初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试教案设计

勾股定理：回顾基础 　

必考题型1 勾股定理　

【基础知识】

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．

【典型例题】

例1．如图所示，在直线上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，求的值.

【答案】.

【解析】如图，因为四边形是正方形，

所以，.

所以.

又因为，

所以.

在△ABC与△CDE中，

因为，，，

所以.

所以.

在中，根据勾股定理，

得，

所以，

即.

同理.

所以.

2．一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？  

【答案】10cm

【解析】解：

如图1所示：

AB=（cm），

如图2所示：

AB=（cm）．

∵10＜，

∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．

例3．阅读下列材料，并回答问题． 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：

（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为　   　．

（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．

（3）如图2，点A在数轴上表示的数是　   　，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．

【答案】（1）10；（2）BD= 2；（3）﹣．

【解析】解：(1)直角三角形的两条直角边分别为6、8，

则这个直角三角形斜边长==10，

故答案为：10；

(2)在Rt△ADC中，AD==2，

∴BD=AD=2；

(3)点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，

由勾股定理得，OC=，

以O为圆心、OC为半径作弧交x轴于B，则点B即为所求，

故答案为﹣．

方法与技巧

（1）勾股定理的证明方法有很多种，利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．

（2）证明勾股定理时，利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

必考题型2 勾股定理的逆定理　

【基础知识】

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．

【典型例题】

例1．已知,如图所示的一块地，已知AD=12米，CD=9米，∠ADC=90°，AB=39米，BC=36米，求这块地的面积．

【答案】216米2．

【详解】

连接AC．

∵∠ADC=90°，AD=12，CD=9，∴AC2=AD2+CD2=122+92=225．

又∵AC＞0，∴AC=15．

又∵BC=36，AB=39，∴AC2+BC2=152+362=32（52+122）=32×132=392= AB2，∴∠ACB=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC﹣S△ADC=×15×36﹣×12×9=216（米2）．

例2．如图，已知与有一个公共点C，其中，若，，，，.求证：．

【答案】见详解.

【详解】

证明：∵，

∴在中，根据勾股定理

同理可求.

在中

∵.

.

∴.

∴为直角三角形.

方法与技巧

勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形

必考题型3 勾股定理的简单应用　

【基础知识】

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，领会数形结合的思想的应用．

【典型例题】

例1．一架梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【答案】（1）；（2）底端滑行了8米.

【解析】解：（1）根据勾股定理，

梯子距离地面的高度为：米；

（2）由梯子下滑了4米，

即梯子距离地面的高度为：（24-4）=20米，

根据勾股定理得：，

解得：米，

即下端滑行了8米.

例2．如图，铁路上，两点相距25km，，为两村庄，于点，于点.已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？

【答案】收购站应建在离点10千米处.

【解析】解：设，则.

在中，根据勾股定理，

得.

在中，根据勾股定理，

得.

因为，

所以.

解得.

即收购站应建在离点10千米处.

例3．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．

【答案】19米

【解析】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，

由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，

故BD＝＝5（m），

即AD＝9m，

则

故AC+AB＝15+4＝19（m），

答：树原来的高度19米．

例4．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

OA22=，；

OA32=12+，；

OA42=12+，…

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2=______；Sn=______．

（2）求出OA10的长．

（3）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？

（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．

【答案】（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）说明他是第20个三角形；（4）．

（3）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形，
（4）根据题意列出式子即可求出．

【详解】（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；

（2）∵OAn2＝n，

∴OA10＝；

（3）若一个三角形的面积是，根据：Sn＝＝，

∴＝2＝，

∴说明他是第20个三角形，

（4）S12+S22+S32+…+S102，

＝，

＝，

＝，

＝．故答案为：（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）说明他是第20个三角形；（4）．

方法与技巧

①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

必考题型4利用勾股定理解决直角三角形问题

【基础知识】

直角三角形是一种特殊的三角形，具有一些特殊的性质：

性质1勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

性质2：两个锐角互余．

性质3斜中定理：斜边上的中线等于斜边的一半．（直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4等积法求面积：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab=ch

性质5,30°直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半；

【典型例题】例1．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB  3 ，AD  9 .

（1）求 BE 的长；

（2）求 EF 的长.

【答案】（1）5；（2）．

【解析】（1）设BE=x，则DE=BE=x，AE=AD﹣DE=9﹣x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，则32+（9﹣x）2=x2，解得：x=5．故BE的长为5；

（2）过E作EH⊥BC于H，则EH=AB=3，BH=AE=9-5=4．

∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE．

∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF=5，∴HF=BF﹣BH=5﹣4=1，∴EF=．

例2．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上一点．

（1）求证：AD2+DB2=ED2；

（2）若BC=，求四边形ADCE的面积．

【答案】（1）见解析；（2）1．

【详解】

解：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ECD=90°，EC=CD，AC=CB，

∴∠ECA=∠DCB

在△ECA和△DCB中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，∠CAE=∠B=45°，

∴∠DAE=90°，

∴AD2+AE2=ED2即AD2+DB2=ED2．

（2）∵△ACE≌△BCD，

∴S△ACE=S△BCD，

∴S四边形ADCE=S△ABC=×（）2=1．

例3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；

（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长．

试题解析：（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；

（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴，而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，∴BN=．

【勾股定理解折叠问题-方程思想】

【例10】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．

【变式10-1】如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，求的长．

【变式10-2】如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，已知，．（长方形的对边相等，四个角都为直角）

（1）求证：；

（2）求的长；

（3）求重叠部分的面积．

【变式10-3】如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． （1）求线段长．（2）连接，并求的长．