数学必修 第二册11.3 余弦定理、正弦定理的应用精品一课一练

11.3余弦定理、正弦定理的应用同步练习苏教版（ 2019)高中数学必修二

一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）

1. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，，则的面积为

A.  B.  C.  D.

2. 如图是一祭祀天坛，在今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的面积，在天坛外围测得米，米，米，，据此可以估计天坛的面积大约为结果精确到1米参考数据：，，

A. 1386米 B. 1131米 C. 1286米 D. 1331米

3. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为，A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度CH为    米

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在一条河上有两座桥AC和BC，已知，，又测得，则河宽CD为     

A.
B.
C.
D.

5. 在中，，，其面积为，则等于  

A.  B.  C.  D.

6. 已知在中，，，，若三角形有两解，则x的取值范围是

A. x B. x C. x D. x

7. 在中，，且的面积为，则外接圆的半径的最小值是   

A.  B. 6 C.  D. 12

8. 在中，角所对的边分别为，已知，，为使此三角形有两个，则a满足的条件是   

A.  B.
C.  D. 或

9. 三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是

A. 3和5 B. 5和7 C. 6和8 D. 4和6

10. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，三角形面积为，，则 

A. 7 B. 8 C. 5 D. 6

11. 已知的三个内角所对的边分别为若则边长c等于   

A.  B. 4 C. 2 D.

12. 我国南宋著名数学家秦九韶在数学九章的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积．则此沙田面积为

A. 82平方里 B. 84平方里 C. 86平方里 D. 88平方里

13. 如下图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角，，从C点测得已知山高，则山高单位：为 

A. 750 B.  C. 850 D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的周长为7，面积为，，则__________．
15. 已知内角所对的边分别为，面积为S，满足，且，则的外接圆半径为_____________．
16. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜公式”为若则用“三斜公式”求得的面积为__________。
17. 如图，在平面四边形ABCD中，的面积为，，，，，则______．
    
     

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

18. 如图，在四边形ABCD中，，，，， ，则      ；三角形ABD的面积为      ．

19. 已知中，角的对边分别为，且满足，，则      ，      
20. 某中学组队到某村参加社会实践活动，村长让学生测量河流两岸A与B两点间的距离．同学们各抒己见，但李明想到一种测量方法，同学们一致认为很好．其方法是：在点A处垂直地面竖立一根竹竿，在竹竿上取一点P，使米，在P处测得从P看B的俯角为．
     

当A和B在同一水平面上时如图，测得          米；

当A和B不在同一水平面上和在同一水平面上时如图，利用测角仪测得，此时，可测得          米．

21. 设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，若a，，则C          ，ABC的面积          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

22. 在中，D为BC上一点，，，．
    
    
     

若，求外接圆的半径R；

设，若，求面积．






 

23. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，边上的中线的长为．

求角和角的大小；

求的面积．






 

24. 已知分别是内角的对边，且满足

求A；

若的面积为，，求的周长．






 

25. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
    Ⅰ求角C；
    Ⅱ若，的面积为，求的周长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，难度适中．
先由正弦定理求得，再结合余弦定理求出a，b，最后由三角形面积公式求得答案．
【解答】
解：因为，则得，
，即，
解得，
．
故选B．  

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了解三角形的实际应用问题，属基础题．
设，在，中分别利用余弦定理，联立得到，进而求出，利用面积公式即可求得．
【解答】
解：设，则，
在中，，
在中，，
由解得，
故，
故．
故答案为A．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了解三角形的应用正弦定理、余弦定理是我们解决三角形问题的常用工具．
先利用余弦定理在中求AC，再利用正弦定理在中求仪器的垂直弹射高度CH．
【解答】

解：由题意，设，则，
在内，由余弦定理得，，

即，解得．

在中，，，

，

由正弦定理，，

可得．
故选B．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题．
首先根据余弦定理得到，进而得到该角的正弦值，利用三角形的
面积公式即可得解．
【解答】
解：由题意可得，

所以，

所以，

即，

解得：，

故选C．

5.【答案】B
 

【解析】解：，，其面积为，
，即，
由余弦定理得：，
，
由正弦定理得：，
则．
故选B
由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．
此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，等比合比的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可．
此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
【解答】
解：由，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当时，圆与AB相切；
当时交于B点，也就是只有一解，
，且，即，
由正弦定理以及可得：，
．
的取值范围是．
故选：D．  

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形的面积公式和余弦定理的应用，利用基本不等式求最值，属于基础题．
根据题意，利用三角形的面积公式，得到，再由余弦定理结合利用基本不等式可得，即可求出外接圆半径的最小值．
【解答】
解：在中， ，
解得，
由余弦定理可得：
，
即当且仅当时，等号成立，
，
解得，
则外接圆的半径的最小值是．
故选A．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
为使满足题意的三角形有两个，则有，由此可求得a满足的条件．
【解答】
解：由正弦定理知
为使此三角形有两个，则，
，即，
故选C．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角形的面积公式，同角三角函数关系，属于基础题．
利用同角三角函数关系可得sinA，再利用三角形的面积公式可得bc的值，与联立即可得出b，c的值．

