，所以．
由余弦定理得，
，

所以．
因为，，所以．

设，在中，由余弦定理得．

在中，由余弦定理得，

所以，解得．

所以．

在中，由余弦定理得，

．

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由已知，利用正弦定理求得，由，可得，从而利用余弦定理可求出BC的长；
设，在、中利用余弦定理可求出x，从而可得BD，进而在中，由余弦定理可求出．