【解答】

解：设所求两边b，的夹角为A．
，．
，
．
又，
，．
故选B．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式，考查计算能力，属于中档题．

由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由以及余弦定理，即可求a．
【解答】
解：由题意可得，，
，
，
，
．
由余弦定理可得，
，
，
解得．
故选A．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了解三角形问题，关键是余弦定理和面积公式的运用，属于中档题．
由题意利用余弦定理得cosC的值，从而求得C，由面积公式得ab值，利用cosC与余弦定理得c的值．
【解答】
解：依题意
则，
所以，
又面积公式，
得，
由余弦定理
，
得．
故选C．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了解三角形的实际应用，余弦定理，三角形的面积问题，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
利用余弦定理求得三角形一内角，再用平方关系求得该角的正弦值，计算面积即可．
【解答】
解：由题意画出图形：

里，里，里，
在中，由余弦定理得，，
，
则该沙田的面积即的面积，
故选B．

13.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理在三角形的实际应用，考查计算能力属于基础题．
根据C点的仰角，山高，利用勾股定理求解出AC，正弦定理求解出AM，在中即可求解山高MN．

【解答】

解：由题意得C点的仰角，山高，
由勾股定理，可得．
在中，，，那么，
又．
由正弦定理，得，
可得．
在中，，
可得．
故选A．

14.【答案】3
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积的应用求出结果．
【解答】
解：的周长为7，
则：，
故：．
由于：，
所以：，
由于三角形的面积为，
故：，
解得：，
所以：，
整理得：
故：．
解得：，
故答案为：3．  

15.【答案】1
 

【解析】

【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形的中的应用，以及三角形面积公式，属于基础题；
结合余弦定理可求出c，由结合三角形面积公式及c即可求出C，从而求出外接圆半径
【解析】
解：中，由可得：
，所以
又，
所以，
所以，
即，即．
又，

所以．
所以，
所以．
故答案是1．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积，关键是对正弦定理、余弦定理及“三斜公式”的应用，属于基础题．
由正弦定理、余弦定理，结合题意求出ac及的值，代入“三斜公式”，即可得出的面积．
【解答】
解：根据正弦定理，由，
可得：，则，
由余弦定理可得，，
则：，
所以．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
在中，由余弦定理可求出AC，再根据正弦定理计算，从而得出，根据的面积可求出CD，从而得出AD的值．
本题考查了正、余弦定理解三角形，三角形的面积计算，属于中档题．
【解答】
解：在中，由余弦定理可得，
，
由正弦定理可得，即，解得，
，，即，
，，
．
故答案为：．  

18.【答案】2

【解析】

【分析】
本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形的面积公式，属于中档题．中，由余弦定理，可得，BD，中，利用正弦定理，可得AD，利用三角形的面积公式，可得结论．
【解答】
解：中，由余弦定理，可得，，
中，利用正弦定理，可得，
三角形ABD的面积为．
故答案为2 ； ．  

19.【答案】   

2

【解析】

【分析】
本题考查解三角形和三角恒等变换，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用条件得到，从而求出A；先求出a，利用即可求解．

【解答】
解：因为
则，即，
因为，
所以，又，
则；
因为，，，
所以，解出，
所以，
所以．
故答案为   ；2．  

20.【答案】

．

【解析】

【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，正弦定理及诱导公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意，可得由，从而可求出AB；利用正弦定理及诱导公式求解即可．
【解答】
解：，由，得
，，
由正弦定理，得，
解得．
故答案为；．  

21.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，属于较易题目，
有正弦定理，角化边可得，求出边b，直接带入面积公式即可求得．
【解答】
解：有正弦定理以及余弦定理可得：
，
，，代入
，
，
故答案为；．  

22.【答案】解：由余弦定理，
解得；
又，
解得；
外接圆的半径R为；
由，所以，
所以；
由，
得；
设，则，，
在中，
由余弦定理得，
解得；
所以，；
由正弦定理，
即，
解得；
所以，
即的面积为．
 

【解析】利用余弦定理求出AC的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径；
由题意，利用正弦、余弦定理求得的正弦值，再计算的面积．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．
 

23.【答案】 解：由，
，

由，得即
则，即C为钝角，故B为锐角，且
则
故．
设，由余弦定理得
解得
故
 

【解析】本题主要考查正余弦定理在解三角形计算中的综合运用以及三角形面积公式在解三角形的实际应用，属于一般题．
根据题中所给条件，集合正余弦定理，即可推出结果．
根据题中所给他，结合中结论，即可推出结果．
 

24.【答案】解：，

根据正弦定理，知，即．

由余弦定理，得．
又，所以．

 ，
，

由余弦定理得：，

，解得，

的周长．

【解析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，三角形面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
 根据题意由正弦定理化简可得，从而利用余弦定理可得cosA，进而即可求得A的值．
根据题意由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得的值，进而可得
的周长．
 

25.【答案】解：Ⅰ在中，，，
已知等式利用正弦定理化简得： ，
整理得：，
即，
又，，
，；
Ⅱ由余弦定理得：，
，，
，，，
的周长为．
 

【解析】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，属于中档题．
由已知等式利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出C的度数；
利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．